Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện – cấp tỉnh

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
CẤP HUYỆN – CẤP TỈNH 
Đề1 :Đề thi học sinh giỏi cấp huyện 1983-1984 ( vòng 2 )
	1/Chứng minh rằng nếu :
	x1 x2 xn	 x1 x1 + x2 + ...... xn
 ----- = ----- = ..... = ----- thì ------ = ( ---------------------)n 
	x2 x3 xn+1	 x1 x1 + x2 + ...... xn
	2/Chứng minh rằng nếu x + là số nguyên thì xn + cũng là một 	 	 
 một số nguyên với mọi số tự nhiên n > 0 .
3/Chứng minh :
	a/ A = ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) .... 2n M 2n 
	b/ B = ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) .... 3n M 3n 
	4/Chứng minh A = n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 với mọi n nguyên dương .	5/Có số nguyên nào thỏa mãn : 15x2 - 7y2 = 9 .
	6/Cho tam giác ABC có ba trung tuyến là AM , BN và CP . Gọi G là giao điểm ba đường trung tuyến trên . Chứng minh rằng sáu tam giác AGM , NGC , CGM , MGB , BGP , PGA có diện tích bằng nhau .
Đề2 :Đề thi học sinh giỏi cấp huyện 1986-1987
	1/Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 10 .
	2/ a/Chứng minh :
	( x + y + z )2 = x3 + y3 + z3 + 3 [ xy ( x + y ) + yz ( y + z ) zx ( x + z ) ] + 2xyz 
	b/Phân tích thành nhân tử : x3 + y3 + z3 - 3xyz 
	c/Cho x + y + z = a ; x2 + y2 + z2 = b2 ; x3 + y3 + z3 = c3 . Tính xyz theo a , b , c 
	3/Cho tam giác ABC . Dựng các hình vuông ABMN và ACPQ ở ngoài tam giác . Gọi D,E,G,H là điểm giữa của BC , NB , NQ , AP . Chứng minh tứ giác DEGH là hình vuông .
Đề 3 : Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 1990 – 1991 
	1/Chứng minh : 5. 72 (n + 1 ) + 23n chia hết cho 41 .
	2/ a/Chứng tỏ rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì hoặc a = b = c , hoặc a + b + c = 0
	b/Biết abc ¹ 0 và a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính :
 a b c
 ( 1 + ---- ) ( 1 + ---- ) ( 1 + ---- )
 b c a
3/Giả sử AC là đường chéo lớn nhất trong hình bình hành ABCD . Từ C vẽ CE ,CF lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB và AD.Chứng minh : AB.AE + AD.AF = AC2 
Đề 4 : Đề thi học sinh giỏi cấp huyện vòng 2 năm học 1990 – 1991
	1/ Chứng minh với mọi số nguyên n lẻ thì :
	a/ P = n4 + 2n3 – 16n2 - 2n + 15 M 16 
	b/ Chứng minh : Q = 32n+2 - 2n+1 M 7 ( n nguyên dương ) 
	2/a/Rút gọn : 	
	 3(x + 2 ) 2x2 - x – 10 5 3 3
	M = [ ----------------------- + ----------------------] : -------- + --------- - ------------
 2 ( x3 + x2 + x + 1) 2 ( x3 – x2 + x – 1) x2 + 1 2 ( x + 1 ) 2 ( x – 1 )
	b/Chứng minh với x = 22 1990 + 111990 thì M không có giá trị nguyên .
Đề 10 : Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 1996-1997
( Thời gian 180 phút )
	1/ Cho bốn số a , b , c , d khác 0 và c ¹ d ; c ¹ -d . Chứng minh nếu :
	 a c 
	 ---- = ----- thì 
	 b d 
	2/ a/ Chứng minh phương trình sau vô nghiệm : x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = 0 .
	b/Tính giá trị của biểu thức : 
	x5 + 3x4 + 4x3 + 5x2 + 3x + 2
	A = ------------------------------------------- khi cho x = 111996 
	 x4 + x3 + 2x2 + x + 1
	3/Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 1996.1997 .
	4/Cho tam giác có chu vi bằng 2 .
	a/Chứng minh độ dài mỗi cạnh của tam giác không lớn hơn 1 .
	b/Gọi a , b , c là độ dài ba cạnh của tam giác trên . Chứng minh rằng 
a2 + b2 + c2 < 2 ( 1 – abc ) 
	5/Cho hình thoi ABCD có = 600 . Kéo dài BA lấy điểm E ( EB > EA ) . ED cắt BC tại F . Gọi M là giao điểm của EC và AF . Chứng minh :
	a/ Góc ACE = góc CFA b/ AD2 = AM . AF .
Đề 11 : Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 1998-1999
( thời gian 150 phút ) 
	1/Cho a > b > 0 .
	a/Rút gọn : 
	b/Chứng minh : a + b > 	
c/Có 2 chiếc bình , bình I đựng 2l nước , bình II còn trống . Một người thực hiện qui tắc sang nước như sau :
Lần I : sang 1 / 2 số nước từ bình I sang bình II .
Lần II :sang 1 / 3 số nước hiện có từ bình II sang bình I
Lần III : sang 1 / 4 số nước hiện có từ bình I sang bình II .
	Nếu cứ tiếp tục như vậy thì sau lần sang thứ 1999 ở mỗi bình có bao nhiêu nước .
	3/a/Giải hệ phương trình : x = 2 – yz
	 y = 2 – xz
	 z = 2 – xy
b/Tìm ba bộ số nguyên ( x ; y ; z sao cho : 222(x-3)2 + 501y2 + 73z2 + 3x2z2 =1998
	4/Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE = BF . Hạ BN vuông góc với CE .
	a/Chứng minh DN vuông góc với NF .
	b/Cho thêm BE < AE . Gọi I là giao điểm của AF và DN . Trên đoạn DF lấy điểm J sao cho DJ = FI . Chứng minh 2IJ = AD .
Đề 4 : Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1986 – 1987
	1/Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì 32n + 7 M 8
	2/ a/ Phân tích ra thừa số : x5 + y5 - ( x + y ) 5
	 b/ Giả sử x , y , z là ba số nguyên khác nhau , khác 0 và thỏa x + y + z = 0 . Chứng minh rằng : x5 + y5 + z5 M 5xyz
	3/Cho a , b , c , d là bốn số tùy ý thỏa ad ¹ bc .
 Chứng minh rằng ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) – ( ac + bd )2 ¹ 0
4/Một đường tròn cắt các cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC tại các điểm A1 ,A2 , B1 , B2 , C1 , C2 . Chứng minh rằng nếu các đường vuông góc với BC , CA , AB kẻ từ A1 , B1 , C1 đồng qui thì các đường vuông góc với BC , CA , AB kẻ từ A2 , B2 , C2 cũng đồng qui .
Đề 7 : Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1991-1992 
	1/Chứng minh rằng không tồn tại số chính phương dạng 1992ab 
	2/ Cho p và q là 2 số nguyên tố và 3 < q < p . Biết p – q = 2 . Chứng minh rằng p + q M 12 .
	3/Cho đa thức f (x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện :
	f(x) £ 1 ( -1 £ x £ 1 ) . Trong đó a , b là hai số không âm . Chứng minh a2 + b2 £ 4 . Từ đó suy ra :
	1 8
	 ------- ( 16a2 + b2 ) £ --------
	 1992 249 
	4/Hai đường tròn ( O1 ) , ( O2) tiếp xúc nhau tại P . Một cát tuyến đi qua P cắt đường tròn ( O1) tại A1 vá cắt đường tròn ( O2 ) tại A2 . Một cát tuyến khác cùng đi qua P cắt 2 đường tròn trên tại B1 và B2 . Chứng minh : PA1 . PB2 = PA2 . PB1 .
	5/Qua điểm P nằm trên đáy BC của tam giác cân ABC kẻ các đường song song với các cạnh bên của tam giác này . Gọi Q và R là là giao điểm của các đường thẳng đó với các cạnh bên . Chứng minh nếu D là điểm đối xứng của P qua QR thì D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Đề 5 : Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1992 – 1993
	1/Chứng minh : 
 1 1 1 
 	 ---- + ---- + ... + ---- < 1
	 22 32 n2 
	2/Cho hình chữ nhật có cạnh là các số nguyên . Tìm số đo các cạnh sao cho số đo diện tích của hình chữ nhật bằng số đo chu vi của nó .
	3/Trong một cuộc tranh giải bóng đá ( thi đấu cùng một lượt ) có 30 đội tham gia . Chứng minh rằng trong bất kỳ thời điểm nào của giải ta cũng tìm được hai đội có số trận đấu bằng nhau .
	4/Cho hình bình hành ABCD có có diện tích bằng 1 . Gọi M là trung điểm của BC . AM cắt BD tại Q .
	a/Tính diện tích của tam giác ABM .
	b/Tính diện tích của tứ giác QMCD .
Đề 9 : Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1993 – 1994
1/Tìm tất cả các số nguyên x , y biết x > y > 0 . thỏa mãn x3 + 7y = y3 + 7x .
	2/Cho các số 2 , 6 , 12 , 20 , 30 ,... , n2 + n ( n Ỵ N ) và n ³ 1 . Tính tổng các số nghịch đảo của các số trên .
	3/Chứng minh : 4 a2b2 > ( a2 + b2 – c2 )2 với a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
	4/Cho Tìm các giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên .
	5/Cho đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) . M là một điểm bất kỳ thuộc d . Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với ( O ) . Hạ OH vuông góc với d . Dây PQ cắt OH tại I và OM tại K . 
	a/Chứng minh : OI . OH = OK . OM = R2 .
	b/Tìm quĩ tích của K khi M lưu động trên d .	
Đề 8 : Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1995 – 1996 ( vòng 1 )
	1/ a/ Tìm số tự nhiên n biết rằng tổng các chữ số của nó là n2 – 1996n + 25 .
	b/ Tìm bốn chữ số tận cùng của hiệu 51996 - 51995 .
	c/Có 1995 quả cân 1g , 2g , 3g ..........., 1995g . Chứng minh rằng có thể chia 1995 quả cân trên thành 3 nhóm sao cho tổng khối lượng ở 3 nhóm bằng nhau .
	2/a/Giải phương trình 
	( x+ 1994 )2 + ( x+ 1995)3 + ( x + 1996 ) 4 = 2 
	b/ Giải hệ phương trình :
	 xyz + z = - 2
	xyz2 + z = -2
	 x + y2 + z2 = 4
	3/Cho phương trình bậc hai a2x2 + ( a2 + b2 – c2 ) x + b2 = 0 ( 1 ) 
	a/Chứng minh nếu a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì phương trình 
( 1 ) vô nghiệm .
	b/Nếu a , b , c là độ dài ba đoạn thẳng BC , CA , AB . Hãy chứng minh rằng nếu phương trình ( 1 ) có nghiệm kép thì ba điểm A , B , C thẳng hàng . 
	4/Chứng minh rằng nếu x + y = 1 thì :
	a/ x2 + y2 ³ 
	b/ x16 + y16 ³ 
	5/Cho ba điểm A , B , C thẳng hàng theo thứ tự đó . Trên tia Bx vuông góc với AB tại B ta lấy các điểm E và F sao cho góc AFB = góc ECB = 600 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFB và đường tròn ngoại tiếp tam giác CEB cắt nhau tại I ( I ¹ B ) .
	a/Chứng minh : góc AIC = 900 
	b/Cho A và C cố định . Chứng minh rằng khi B chạy trên đoạn AC thì IB đi qua điểm cố định . 
Đề 12 : Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1995-1996 ( vòng 2 )
( thời gian 180 phút )
	1/ Cho x2 + x + 1 = 0 
	a/Chứng minh : x3k = 1 với k Ỵ N .
	b/Tính :	
	2/Cho hàm số y = f(x) với f(x) là biểu thức đại số lấy giá trị là các số thực với mọi x là số thực . Tính f(2) biết rằng 2f(x) + f(1-x) = 3x .
	3/a/Chứng minh rằng với nọi x , y ³ 0 ta có : x + y ³ 2 	
	b/Cho a > b ; ab = 1 . Chứng minh rằng :
	4/ Cho số a = 99....9 ( có n chữ số 9 )
Chứng minh : a2 = 99...9800...01 ( có n-1 chữ số 9 , n-1 chữ số 0 )
	5/Cho biểu thức A(x; y ) = 	 trong đó x và y lấy giá trị trên tập hợp các nghiệm nguyên của phương trình 4x + 5y = 7 . Chứng minh : A(x; y) ³ 1 .
	6/a/Cho tứ giác ABCD có AD = BC . Đườøng thẳng đi qua trung điểm M và N của hai cạnh AB và CD cắt AD và BC kéo dài tại E và F . Chứng minh 	
	b/Các đỉnh của một tam giác nội tiếp trong một đường tròn trùng với các tiếp điểm của đường tròn đó với các cạnh của một tam giác ngoại tiếp đường tròn . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường tròn đến các cạnh của tam giác nội tiếp bằng tích các khoảng cách từ điểm đó đến các cạnh của tam giác ngoại tiếp .
Đề 4 :Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1998 – 1999 
	1/Cho x là số nguyên , n là số tự nhiên khác 0 .
	a/ Chứng minh : x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ... [ x + ( n – 1 ) ] M n khi n = 2 và n = 3 
	b/ Chứng minh số 
	1988x3 1989x3 x 
	-------- + --------- + ----- là số nguyên .
	 6 2 6
	2/ a/ Phân tích thành nhân tử : A = x3 ( y2 – z2 ) + y3 ( z2 – x2 ) + z3( x2 – y2 )
	b/Chứng minh rằng nếu x < y < z < 0 thì A ¹ 0 
	Nếu 0 < x < y < z thì điều khẳng địng trên còn đúng hay không ?
	3/Cho tứ giác lồi ABCD . Gọi ( O1) , ( O2) là các đường tròn nội tiếp trong tam giác ABD và BCD .
	a/ Tìm điều kiện của các cạnh của tứ giác ABCD để ( O1) , ( O2) tiếp xúc nhau .
	b/Gọi ( O3) , ( O4) lần lượt là đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC và ACD . Chứng minh rằng nếu ( O1) , ( O2) tiếp xúc thì ( O3) , ( O4) tiếp xúc nhau . Điều ngược lại có đúng không ?