Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 - Đề số 3

Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9
 Thanh hoá Môn: Toán
 ***** Thời gian: 150 phút
Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: . Chứng minh rằng :
 Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: 
Bài 3: Giải hệ phương trình:
Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, 
x3, x4 thoả mãn điều kiện
Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số 
Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
 x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy sao 
cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và B. Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I
Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được
Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và 
E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.
--------------------------------------------------------