Bổ trợ kiến thức Toán Hình 9

Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 1,2. Luyện các hệ thức về cạnh và đường cao trong 
 tam giác vuông
I. Mục tiêu.
Học xong tiết này HS cần phải đạt được :
	+ Củng cố các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông . Từ các hệ thức đó tính 1 yếu tố khi biết các yếu tố còn lại .
	+ Vận dụng thành thạo các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao tính các cạnh trong tam giác vuông .
	+ Có ý thức tổ chức kỉ luật, tinh thần đoàn kết.	
II. Chuẩn bị:
GV: Bảng phụ, Eke, Máy tính
HS: Bộ dụng cụ học tập, máy tính.
III. Tiến trình dạy học.
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
- GV yêu cầu HS phát biểu bằng lời các hệ thức
- HS đứng tại chỗ phát biểu
- GV ra bài tập, gọi HS đọc đề bài, vẽ hình và ghi GT , KL của bài toán .
- Hãy điền các kí hiệu vào hình vẽ sau đó nêu cách giải bài toán .
- áp dụng hệ thức nào để tính y ( BC ) ?
- Để tính AH ta dựa theo hệ thức nào ?
- Gợi ý : AH . BC = ?
- GV gọi HS lên bảng trình bày lời giải .
- GV ra tiếp bài tập, yêu cầu HS đọc đề bài và ghi GT , KL của bài toán .
- Bài toán cho gì ? yêu cầu gì ?
- Để tính được AB , AC , BC , CH mà biết AH , BH ta dựa theo những hệ thức nào ?
- Xét D AHB theo Pitago ta có gì ?
- Tính AB theo AH và BH ?
- GV gọi HS lên bảng tính .
- áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông hãy tính AB 
theo BH và BC .
- Hãy viết hệ thức liên hệ từ đó thay số và tính AB theo BH và BC .
- GV cho HS làm sau đó trình bày lời giải .
- Tương tự nh phần (a) hãy áp dụng các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để giải bài toán phần (b) .
- GV ra tiếp bài tập 11( SBT ) gọi HS đọc đề bài sau đó vẽ hình và ghi GT , KL của bài toán .
- D ABH và D ACH có đặc điểm gì? Có đồng dạng không ? vì sao ?
- Ta có hệ thức nào ? vậy tính CH nh thế nào ?
- Viết tỉ số đồng dạng từ đó tính CH .
- Viết hệ thức liên hệ giữa AH và BH , CH rồi từ đó tính AH 
- GV cho HS làm sau đó lên bảng trình bày lời giải .
Giáo viên ra bài tập:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn HB và HC. Biết HB=6 Cm, AH=8Cm. tính: BC, AB, AC, HC của tam giác ABC.
GV: gọi 1 HS lên bảng vẽ hình, viết GT/KL bài toán.
để tính được AB ta vận dụng định lí nào?
Để tính được BC ta vận dụng định lí nào?
Từ đó suy ra được HC bằng cách nào?
Để tính được AC ta có thể thực hiện như thế nào?
(Hướng dẫn học sinh làm nhiều hơn hai cách) 
GV: ra đề bài tập mở rộng 2.
Cho tam giác ABC vuông tại A. đường cao AH. Biết AB=3cm, AC=4cm. tính AH, HB,HC.
Cho hs hoạt động nhóm và trình bày
Các nhóm nhận xét lẫn nhau.
GV: kết luận .
1. Lý thuyết.
b2 = ab'; c2 = ac'
h2 = b'c'
bc = ah
2. Bài tập.
ãBài tập 3 ( SBT - 90 ) 
Xét D vuông ABC, AH ^ BC . Theo Pi- ta-go ta có 
BC2 = AB2 + AC2 
đ y2 = 72 + 92 = 130
đ y = 
-áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và 
đường cao ta có :
AB . AC = BC . AH 
đ AH = đ x = 
ãBài tập 5 ( SBT - 90 )
GT : D ABC ( = 900)
AH ^ BC 
KL: a) AH = 16 ; BH = 25. Tính AB , AC , BC , CH ?
b) AB = 12 ; BH = 6
Tính AH , AC , BC , CH
Giải :
a)	Xét D AHB ( = 900) theo định lí 
Pi-ta-go ta có :
AB2 = AH2 + BH2 = 162 + 252 = 256 + 625 = 881
đ AB = ằ 29,68
- áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và
 đường cao trong tam giác vuông ta có :
AB2 = BC . BH đ BC = 35,24
Lại có : CH = BC - BH = 35,24 - 25 = 10,24
Mà AC2 = BC . CH = 35,24 . 10,24
đ AC ằ 18,99 .
b)	Xét D AHB ( = 900) đ Theo Pi-ta-go ta có : AB2 = AH2 + BH2 
đ AH2 = AB2 - BH2 = 122 - 62
đ AH2 = 108 đ AH ằ 10,39
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có 
AB2 = BC . BH đ BC = 24
Có HC = BC - BH = 24 - 6 = 18
Mà AC2 = CH.BC đ AC2 = 18.24 = 432
đ AC ằ 20,78
 ãBài tập 11 ( SBT - 91) 
GT: AB : AC = 5 : 6
AH = 30 cm
KL: Tính HB , HC ?
Giải :
Xét D ABH và D CAH 
Có ABH = CAH (cùng phụ với góc BAH )
đ D ABH đồng dạng D CAH đ
Mặt khác BH.CH = AH2
đ BH = ( cm )
Vậy BH = 25 cm ; HC = 36 (cm )
Bài tập mở rộng1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đc AH. HB=6cm,AH=8cm 
GT 
tính: BC, AB, AC, HC
KL
áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H.
AB=10Cm.
Vận dụng định lí 1 ta có:
AB2=BC.HB suy ra BC=50/3 cm suy ra HC=BC-HB=32/3 cm.
HS: tính được AC=40/3cm.
Bài tập mở rộng2:
HS: làm vào bảng nhóm
Các nhóm trình bày bài giải
3. Hướng dẫn về nhà.
- Học thuộc các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông .
- Xem lại các bài tập đã chữa, vận dụng tương tự vào giải các bài tập còn lại trong SBT/90 , 91
- Bài tập 2 , 4 ( SBT - 90) ; Bài tập 10 , 12 , 15 ( SBT - 91)
Ngày soạn:20/11/2011
Ngày giảng:9A: 22/11/2011 và 9B: 23/11/2011
Tiết 3,4. Luyện: Tỉ số lượng giác góc nhọn.
I/Mục tiêu
	Học xong tiết này HS cần phải đạt được :
	Kiến thức 
- Củng cố cho học sinh khái niệm về tỉ số lượng giác của góc nhọn, cách tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn và tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
	- Củng cố lại cách dùng bảng máy tính bỏ túi để tìm tỉ số lượng giác của góc nhọn hoặc ngược lại .	
	Kĩ năng 
- Rèn kỹ năng tính tỉ số lượng giác của các góc nhọn và tìm góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác .
	Thái độ 
- Có ý thức tự giác học tập.	
II/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: 
Thước, êke, máy tính bỏ túi
- HS:
Thước, êke, máy tính bỏ túi
III/Tiến trình bài dạy
1. Tổ chức 	
2. Kiểm tra bài cũ 	
- HS1: 
Nêu định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ?
Viết công thức tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ?
- HS2:
Giải bài tập 21 ( SBT ) - 92 
3. Bài mới 
Hoạt động của GV và HS
Nội dung
1.	Ôn tập lí thuyết 
- GV cho HS ôn lại các công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn 
Ôn tập định lí về tỉ số 
lượng giác của hai góc phụ nhau.
Sin = cạnh đối/cạnh huyền
Cos = Cạnh kề/cạnh huyền.
Tan = cạnh đối/cạnh kề 
Cotan = cạnh kề/cạnh đối
2.	Bài tập luyện tập 
- GV ra bài tập 22 ( SBT - 92 ) gọi HS đọc đề bài , vẽ hình và ghi GT , KL của bài toán . 
- Bài toán cho gì ? yêu cầu gì ? 
- Nêu hướng chứng minh bài toán . 
- Gợi ý : Tính sinB , sinC sau đó lập tỉ số để chứng minh . 
- GV ra tiếp bài tập 24 ( SBT - 92 ) Học sinh vẽ hình vào vở và nêu cách làm bài . 
- Bài toán cho gì ? yêu cầu gì ? 
- Biết tỉ số tan ta có thể suy ra tỉ số của các cạnh nào ? 
- Nêu cách tính cạnh AC theo tỉ số trên . 
- Để tính BC ta áp dụng định lý nào ? ( hãy dùng Pi-ta-go để tính BC ) 
- Trước hết ta phải tính yếu tố nào trớc?
- Tính bằng cách nào?
- GV tổ chức cho học sinh thi giải toán nhanh ?
- Cho các nhóm nhận xét chéo kết quả của nhau ?
ã	 Bài tập 22 ( SBT - 92 ) 
GT : ABC ( Â = 900) 
KL : Chứng minh :
Chứng minh :
- Xét vuông ABC, theo tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có : 
sin B = 
( Đcpcm) .
ã	Bài tập 24 ( SBT - 92) 
Giải : 
tan==>
=> AC=7,5(cm)
- áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có: 
BC2 = AC2 + AB2 = 7,52 + 62 = 92,25
=> BC 9,6 (cm)
ã	Bài tập 26 ( SBT - 92) 
- áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có: 
BC2 = AC2+AB2 = 82+62 =100
=> BC=10 (cm)
IV. Củng cố
- GV củng cố lại các bài tập đã chữa, nhấn mạnh lại lí thuyết của bài
*) Bài tập 23/SBT
V. Hướng dẫn về nhà 
- Về nhà xem lại các bài tập đã chữa.
	- Học lại lí thuyết.
	- Chuẩn bị các bài tập về giải tam giác vuông.
Ngaứy soaùn : 04/12/2011
Ngày giảng: 9A: 06/12/2011 và 9B: 07/12/2011
 Tieỏt 5,6: các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 
I/Mục tiêu
Học xong tiết này HS cần phải đạt được :
	Kiến thức 
- Củng cố lại cho học sinh các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và vận dụng vào giải tam giác vuông .	
	Kĩ năng 
- Rèn kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi tìm tỉ số lượng giác của một góc nhọn. Vận dụng thành thạo hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính cạnh và góc của tam giác vuông.
	Thái độ 
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.
II/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: 
Thước, êke, máy tính bỏ túi
- HS:
Thớc, êke, máy tính bỏ túi 
III/Tiến trình bài dạy
1. Tổ chức 	
2. Kiểm tra bài cũ 	
- HS1: 
Viết các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông . 
- HS2:
Giải tam giác vuông ABC (), biết AB = 12cm , AC = 5 cm 
Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC.
3. Bài mới 
Hoạt động của GV và HS
Nội dung
1.	Bài tập 59 (SBT - 98) 
- Hình vẽ cho ta biết điều gì ? Nêu cách làm ?
- Hs lên bảng trình bày ?
- HS nhận xét cách làm ?
- GV nhấn mạnh lại cách làm
- Hình vẽ cho ta biết điều gì ? Nêu cách làm ?
- Hs lên bảng trình bày ?
- HS nhận xét cách làm ?
- GV nhấn mạnh lại cách làm
Tính x, y trong hình vẽ
a)
Giải: x = 8.sin300 = 4
x = y.cos500 => y = x : cos500
y = 4 : cos500 6,2
b) 
- Xét tam giác CAB vuông tại A ta có:
 x = CB.sin 400 4,5
- Xét tam giác CAD vuông tại A ta có:
AD = x.cotan 600
AD = y 2,6
2. Bài tập 62 (SBT - 98) 
- GV ra bài tập, gọi HS đọc đề bài, vẽ hình và ghi GT , KL của bài toán .
- Bài toán cho gì ? yêu cầu gì ? 
- Để tính góc B , C ta cần biết các yếu tố nào ? 
- Theo bài ra ta có thể tính đợc chúng theo các tam giác vuông nào ? 
- Gợi ý : Tính AH sau đó áp dụng vào tam giác vuông AHC tính góc C từ đó tính góc B .
GT : D ABC ( Â = 900 ) 
 AH ^ BC ;
 HB = 25 cm ; HC = 64 cm 
KL : Tính góc B , C ? 
 Giải : 
- Xét D ABC ( Â = 900 ) . Theo hệ thức lượng ta có : AH2 = HB . HC = 25 . 64 = (5.8)2 
đ AH = 40 ( cm ) 
- Xét tam giác vuông HAC có : 
tan C = đ ằ 320 
đ .
3.	Bài tập 63 (SBT - 99) 
- Đọc đề bài ?
- Bài toán cho biết yếu tố nào ?
- Yêu cầu của bài toán ?
- Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận ?
- Cho học sinh thi giải toán nhanh ?
- Đại diện hai đội lên trình bày cách làm ?
- Cho nhận xét chéo ?
- GV nhấn mạnh lại cách làm.
- Xét tam giác CHB vuông tại H ta có:
CH = CB.sinB
CH = 12.sin60010,4 
- Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:
CH = AC.sinA => AC = CH : sin800 10,6
- Xét tam giác CHB vuông tại H ta có:
HB2 = BC2 - CH2 35,84
=> HB 6 (cm)
- Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:
AH2 = CA2 - CH2 4,2 cm
=> AH 2,1(cm)
AB = AH + HB = 8,1
SABC = 
Hướng dẫn về nhà:
Xem lại các bài đã chữa.
Ngày soạn: 18/12/2011
Ngày giảng: 9A: 20/12/2011 và 9B: 21/12/2011
Tiết 7, 8, 9, 10 
 Luyện giải các bài toán tổng hợp
I. Mục tiêu:
+ Luyện cho học sinh giải các bài toán tổng hợp về hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, các bài toán về tỉ số lượng giác góc nhọn, bài toán giải tam giác vuông.
+ Rèn luyện cho học sinh kỷ năng vẽ hình, kỉ năng giải bài toán vận dụng tất cả các kiến thức đã học.
+ Rèn luyện tính cẩn thận, sáng tạo trong khi làm bài tập.
II. Chuẩn bị:
GV: giáo án, máy chiếu, Eke.
HS: bảng nhóm, Eke, thước đo góc.
III. Nội Dung bài học.
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của họ ... âm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài tập 2:
a. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
 Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
b. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà éAOM và éBOM là hai góc kề bù => éCOD = 900.
c. Theo trên éCOD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .
d. Theo trên éCOD = 900 nên OC ^ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
e. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB 
 IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn
 đường kính CD 
Bài tập 3:
Xét tứ giác CEHD ta có :
é CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
é CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
 => é CEH + é CDH = 1800
 Mà é CEH và é CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
2.Theo giả thiết: 	BE là đường cao => BE ^ AC => éBEA = 900.
AD là đường cao => AD ^ BC => éBDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn 
đường kính AB.
Vởy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3.Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có éBEC = 900 .
VVậy tam giác BEC vuông tại E có ED là 
trung tuyến => DE = BC.
4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => éE1 = éA1 (1).
Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => éE3 = éB1 (2)
Mà éB1 = éA1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => éE1 = éE3 => éE1 + éE2 = éE2 + éE3 
Mà éE1 + éE2 = éBEA = 900 => éE2 + éE3 = 900 = éOED => DE ^ OE tại E.
Vởy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ú ED2 = 52 – 32 ú ED = 4cm
C. Hướng dẫn về nhà:
+ xem lại các bài tập đã giải.
+ làm tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Cho đường tròn (O;R) có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm M ( khác O).Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N.Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
Tứ giác OMNP nội tiếp 
Tứ giác CMPO là hbh
Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí của điểm M
Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên 1 đoạn thẳng cố định
Bài 2: 
Cho đoạn AB và 1 điểm M là trung điểm của nó. Vẽ Mx ⊥ AB, đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại A cắt Mx tại C và D ( D nằm giữa M và C)’
C/m tích MC.MD không đổi khi bán kính đường tròn thay đổi
C/m D lad trực tâm của ∆ ABC
Đường thẳng BD cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là E. C/m E và B đối xứng với nhau qua AC
Ngày soạn:
Ngày giảng: 9A: 03/04/2012 và 9B: 04/04/20122
Tiết: 35, 36, 37, 38. Bài tập tổng hợp.
I. Mục tiêu:
+ Tổng hợp lại toàn bộ kiến thức trọng tâm của hình học 9 từ hệ thức trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác góc nhọn, các bài tập về đường tròn, tứ giác nội tiếp.
+ Rèn cho học sinh kỹ năng vận dụng limh hoạt các kiến thức đã học vào giải bài tập.
+ Rèn cho học sinh vẽ hình, cách trình bày một bài chứng minh hình học.
II. Chuẩn bị:
+ GV: Giáo án, máy chiếu, compa.
+ HS: Bảng nhóm, tài liệu liên quan.
III. Tiến trình dạy học:
Bài 1 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
Lời giải:
(HS tự làm).
Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính 
Và dây cung) => éOKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có éOAM = 900; éOBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. 
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 
 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R 
 => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .
 Theo tính chất tiếp tuyến ta có éOAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.
 áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.
4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
 => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình 
 thoi.
 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB => O, 
 H, M 
 thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động 
trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R
 Bài 2 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A
 bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của 
 đường tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
 4. Chứng minh BE = BH + DE.
 Lời giải: (HD)
 1. D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
 Vì AB ^CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC => 
 BEC là tam giác cân. => éB1 = éB2 
 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, éB1 = éB2 => D AHB = DAIB => AI = AH.
 3. AI = AH và BE ^ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
 Bài 3 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến 
 đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
 Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
Chứng minh BM // OP.
Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
 Lời giải: 
 1. (HS tự làm).
 2.Ta có é ABM nội tiếp chắn cung AM; é AOM là góc ở tâm
 chắn cung AM => é ABM = (1) OP là tia phân giác é AOM ( t/c hai tiếp 
 tuyến cắt nhau ) => é AOP = (2) 
 Từ (1) và (2) => é ABM = é AOP (3) 
 Mà é ABM và é AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)
 3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : éPAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); éNOB = 900 
 (gt NO^AB).
 => éPAO = éNOB = 900; OA = OB = R; éAOP = éOBN (theo (3)) => DAOP = DOBN 
 => OP = BN (5)
 Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
 4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ^ AB => ON ^ PJ 
 Ta cũng có PM ^ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực 
 tâm tam giác POJ. (6)
 Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có éPAO = éAON = éONP = 900 => K là 
 trung điểm của PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6)
 AONP là hình chữ nhật => éAPO = é NOP ( so le) (7)
 Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác éAPM => éAPO = éMPO (8).
Từ (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.
 Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Lời giải: 
1. Ta có : éAMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
=> éKMF = 900 (vì là hai góc kề bù).
éAEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
=> éKEF = 900 (vì là hai góc kề bù).
=> éKMF + éKEF = 1800 . Mà éKMF và éKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
2. Ta có éIAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên). 
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB.
Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => éIAE = éMAE => AE = ME (lí do )
=> éABE =éMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có éAEB = 900 => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)
Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác éHAK (5) 
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
(HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang. 
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân. 
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. 
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => éABM = éMAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7)
Tam giác ABI vuông tại A có éABI = 450 => éAIB = 450 .(8)
Từ (7) và (8) => éIAK = éAIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
 Ngày soạn:
Ngày giảng: