70 Bài tập Toán tuyển chọn nâng cao Lớp 7

TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP 7
A. PHẦN ĐẠI SỐ
Bài toán 1. So sánh: và .
Bài toán 2. Tính tỉ số , biết:
Bài toán 3. Cho x, y, z, t N.
Chứng minh rằng: M =có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài toán 4. Tìm x; yZ biết: 
a. 25 – = 8( x – 2009)
b. = + 1997
c. x + y + 9 = xy – 7.
Bài toán 5. Tìm x biết  
a. 
b. .
Bài toán 6. Chứng minh rằng: < 1
Bài toán 7. Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4. 
Bài toán 8. Chứng minh rằng: 
S = < 0,2
Bài toán 9. Tính giá trị của biểu thức A = + giả sử .
Bài toán 10. Tìm max của biểu thức: .
Bài toán 11. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng 
D = 
Bài toán 12. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = ( 3 - 4x + x2 )2004 .( 3 + 4x + x2 )2005 
Bài toán 13. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn: và a + 3 = 
Bài toán 14. Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:
Bài toán 15. Rút gọn biểu thức: N = 
Bài toán 16. Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết: 
Bài toán 17. Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau:
B = 
Bài toán 18. Cho 3x – 4y = 0. Tìm min của biểu thức: M = 
Bài toán 19. Tìm x, y, z biết: .
Bài toán 20. Tìm x, y biết rằng: x+ y+ = 4
Bài toán 21. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài toán 22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.
Bài toán 23. Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện thì .
Bài toán 24. Tìm phân số khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng .
Bài toán 25. Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Bài toán 26. Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n là số chính phương (n lẻ).
Bài toán 27. Tìm n biết rằng: n- n+ 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Bài toán 28. Chứng minh rằng: B = là hợp số với mọi số nguyên dương n.
Bài toán 29. Tìm số dư khi chia (n - 1)111 . (n - 1)333 cho n.
Bài toán 30. Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5.
Bài toán 31. 
a. Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số của 7 thì a6 – 1 chia hết cho 7.
b. Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có ít nhất 4 nghiệm.
c. Chứng minh rằng: a5 – a chia hết cho 10. 
Bài toán 32. Tính giá trị của biểu thức: A = tại (x2 – 1) + (y – z)2 = 16.
Bài toán 33. Chứng minh rằng: 
a. 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) là một số nguyên.
b. M = không thể là số nguyên.
c. Khi viết dưới dạng thập phân thì số hữu tỉ có ít nhất 4000 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phẩy.
Bài toán 34. So sánh A và B biết:
A = và B = .
Bài toán 35. Tìm x biết:
a. 
b. (4x – 3)4 = (4x – 3)2
Bài toán 36. Ba ô tô cùng khởi hành từ A đi về phía B. Vận tốc của ô tô thứ nhất kém vận tốc của ô tô thứ hai là 3km/h. Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba đi hết quảng đường AB lần lượt là 40 phút, giờ, giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài toán 37. Chứng minh rằng + a (a Z+) là số vô tỉ.
Bài toán 38. Cho các số thực a, b sao cho tập hợpa2 + a ; bvà b2 + b ; bbằng nhau. Chứng minh rằng: a = b.
Bài toán 39. Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn: ab = bc = cd = de = ea. 
Chứng minh rằng: a = b = c = d = e.
Bài toán 40. Tìm x, y biết:
a. 5x – 17y = 2xy và x – y = 5; 2x + 3y = xy.
b. x + 2y – 3z = 5xyz và (x – 2y)(y + 7) – x = 192 .( xyz > 0)
B. Phần hình học
Bài toán 41. Tính của tam giác ABC cân tại A biết đường thẳng d đi qua đỉnh A và chai tam giác ABC thành hai tam giác cân.
Bài toán 42. ChoABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Lấy E BC. BH, CK AE (H, K AE). Chứng minh rằng MHK vuông cân.
Bài toán 43. Cho ABC có góc ABC = 50; góc BAC = 70. Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40. Chứng minh rằng: BN = MC.
Bài toán 44. Cho ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác vuông cân ở A là ABE và ACF. Vẽ AH BC. Đường thẳng AH cắt EF tại O. Chứng minh rằng  O là trung điểm của EF.
Bài toán 45. Cho ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:
a.ABC = MDE
b. Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
Bài toán 46. Cho ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BA; CN = CA. Tính .
Bài toán 47. Cho ABC có = 90(AB < AC), phân giác AD. Từ D vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại M. Tính .
Bài toán 48. ABC có = 75; = 60. Kéo dài BC một đoạn thẳng CD sao cho CD = BC. Tính .
Bài toán 49. Cho ABC cân, = 80. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho = 50 ; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho . Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng  HIK cân.
Bài toán 50. Cho ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho MB < MC. Lấy điểm O trên đoạn thẳng AM. Chứng minh rằng .
Bài toán 51. Cho xOy. Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt các điểm A và B sao cho OA + OB = 2a. Xác định vị trí của A và B để cho AB đạt min.
Bài toán 52. Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm giữa M và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ các tam giác cân đỉnh O là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 45. Tìm vị trí của O để AB min. Tính độ dài nhỏ nhất đó.
Bài toán 53. Cho ABC cân tại A có = 100, tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh rằng BC = BD + AD.
Bài toán 54. Cho ABC vuông tại có AC = 3AB. Trên AC lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Chứng minh rằng AEB + ACB = 45.
Bài toán 55. Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 30, BC = 2cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CBD = 60. Tính độ dài AD.
Bài toán 56. Cho tam giác ABC cân tại A, = 75. Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng CH = .
Bài toán 57. Cho tam giác ABC vuông cân tại B và tồn tại một điểm M nằm trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3. Tính .
Bài toán 58. Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện a2 + b2 > 5c2 thì c là cạnh nhỏ nhất.
Bài toán 59. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên trung tuyến BD lấy E sao cho cho DAE = ABD. Chứng minh rằng: .
Bài toán 60. Cho ABC có BAC = 40, ABC = 60. Gọi D và E là các điểm tương ứng trên AC và AB sao cho CBD = 40; BCE = 70. Giả sử BD cắt CE tại F. Chứng minh rằng: AF BC.
Bài toán 61. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN. Từ N vẽ đường thẳng vuông góc với AN cắt AB, AM tại hai điểm P và Q. Từ Q vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AN tại O. Chứng minh rằng QO BC.
Bài toán 62. Cho ABC. Trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại I thỏa mãn IB = IC. Từ A kẻ AH BC. Chứng minh rằng IM = IH.
Bài toán 63. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, G là điểm trên cạnh AB sao cho GB = 2GA. Các đường thẳng GM và CA cắt nhau tại D. Đường thẳng qua M vuông góc với CG tại E và cắt AC tại K. Gọi P là giao điểm của DE và GK. Chứng minh rằng:
a. DE = BC
b. PG = PE.
Bài toán 64. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Giả sử D là điểm nằm bên trong tam giác sao cho tam giác ABD cân và ADB = 150o. Trên nửa mặt phẳng không chứa D có bờ là đường thẳng AC lấy điểm E sao cho tam giác ACE đều. Chứng minh 3 điểm B, D, E thẳng hàng.
Bài toán 65. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại J thỏa mãn điều kiện JB = JC. Từ A kẻ AH vuông góc với cạnh BC. Chứng minh rằng JM = JH.
Bài toán 66. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, AB = 6cm, AC = 8cm, và AM = cm.
a. Tính số đo góc BAC
b. Tính BC
c. Tính diện tích tam giác ABC. 
Bài toán 67. Cho tam giác ABC có góc BAC bằng 105o, đường phân giacstrong CD và đường trung tuyến BM cắt nhau tại K thỏa mãn KB = KC. Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng HA = HB
b. Tính góc ABC và góc ACB’
Bài toán 68. Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho CD = 2BD. So sánh số đo hai góc BAC và CAD.
Bài toán 69. Gọi P là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC và BE, CF là hai đường cao. Đường thẳng qua A, vuông góc với PE, cắt đường thẳng BE tại N. Gọi K và G lần lượt là trung điểm của BM và CN. Gọi H là giao điểm của đường thẳng KF là GE. CMR: AH EF.
Bài toán 70. ChoDEF vuông tại D, có EK là phân giác. Kẻ KM EF, kéo dài KM cắt đường thẳng DE tại I. Chứng minh:
a/ DK = KM ; DE = EM.
b/ EK IF.
c/ Nếu cho M là trung điểm của EF. Chứng minh: .