Bài tập SGK Toán Lớp 7 - Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Giải SBT Toán 7 bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Câu 1: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Lời giải:
Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Khi đó A thuộc đường trung trực của BC	(1)
Tam giác DBC cân tại D nên DB = DC
Khi đó D thuộc đường trung trực của BC (2)
Tam giác EBC cân tại E nên EB = EC
Khi đó E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A, D, E thẳng hàng.
Câu 2: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ΔBDE = ΔCDE.
Lời giải: 
Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC (tính chất đường trung trực)
Vì E thuộc đường trung trực của BC nên EB = EC (tính chất đường trung trực)
Xét ΔBDE và ΔCDE, ta có:
DB = DC (chứng minh trên)
DE cạnh chung
EB = EC (chứng minh trên)
Suy ra: ΔBDE = ΔCDE (c.c.c).
Câu 3: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B.
Lời giải: 
* Nếu AB không vuông góc với d
- Vì điểm C cách đều hai điểm A và B nên C nằm trên đường trung trực của AB.
- Điểm C ∈ d
Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.
Cần dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại C.
Vậy C là điểm cần tìm.
* Nếu AB vuông góc với d
Khi đó đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồn tại điểm C.
Câu 4: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I và II như hình dưới. Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II. Chứng minh rằng:
a, MA < MB
b, NA > NB
Lời giải: 
a, Nối MA, MB
Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA
Ta có: MB = MC + CB
Mà CA = CB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: MB = MC + CA	(1)
Trong ∆MAC, ta có:
MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác)	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB
b, Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB
Ta có: NA = ND + DA
Mà DA = DB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: NA = ND + DB	(3)
Trong ∆NDB, ta có: NB < ND + DB
(bất đẳng thức tam giác)	(4)
Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB.
Câu 5: Cho hình bên. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.
Lời giải:
Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD.
Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD.
Vì A ≠ B nên AB là đường trung trực của CD.
Vậy AB ⊥ CD.
Câu 6: Cho hai điểm A, B và một đường thẳng d. Vẽ đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, B sao cho O nằm trên đường thẳng d.
Lời giải: 
- Vì A và B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB.
- Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn AB.
Vì tâm O nằm trên đường thẳng d nên O là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.
- Dựng đường thẳng m là đường trung trực của AB cắt d tại O.
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB).
* Lưu ý:
- Nếu m // d thì không dựng được tâm O
- Nếu m trùng với d thì có vô số điểm chung O do đó có vô số đường tròn thỏa mãn bài toán.
Câu 7: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB.
Lời giải: 
* Chứng minh thuận
Vì ∆CAB cân tại C nên CA = CB
Suy ra C thuộc đường trung trực của AB
Vì điểm C thay đổi mà ∆CAB luôn cân tại C nên C nằm trên đường trung trực của đường thẳng AB.
* Chứng minh đảo
Trên đường thẳng d lấy điểm C bất ký (C khác trung điểm M của AB).
Nối CA, CB.
Ta có: CA = CB (tính chất đường trung trực)
Suy ra tam giác CAB cân tại C.
Tập hợp các điểm C có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C không thẳng hàng là đường trung trực của AB.
Câu 8: Cho góc xOy bằng 60o, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC.
a, Chứng minh rằng OB = OC.
b, Tính số đo góc BOC.
Lời giải: 
a, Vì Ox là đường trung trực của AB nên:
OB = OA (t/chất đường trung trực)	(1)
Vì Oy là đường trung trực của AC nên:
OA = OC (t/chất đường trung trực)	(2)
Tư (1) và (2) suy ra: OB = OC.
b, Vì ΔOAB cân tại O và Ox là đường trung trực của AB nên Ox là đường phân giác của ∠(AOB) (tính chất tam giác cân)
Suy ra: ∠O3 = ∠O4 (3)
Vì tam giác OAC cân tại O và Oy là đường trung trực của AC nên Oy là đường phân giác của ∠(AOC) (tính chất tam giác cân)
Suy ra: ∠O1 = ∠O2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra: ∠O1 + ∠O3 = ∠O2 + ∠O4
Ta có: ∠(BOC) = ∠O1 + ∠O3 + ∠O2 + ∠O4
= 2(∠O1 + ∠O3) = 2.(xOy) = 2.60o = 120o.
Câu 9: Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho a là đường trung trực của AC.
a, Hãy so sánh MA + MB với BC.
b, Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.
a, Gọi N là giao điểm của BC với đường thẳng a.
* Nếu M ≠ N
Nối MC.
Vì a là đường trung trực của AC nên M ∈ a
Suy ra: MA = MC (tính chất đường trung trực)	(1)
Trong ∆MBC, ta có:
BC < MB + MC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Thay (1) vào (2) ta có: BC < MA + MB
* Nếu M trùng với N
Nối NA. Ta có:
NA = NC (tính chất đường trung trực)
Mà: MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC
Vậy: MA + MB ≥ BC.
b, Theo chứng minh trên, khi M trùng với N thì MA + MB = BC bé nhất. Vậy khi M là giao điểm của BC với đường thẳng a thì MA + MB bé nhất.
Câu 10: Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.
Lời giải:
- Dựng điểm A' sao cho bờ sông là trung trực của AA'.
- Nối A'B cắt bờ sông tại điểm C.
Theo kết quả của bài 62 thì C là điểm cần tìm có khoảng cách CA + CB ngắn nhất.