400 bài tập Toán 7 (bồi dưỡng học sinh khá giỏi)

400 bµi tËp to¸n 7 (båi d­ìng häc sinh kh¸ giái)
PhÇn thø nhÊt: §¹i sè
Ch­¬ng I: Sè nguyªn
1 § . TËp hîp Z c¸c sè nguyªn
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
* TËp hîp Z = { . . .; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . .}gåm c¸c sè tù nhiªn 0; 1; 2; 3; . . . vµ c¸c sè míi -1; -2; -3; . . . gäi lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn.
* BiÓu diÔn trªn trôc sè:
	§iÓm biÓu diÔn sè nguyªn a gäi lµ ®iÓm a
* C¸c sè -1 vµ 1; -2 vµ 2; -3 vµ 3; ... lµ c¸c sè ®èi nhau. Sè ®èi cña sè 0 lµ chÝnh nã.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 1: Trong c¸c c©u sau, c©u nµo ®óng, c©u nµo sai:
a) Mäi sè tù nhiªn ®Òu lµ sè nguyªn.
b) Mäi sè nguyªn ®Òu lµ sè tù nhiªn.
Bµi 2: §äc nhiÖt ®é ë c¸c thµnh phè d­íi ®©y:
Hµ Néi
180C
B¾c Kinh
-20C
HuÕ
200C
Matxc¬va
-70C
TP Hå ChÝ Minh
250C
Pari
00C
Bµi 3: ViÕt tËp hîp M c¸c sè nguyªn lÎ cã mét ch÷ sè. BiÓu diÔn chóng trªn trôc sè.
Bµi 4: Mét chó èc sªn ë vÞ trÝ gèc O trªn mét c©y cét c¸ch mÆt ®Êt 2 mÐt (h×nh 1). Ban ngµy chó èc sªn bß lªn ®­îc 3 mÐt. Ban ®ªm chó ta mÖt qu¸ "ngñ quªn" nªn bÞ tuét xuèng d­íi:
a) 2 mÐt;	b) 4 mÐt
Hái s¸ng h«m sau chó èc sªn c¸ch O bao nhiªu mÐt trong mçi tr­êng hîp a, b?
2 §. Thø tù trong Z
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
* Cho a, b Î Z
	a nhá h¬n b ®iÓm a ë bªn tr¸i ®iÓm b trªn trôc sè
* Gi÷a hai sè nguyªn a vµ a + 1 kh«ng tån t¹i sè nguyªn nµo.
* a < 0 a lµ sè nguyªn ©m
 a > 0 a lµ sè nguyªn d­¬ng
Sè 0 kh«ng lµ sè nguyªn ©m còng kh«ng lµ sè nguyªn d­¬ng
* Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña a kÝ hiÖu lµ |a|
	|a| = |-a| ³ 0 víi mäi a.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 5: Trong c¸c c©u sau c©u nµo ®óng, c©u nµ sai:
a. Sè nguyªn ©m nhá h¬n sè nguyªn d­¬ng.
b. Sè nguyªn ©m nhá h¬n sè tù nhiªn.
c. Sè tù nhiªn lµ sè nguyªn d­¬ng
d. Sè tù nhiªn kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn ©m.
e. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè nguyªn a lµ mét sè nguyªn d­¬ng.
g. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè nguyªn a lµ mét sè tù nhiªn.
h. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè nguyªn a lµ mét sè kh«ng ©m.
Bµi 6: Cho biÕt a < b (a ¹ 0, b ¹ 0). Cã tÊt c¶ bao nhiªu tr­êng hîp cã thÓ x¶y ra vÒ thø tù cña ba sè a, b, 0?
Bµi 7: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x sao cho:
a. -3 3	d. x 3
Bµi 8: T×m sè nguyªn a biÕt:
a. |a| = 2000	b. |a| = -2001	c. |a| = 1999 (a < 0).
Bµi 9: X¸c ®Þnh sè nguyªn lín nhÊt vµ nhá nhÊt, biÕt r»ng: |x| < 2000
§3. PhÐp céng trong Z
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
a) Céng víi sè 0: a + 0 = 0 + a = a víi mäi a thuéc Z.
b) Céng hai sè cïng dÊu: Céng hai sè nguyªn cïng dÊu, ta céng hai gi¸ trÞ tuyÖt ®èi víi nhau cßn dÊu lµ dÊu chung cña chóng.
c) Céng hai sè kh¸c dÊu:
	- Tæng hai sè ®èi nhau lu«n b»ng 0.
	- tæng hai sè kh¸c dÊu kh«ng ®èi nhau, ta lÊy gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín trõ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá råi ®Æt dÊu cña sè cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n tr­íc hiÖu t×m ®­îc.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 10: Trong c¸c c©u sau c©u nµo ®óng, c©u nµo sai:
a. Tæng cña hai sè d­¬ng lµ mét sè d­¬ng.
b. Tæng cña hai sè ©m lµ mét sè ©m.
c. Tæng cña mét sè ©m vµ mét sè d­¬ng lµ mét sè ©m.
d. Tæng cña mét sè ©m vµ mét sè d­¬ng lµ mét sè d­¬ng.
Bµi 11: T×m sè nguyªn x vµ y sao cho:
a. |x +2| + |y + 5| = 0	b. ||y| + |x + 2|| + |x| = 0.
Bµi 12: TÝnh:
a. |a| + a nÕu a ³ 0	b. |a| + a nÕu a < 0.
§4. TÝnh chÊt cña phÐp céng
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
	Giao ho¸n: a + b = b + a ; víi mäi a, b thuéc Z.
	KÕt hîp: a + (b + c) = (a + b) + c ; víi mäi a, b, c thuéc Z.
	Céng víi 0: a + 0 = 0 + a = a ; víi mäi a thuéc Z.
TÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp tæng qu¸t:
	a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b = ...
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 13: TÝnh:
a. 1 + (-3) + 5 + (-7) + 9 + (-11) + 13 + (-15) +17 + (-19).
b. (-2) + 4 + (-6) + 8 + (-10) + 12 + (-14) + 16 + (-18) + 20.
Bµi 14: TÝnh tæng c¸c sè nguyªn x, biÕt:
a. -10 < x < 10	b. -10 < x £ 10	c. -10 £ x £ 10
Bµi 15: 
H·y ®iÒn c¸c sè nguyªn vµo « trèng (h×nh 2) sao cho tæng c¸c sè trong 3 « liÒn nhau bÊt kú theo cét däc còng nh­ hµng ngang ®Òu b»ng 12.
5
1
6
2
§6. PhÐp trõ trong Z
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
* Sè ®èi cña sè nguyªn a ký hiÖu lµ -a
	Ta cã: -(-a) = a
	|a| = 
* PhÐp trõ: a - b = a + (-b) ; a, b Î Z
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 16: Chøng minh r»ng sè ®èi cña
	a - b lµ b - a (a, b Î Z)
Bµi 17: T×m x, biÕt:
a. |x| + 5 = 7	b. |x| - 3 = 5	c. 3 - |x| = 5
	d. |x + 3| = 0	e. |x - 3| = 1 	g. |x + 5| = -3.
Bµi 18: T×m sè nguyªn lín nhÊt vµ nhá nhÊt, biÕt r»ng:
	1996 < |x + 2| < 2000.
§6. Quy t¾c "dÊu ngoÆc"
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
* Sè ®èi cña mét tæng b»ng tæng c¸c sè ®èi
	-(a + b) = (-a) + (-b) = -a - b
* Tæng ®¹i sè:
	Mét d·y c¸c phÐp céng trõ liªn tiÕp c¸c sè nguyªn ®­îc gäi lµ mét tæng ®¹i sè. Trong mét tæng ®¹i sè:
	a) Ta cã thÓ bá dÊu ngoÆc vµ:
	- Gi÷ nguyªn dÊu c¸c sè h¹ng nÕu tr­íc dÊu ngoÆc cã dÊu céng.
	- §æi dÊu c¸c sè h¹ng nÕu tr­íc dÊu ngoÆc cã dÊu -.
	b) Ta cã thÓ thªm dÊu ngoÆc ®Ó nhãm mét sè h¹ng tïy ý vµ:
	- Gi÷ nguyªn dÊu c¸c sè h¹ng nÕu tr­íc dÊu ngoÆc cã dÊu +.
	- §æi dÊu c¸c sè h¹ng nÕu tr­íc dÊu ngoÆc cã dÊu -.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 19: TÝnh tæng ®¹i sè sau:
	S = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + ... - 99 - 100 + 101 + 102
Bµi 20: §¬n gi¶n biÓu thøc sau khi bá dÊu ngoÆc:
a. (a + b) - (-c + a + b)	b. -(x + y) + (-z + x + y)	c. (m - n + p) + (-m + n + p)
Bµi 21: T×m x, biÕt:
a. 15 - (3 + x) = 4	b. -11 - (19 - x) = 50
	c. (7 + x) - (21 - 13) = 32	d. (7 - x) + (3 - 10) = 0
Bµi 22: T×m c¸c sè nguyªn x, biÕt:
a. |x - 2| = 3	b. |x - 3| > 1	c. 2 < |x| < 5
Bµi 23: Chøng minh ®¼ng thøc sau:
a. (a - b) + (c - d) - (a + c) = -(b + d).
b. (a - b) - (c - d) + (b + c) = a + d.
§7. PhÐp nh©n trong Z
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
* Nh©n mét sè víi 0: a.0 = 0.a = 0 víi mäi a thuéc Z.
* Nh©n hai sè nguyªn kh¸c 0:
	a.b = (víi mäi a, b thuéc Z)
* Chó ý:
	+ NÕu a.b = 0 th× a = 0 hoÆc b = 0.
	+ Khi ®æi dÊu mét thõa sè trong tÝch a.b th× tÝch ®æi dÊu
	(-a).b = a.(-b) = -a.b
	+ Khi ®æi dÊu ®ång thêi c¶ hai thõa sè th× tÝch a.b kh«ng ®æi dÊu:
	(-a) . (-b) = a.b
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 24: Cho a lµ mét sè nguyªn d­¬ng. Hái b lµ sè nguyªn d­¬ng hay nguyªn ©m nÕu:
a) a.b lµ mét sè nguyªn d­¬ng.
b) a.b lµ mét sè nguyªn ©m.
Bµi 25: Kh«ng thùc hiÖn phÐp tÝnh h·y ®iÒn dÊu > hoÆc < vµo « trèng:
a) -105 . 48  0	 b) -250 . (-52) . 7  0	 c) -17 . (-159) . (-575)  125 . 72
Bµi 26: T×m x, biÕt:
a. -x . (x + 3) = 0	b. (x - 2)(3x - 9) = 0	c. (3 - x)(|x + 5|) = 0
d. (|x| + 1) (4 - 2x) = 0.
Bµi 27: Cho 11 sè nguyªn viÕt trªn mét vßng trßn trong ®ã tÝch cña hai sè liÒn nhau lu«n b»ng 4. T×m c¸c sè ®ã. NÕu viÕt 10 sè nh­ vËy th× kÕt qu¶ ra sao?
§8. TÝnh chÊt cña phÐp nh©n
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
	a. Giao ho¸n: a.b = b.a víi mäi a, b thuéc Z.
	b. KÕt hîp: a(bc) = (ab)c víi mäi a, b, c thuéc Z.
	c. Nh©n víi 1: a.1 = 1.a = a , víi mäi a thuéc Z.
	d. TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng:
	a(b + c) = ab + ac
	(b + c)a = ba + ca víi mäi a, b, c thuéc Z.
`* Chó ý: Khi thùc hiÖn phÐp nh©n nhiÒu sè, ta cã:
	+ TÝch mang dÊu "+" nÕu sè thõa sè ©m lµ ch½n.
	+ TÝch mang dÊu "-" nÕu sè thõa sè ©m lµ lÎ.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 28: Bá dÊu ngoÆc:
a. (-a) (b - c + d)	a, b, c, d Î Z
b. (a + b) (1 + x + y)	a, b, x, y Î Z
c. (a - b) (a + b) - (b - a)b 	a, b Î Z.
Bµi 29: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
a. a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ;	a, b, c Z
b. a(b - c) - a(b + d) = -a(c + d) ;	a, b, c, d Î Z.
c. (a + b) (c + d) - (a + d) (b + c) = (a - c) (d - b);	a, b, c, d Î Z.
Bµi 30: T×m x, biÕt:
a. |2x + 1| = 7	b. 3|x + 1| + 1 = 28
§9. Béi vµ ­íc cña mét sè nguyªn
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
* a, b Î Z nÕu cã q Î Z : a = bq. Ta nãi:
	a lµ béi cña b HoÆc b lµ ­íc cña a
	a chia hÕt cho b (a b) hoÆc b chia hÕt a (b\a)
* TÝnh chÊt: a, b, c, m Î Z , b ¹ 0:
	+ a b, bc => a c;
	+ a c, b c => (a ± b) c
	+ a b => am b
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 31:
a. Chøng minh r»ng tæng cña ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3; tæng cña n¨m sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 5.
b. Tæng cña hai sè nguyªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 2 kh«ng? Tæng cña bèn sè nguyªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 4 kh«ng? Cã thÓ rót ra kÕt luËn g×?
Bµi 32: Cho a, b, c lµ nh÷ng sè nguyªn chøng minh r»ng nÕu a - b chia hÕt cho c th× cã sè nguyªn t ®Ó a = b + ct vµ ng­îc l¹i.
Bµi 33: Cho biÕt a - b chia hÕt cho 6. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau ®©y chia hÕt cho 6
a. a + 5b;	b. a + 17b;	c. a - 13b.
Bµi 34: T×m c¸c sè nguyªn x vµ y biÕt:
a. (x + 3)(y + 2) = 1	b. (2x - 5)(y - 6) = 17	c. (x - 1)(x + y) = 33.
¤n tËp ch­¬ng I
Bµi 35: Cho ®¼ng thøc: 36 = 15 + 12 + 9 + 6 + ... Hái tæng ë vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc cã bao nhiªu sè h¹ng vµ sè h¹ng cuèi cïng lµ bao nhiªu?
Bµi 36: Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. b1, b2, b3, b4, b5 lµ mét ho¸n vÞ cña 5 sè ®· cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia hÕt cho 2.
Bµi 37: T×m sè nguyªn x, biÕt r»ng:
a. (x - 3)(x + 2) > 0	b. (2x - 4)(x + 4) < 0
Bµi 38: T×m c¸c sè nguyªn x, y sao cho
	(x - 2)2 . (y - 3) = -4
Bµi 39: T×m c¸c sè nguyªn x, y sao cho
	(x + 2)2 + 2((y - 3)2 < 4
Bµi 40: T×m sè nguyªn x, biÕt r»ng:
	(3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = 0
Ch­¬ng II:
Sè h÷u tû
§1. Ph©n sè
1. Tãm t¾t lý thuyÕt
* lµ mét ph©n sè víi a, b Î Z; b ¹ 0
*
* (m ¹ 0, a m, b m)
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 41:
a) C¸c ph©n sè sau ®©y cã b»ng nhau kh«ng?
	 vµ; vµ ; vµ 
b) Cho a vµ b lµ hai sè nguyªn (b ¹ 0). Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau bao giê còng b»ng nhau:
	 vµ ; vµ 
Bµi 42:
a) ViÕt c¸c ph©n sè sau d­íi d¹ng ph©n sè cã mÉu d­¬ng: ; ; 
b) ViÕt tËp hîp c¸c ph©n sè b»ng: ; 
Bµi 43:
a) Kh«ng cÇn tÝnh to¸n cã thÓ kh¼ng ®Þnh ngay c¸c cÆp ph©n sè sau ®©y kh«ng b»ng nhau, t¹i sao?
	 vµ ; vµ ; vµ 
b) Quy ®ång mÉu c¸c ph©n sè: vµ ; , vµ 
§2. TËp hîp Q c¸c sè h÷u tØ.
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
* C¸c ph©n sè b»ng nhau cã cïng mét gi¸ trÞ, gi¸ trÞ ®ã gäi lµ mét sè hòu tØ.
 Mçi sè h÷u tØ ®Òu cã thÓ viÕt d­íi d¹ng víi b ¹ 0 vµ a, b Î Z
* BiÓu diÔn sè h÷u tØ trªn trôc sè:
 	- Chia ®o¹n ®¬n vÞ cña trôc sè thµnh b phÇn b»ng nhau , mçi phÇn lµ .
	- NÕu a > 0 th× sè ®­îc biÓu diÔn b»ng mét ®iÓm bªn ph¶i 0 vµ c¸ch 0 mét ®o¹n b»ng a lÇn cña .
	- NÕu a < 0 th× sè ®­îc biÓu diÔn b»ng mét ®iÓm bªn tr¸i ®iÓm 0 vµ c¸ch 0 mét ®o¹n b»ng |a| lÇn cña .
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 44: §iÒn c¸c ký hiÖu N, Z, Q vµo « trèng cho hîp nghÜa (trong mçi tr­êng hîp xÐt c¸c kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra).
a. 2000 Î 	b. -2000 Î 	c. Î 	d. Î 	
Bµi 45: 
a. T×m |x| , biÕt: x = -7; x = ; x = ; x = 0
b. T×m x, biÕt:
	|x| = ; |x| = 0; |x| = ; |x| = 
Bµi 46: Cho c¸c sè h÷u tû: 
x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 
a. H·y so s¸nh c¸c sè h÷u tû ®ã.
b. ViÕt tËp hîp c¸c sè h÷u tû b»ng c¸c sè h÷u tû trªn.
§3. Thø tù trong Q
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
* x, y Î Q; x = , y = (m > 0)
	x a < b
	x y > x
	NÕu x < y th× trªn trôc sè ®iÓm x ë bªn tr¸i ® ...  bËc?
	A = ;
	B = ;
	C = a lµ h»ng sè ;
	D = ;
	E = .
Bµi 168: C¸c ®¬n thøc sau cã thÓ cã cïng gi¸ trÞ d­¬ng ®­îc kh«ng?
a) -3xy2 vµ 2x3y2 ; 	b) x2y3 , -xy2 vµ 16x5y .
	_________________________________________________________
§6. §¬n thøc ®ång d¹ng
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
Hai ®¬n thøc ®ång d¹ng lµ hai ®¬n thøc sau khi thu gän cã phÇn biÕn gièng nhau.
§Ó céng hay trõ ®¬n thøc ®ång d¹ng ta céng hay trõ c¸c hÖ sè vµ gi÷ nguyªn phÇn biÕn.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 169: Cho c¸c ®¬n thøc:
	ax2y ; -5ax2y4 ; -a2x2y .
	H·y xÐt xem c¸c ®¬n thøc nµo lµ ®ång d¹ng, nÕu:
a) a lµ h»ng sè; x, y lµ biÕn sè.
b) x lµ h»ng sè; a, y lµ biÕn sè.
c) y lµ h»ng sè; a, x lµ biÕn sè.
d) a, x lµ h»ng sè; y lµ biÕn sè.
e) a, y lµ h»ng sè; x lµ biÕn sè.
g) x, y lµ h»ng sè; a lµ biÕn sè.
Bµi 170: Cho c¸c biÓu thøc:
	x2y3 ; 2ax2y3 ; (a + 1)x2y3 ; y3 ; x2 .
a) Gäi a lµ h»ng sè; x, y lµ biÕn sè th× trong c¸c biÓu thøc trªn, biÓu thøc nµo lµ ®¬n thøc vµ c¸c ®¬n thøc cã ®ång d¹ng kh«ng?
b) Còng hái nh­ trªn nÕu a, x lµ h»ng sè, y lµ biÕn sè; NÕu a, y lµ h»ng sè, x lµ biÕn sè.
Bµi 171: TÝnh:
a) (92x3y + 51x3y) - (105x3y - 7x3y) .
b) xy2z3 + xy2z3 - 6xy2z3 víi a lµ h»ng sè kh¸c 0. X¸c ®Þnh a ®Ó kÕt qu¶ thu ®­îc lu«n ®ång nhÊt 0 víi mäi x, y, z.
Bµi 172: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
	a) [-a5(-a)5]2 + [-a2(-a)2]5 = 0 .
	b) (-1)n an + k = (-a)n ak .
	________________________________________________________
§7. §a thøc nhiÒu biÕn
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
§a thøc nhiÒu biÕn x, y, ... , z lµ mét biÓu thøc nguyªn trong ®ã c¸c ch÷ x, y, ..., z lµ c¸c biÕn.
Thu gän ®a thøc: mäi ®a thøc nhiÒu biÕn ®Òu cã thÓ thu gän thµnh tæng ®¹i sè cña nhiÒu ®¬n thøc tõng ®«i mét kh«ng ®ång d¹ng víi nhau.
BËc cña ®a thøc ®· ®­îc thu gän:
- BËc cña ®a thøc mét biÕn lµ bËc cña sè h¹ng cã bËc cao nhÊt ®èi víi biÕn ®ã.
- BËc cña ®a thøc ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn lµ bËc cña sè h¹ng cã bËc cao nhÊt ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 173: Trong c¸c biÓu thøc ®¹i sè sau, biÓu thøc nµo lµ ®a thøc:
a) axy + x - xy(x + y) (a lµ h»ng sè; x, y lµ biÕn sè).
b) (a, b lµ h»ng sè; x, y lµ biÕn sè).
c) (a, b lµ h»ng sè; x, y lµ biÕn sè).
d) (y lµ h»ng sè; a, x, z lµ biÕn sè).
e) ab2xy + + x2 + y2 (x, y lµ h»ng sè; a, b lµ biÕn sè) .
Bµi 174: H·y viÕt c¸c ®a thøc sau ®©y d­íi d¹ng tæng c¸c ®¬n thøc. Thu gän trong tr­êng hîp cã c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng:
a) (a + 1)(xy + 1) + xy(x + y) + 1 - a (a lµ h»ng sè).
b) xy(x2 + y2 + 1) - 3x3y + 3xy3 - 3y(x + y) .
c) 3x(x2y + xy2) -7xy(x2 - y2) + 2x2y2 - 3xy3 .
Bµi 175: T×m bËc cña ®a thøc sau ®èi víi mçi biÕn x, y, z vµ ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn:
a) 6x7 - 15x2y3z5 - 2000xy3 - 7y6 + z8 .
b) xy3 - x4 + 3x2y4 + 12y5 - 9z8 - y2z5.
c) 3x2y3 - 2xy2(x2 + y2) + xz2.
Bµi 176: Cho ®a thøc Q = 2(x + 1) - |x + 5|
a) thu gän ®a thøc Q.
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× Q = 4?
Bµi 177: 
a) T×m gi¸ trÞ cña ®a thøc biÕt x + y = 0
	3x2y + 3xy2 + 5x3y2 + 5x2y3 + 2.
b) Cho a, b, c lµ nh÷ng h»ng sè sao cho a + b + c = 2000.
	T×m gi¸ trÞ cña ®a thøc sau víi x = 1; y = 1; z = 1.
	axy3z2 + bx3z + cxyz.
	_______________________________________________________
§8. Céng vµ trõ ®a thøc
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
§Ó céng hai ®a thøc ta viÕt c¸c sè h¹ng cïng víi dÊu cña chóng kÒ nhau råi thu gän c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng (nÕu cã).
§Ó t×m hiÖu hai ®a thøc ta viÕt c¸c sè h¹ng cña ®a thøc thø nhÊt cïng víi dÊu cña chóng råi viÕt c¸c sè h¹ng cña ®a thøc thø hai víi dÊu ng­îc l¹i dÊu cña chóng sau ®ã thu gän c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng (nÕu cã).
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 178: Cho c¸c ®a thøc:
	M = 3x2 - 2y - 2 ; N = x2 + 2y + 1 ; P = 1 - 4x2 .
TÝnh a) M + N + P ; 	b) M + N - P ;	c) N - P .
Bµi 179: Cho 	x + y - z = a - b
	x - y + z = b - c
	-x + y + z = c - a
	Chøng minh r»ng: z + y + z = 0 .
Bµi 180: Cho hai ®a thøc : P = 3m2 + 2mn - 4n2
	Q = -2m2 - 2mn + 5n2 .
Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ nµo cña m vµ n ®Ó hai ®a thøc cïng cã gi¸ trÞ ©m.
Bµi 181: Cho hai ®a thøc A = 5x + y + 1 ; B = 3x - y + 4. Chøng minh r»ng nÕu x = m; y = n víi m Î Z, n Î N th× P = A.B lµ mét sè ch½n.
Bµi 182: Chøng minh r»ng nÕu x + y + 1 = 0 th× gi¸ trÞ cña c¸c ®a thøc sau lµ h»ng sè:
a) M = x3 + x2y - x y2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + 3.
b) N = x3 + 2x2y + xy2 + x2 + xy + x + y + 5.
	_________________________________________________________
§9. §a thøc mét biÕn
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
§a thøc mét biÕn lµ ®a thøc trong ®ã chØ cã chøa mét ch÷ lµ biÕn.
§a thøc mét biÕn sau khi thu gän c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng ta cã thÓ s¾p xÕp theo hai c¸ch:
S¾p xÕp theo lòy thõa gi¶m dÇn cña biÕn.
S¾p xÕp theo lòy thõa t¨ng dÇn cña biÕn.
- BËc cña ®a thøc f(x) lµ bËc cña sè h¹ng cã bËc cao nhÊt ®èi víi biÕn x.
- Mét ®a thøc ®· thu gän, c¸c ®¬n thøc cã mÆt trong ®a thøc kh«ng ®ång d¹ng. HÖ sè cña mçi ®¬n thøc nµy lµ lòy thõa cña biÕn sè trong ®¬n thøc ®ã. HÖ sè n»m trong ®¬n thøc cã sè mò cao nhÊt gäi lµ hÖ sè cao nhÊt.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 183: Thu gän vµ cho biÕt bËc cña c¸c ®a thøc sau:
a) x5 - x + 7x3 - 2x + x3 + 3x4 - x5 + x4 + 15 .
b) 3x2 - 10 + x3 + 7x - x2 + 8 + 7x2 .
Bµi 184: Cho ®a thøc f(x) = ax + b. T×m ®iÒu kiÖn cña h»ng sè b ®Ó cã:
	f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) víi mäi x1, x2 Î Q .
Bµi 185: 
a) Cho ®a thøc ax2 + bx + c. T×m gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i x = 1. Cã nhËn xÐt g×?
b) T×m tæng cña c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: (2 - 3x + x2)1999 . (2 + 3x + x2)2000 .
	________________________________________________________
§10. Céng vµ trõ ®a thøc mét biÕn
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
Céng trõ ®a thøc mét biÕn ta cã thÓ céng trõ nh­ ®a thøc nhiÒu biÕn.
Ngoµi ra ta cã thÓ s¾p xÕp ®a thøc cïng theo lòy thõa gi¶m hoÆc t¨ng cña biÕn vµ ®Æt phÐp tÝnh nh­ tr­êng hîp céng hoÆc trõ c¸c sè.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 186: TÝnh tæng f(x) + g(x) råi s¾p xÕp theo lòy thõa gi¶m:
a) 	f(x) = 2 + 4x + 6x3 + 8x5 + 10x7 .
	g(x) = 1 + 3x2 + 5x4 + 7x6 + 9x8 .
b) 	f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 ;
	g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bn - 1xn - 1 + bnxn .
Bµi 187: TÝnh hiÖu f(x) - g(x) råi s¾p xÕp theo lòy thõa t¨ng:
a)	f(x) = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 ;
 	g(x) = 6x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1.
b) 	f(x) = a1x + a2x2 + a3x3 + ... + an - 1xn - 1 + anxn ;
	g(x) =anx + an - 1x2 + an - 2x3 + ... + a2xn - 1 + a1xn .
Bµi 188: Cho ®a thøc P(x) lµ mét ®a thøc bËc bèn:
	P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 .
	Sao cho P(1) = P(-1) vµ P(2) = P(-2). Chøngminh r»ng P(x) = P(-x) víi mäi x Î Q.
Bµi 189: Cho ®a thøc : f(x) = ax2 + bx + c, biÕt 13a + b + 2c = 0. Chøng minh r»ng f(-2).f(3) £ 0 .
	________________________________________________________
§11. NghiÖm cña mét ®a thøc
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
NÕu t¹i x = a ®a thøc f(x) cã gi¸ trÞ b»ng 0 th× ta nãi a lµ mét nghiÖm cña f(x).
Mét ®a thøc cã thÓ cã mét nghiÖm, hai nghiÖm, ... hoÆc kh«ng cã nghiÖm nµo.
Sè nghiÖm cña ®a thøc kh¸c 0 kh«ng v­ît qu¸ bËc cña ®a thøc ®ã.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 190: t×m nghiÖm cña ®a thøc:
a) 3x2 - 2x + 1	;	b) x3 -4x	;	c) 2x2 + 2x + 1 .
Bµi 191: 
a. Cho c¸c ®a thøc : f(x) = x2 - 4x + 3
	 g(x) = 3x2 - 4x + 1
	 h(x) = -x2 - 2x + 3
Chøng minh r»ng x = 1 lµ nghiÖm cña ba ®a thøc trªn. H·y t×m nghiÖm cßn l¹i cña mçi ®a thøc.
b. Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) = ax2 + bx + c nÕu cã a + b + c = 0 th× x = 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc ®ã.
Bµi 192: Chøng minh r»ng ®a thøc 
	ax2 + bx + c víi a ¹ 0
	 Kh«ng thÓ cã ba nghiÖm kh¸c nhau.
	_________________________________________________________
¤n ch­¬ng IV
Bµi 193: Cho ®a thøc f(x) = ax2 + bx + c.Chøng minh r»ng kh«ng cã nh÷ng sè nguyªn a, b, c nµo lµm cho f(x) b»ng 1 khi x = 1998 vµ b»ng 2 khi x = 2000.
 Bµi 194: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
	 (a < b)
Bµi 195: Chøng minh r»ng nÕu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 th× víi mäi x, y ta ®Òu cã
a. ac + b2 - 2x4y4 = 0	b. ay2 + cx2 = 2xyb
c. abc + b3 ³ 0
Bµi 196: Cho ®a thøc M = 1 + x + x2 + ... + x1999
Chøng minh r»ng : Mx - M = x2000 - 1.
Bµi 197: Cho ®a thøc :
	f(x) = x17 - 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 + ...+ 2000x - 1
TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i x = 1999.
Bµi 198: Cho f(x) lµ mét ®a thøc x¸c ®Þnh víi mäi x vµ tháa m·n : xf(x + 1) = (x2 - 4) f(x)
Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) cã Ýt nhÊt ba nghiÖm.
Bµi 199: Cho ®a thøc N = 2x (1 - x - y) - y2 + 2
a. Chøng minh r»ng N = - (x + y)2 - (x - 1)2 + 3
b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× N cã gi¸ trÞ lín nhÊt ? T×m gi¸ trÞ ®ã.
Bµi 200: Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cue x, y, z gi¸ trÞ cña ®a thøc :
	A = xy + yz + zx kh«ng v­ît qu¸ gi¸ trÞ cña ®a thøc B = x2 + y2 + z2.
PhÇn thø hai:
H×nh häc
Ch­¬ng I:
Bæ sung vÒ ®o¹n th¼ng, gãc, tam gi¸c
§1. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng
1. Tãm t¾t lý thuyÕt:
A
M
B
H×nh 1
Trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng lµ ®iÓm n»m gi÷a hai ®Çu ®o¹n th¼ng vµ c¸ch ®Òu hai ®Çu ®o¹n th¼ng Êy. (H. 1)
M lµ trung ®iÓm cña ®¹on th¼ng AB Û Û 
Trung tuyÕn cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng cã mét ®Çu lµ ®Ønh cña tam gi¸c, mét ®Çu lµ trung ®iÓm cña c¹nh ®èi diÖn víi ®Ønh trªn.
2. C¸c bµi to¸n:
Bµi 201: Chøng minh r»ng nÕu cã ba ®iÓm A, I, B mµ IA = IB = th× I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB.
Bµi 202: Chøng minh r»ng nÕu cã ba ®iÓm A, B, M th¼ng hµng vµ MA = MB th× M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB.
Bµi 203: Cho mét ®iÓm C n»m trªn ®o¹n th¼ng AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng CB.
a) Chøng minh ®iÓm C n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ I.
b) TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AI nÕu AB = 10cm vµ AC = 4cm.
Bµi 204: Cho ®o¹n th¼ng Ab vµ mét ®iÓm C cña ®o¹n th¼ng nµy. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AC vµ K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng CB.
a) Chøng minh ®iÓm C n»m gi÷a hai ®iÓm I vµ K.
b) TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng IK nÕu AB = 10cm, AC = 6cm.
Bµi 205: Cho ®o¹n th¼ng MN, P lµ ®iÓm n»m gi÷a hai ®iÓm M vµ n, Q vµ R lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c ®o¹n th¼ng MP vµ PN. BiÕt QR = 3,5cm. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng MN.
Bµi 206: Cho 4 ®iÓmA, B, C, D theo thø tù ®ã n»m trªn mét ®­êng th¼ng. Gi¶ sö AB = CD. Chøng minh :
a. AC = BD
b. AD vµ BC cã chung trung ®iÓm.
Bµi 207: Trªn tia Ox lÊy hai ®iÓm A, B sao cho OA = a, OB = b (b > a). Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. TÝnh OI. Cho b = 3a. Chøng minh r»ng A lµ trung ®iÓm cña OI.
Bµi 208: Trªn h×nh cho biÕt :
	AB = AC = a
	AM + MN + NA = 2a
	BN = CD
Chøng minh : MN = MD.
Bµi 209: Cho tam gi¸c ABC, trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm D sao cho AB = AD, trªn tia ®èi cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BC, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm F sao cho CA = CF.
a. T×m c¸c tam gi¸c nhËn c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC lµm trung tuyÕn.
b. T×m c¸c tam gi¸c cã trung tuyÕn mµ mét ®Çu lµ ®iÓm D; ®iÓm E; ®iÓm F.
§2. Tia ph©n gi¸c cña gãc
1. tãm t¾t lý thuyÕt :
	* Tia ph©n gi¸c cña mét gãc
	 lµ tia n»m gi÷a hai c¹nh cña
 gãc vµ t¹o víi hai c¹nh cña 
 gãc Êy hai gãc b»ng nhau (H.9a)