Bồi dưỡng đại trà học kì 2

Bồi dưỡng đại trà học kì 2
A. CHươNG III thống kê
1. Thu thập số liêu thống kê, tần số:
Các số liệu thu thập được khi điều tra về một dấu hiệu gọi là số liệu thống kê. Mỗi số liệu là một giá trị của dấu hiệu.
Số tất cả các giá trị (không nhất thiết khác nhau) của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra.
Số lần xuất hiện của một giá trị trong dẫy giá trị của dấu hiệu là tần số của giá trị đó.
2. Bảng tần số các giá trị của dấu hiệu:
Dấu hiệu (x)
x
x
x
Tần số (n)
n
n
n
N
Dấu hiệu (x)
Tần số (n)
x
x
.
.
.
x
n
n
.
.
.
n
N
3. Biểu đồ: 
 Có thể biểu diễn số liệu bằng biểu đồ.
4. Số trung bình cộng của dấu hiệu: Kí hiệu 
Tính bằng công thức: 
Trong đó: x, x xlà các gia tri khac nhau cua dấu hiệu.
	n, n nlà các tần số tương ứng.
	N là số các giá trị.
Tính bằng cách lập bảng:
Dấu hiệu (x)
Tần số (n)
Các tích (x.n)
x
x
.
.
.
x
n
n
.
.
.
n
x n
x
n
.
.
.
xn
N = n + n +...+ n
ý nghĩa: Số trung bình cộng thường được dùng làm “đại diện” cho dấu hiệu.
Mốt của dấu hiệu: Giá tri có tần số lớn nhất trong bảng “tần số” . Kí hiệu: M
B. CHươNG IV BIểU THứC đạI Số
Biểu thức đại số:
Biểu thức mà trong đó ngoài các số, kí hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ đại diện cho số(gọi là biến số) là biểu thức đại số.
Giá trị của một biểu thức đại số:
	Tính giá trị của biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giỏ trị cho trước vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
Đơn thức
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa các số và các biến. Số 0 là đơn thức không.
Bậc của đơn thức co hệ số khác 0 là tổng số mũ của tât cả các biến có trong đơn thức đó
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Cộng trừ các đơn thức đồng dạng ta công trừ các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến
Nhân hai đa thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau và dùng lũy thừa ghi bậc của mỗi biến.
Đa thức
Đa thức là tổng của những đơn thức
Bậc của đa thức là bậc cao nhất của hạng tử trong dạng thu gọn của đa thức. Đa thức không là đa thức không có bậc.
Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Mỗi số được coi là một đa thức một biến.
Ta có thể cộng, trừ các biểu thức số và tương tự ta cũng có thể thực hiện phép toán cộng trừ đa thức 
Nếu tại x = a mà đa thức P(x) = 0 ta nói a (hoặc x = a) là nghiệm của đa thức đó.
II. bài tập
Bài 1: Một thầy giáo theo dõi thời gian làm một bài tập (Thời gian tính theo phút) của 30 học sinh (ai cũng làm được) và ghi lại như sau.
10
5
8
8
9
7
8
9
10
8
5
7
10
9
8
8
9
7
14
7
9
8
9
10
10
10
7
5
5
14
Dấu hiệu ở đây là gì?
Lập bảng “tần số” và nhận xét
Đáp án
a, Dấu hiệu: thời gian làm 1 bài tập của mỗi học sinh
b, Bảng tần số
Giá trị (x)
5
7
8
9
10
14
Tần số (n)
4
5
7
6
6
2
N=30
Nhận xét: Thời gian làm bài ít nhất là 5 phút
 Thời gian làm bài nhiều nhất là 14 phút
Số đông các bạn đều hoàn thành bài tập khoảng từ 8 đến 10 phút
Bài 2 Một giáo viên theo dõi thời gian làm bài tập ( tính theo phút ) của 30 học sinh và ghi lại như sau:
	10	5	8	 8	9	7	 8	9	14	 8
	 5	7	8	10	9	8	10	7	14	 8
	 9	8	9	 9	9	9	10	5	 5	14	
a)Lập bảng tần số:
b)Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu
Đáp án
	a) 	Lâp bằng bảng tần số:
	b)	 8,6 phút
	Mo = 8 và Mo = 9
Phần đa thức
Bài 1: Cho đa thức M(x) = 4x3 + 2x4 –x2 –x3 +2x2-x4+1-3x3
sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lỹ thừa giảm của biến
Tính M(-1) và M(1)
Chứng tỏ đa thức trên không có nghiệm
Đáp án
M(x) = x4 + x2 +1
M(1) = 14 + 12+1 =3
 M(-1) = (-1)4+(-1)2 +1=3
Ta có x4 0 với mọi x
 x2 0 với mọi x
nên x4 + x2 + 1 1> 0 với mọi x
vậy đa thức x4 + x2 + 1 không có nghiệm
Bài 2. Cho P(x) = 
	a, Thu gọn và sắp xếp đa thức P(x) theo lũy thừa giảm.
	P(x) = 
	=
	=
	b, Cho Q(x) = . Tính P(x) + Q(x).
	P(x)+Q(x)=( )+()
	=+
	=
	Bài 3: Tìm nghiệm cua đa thức N(x) = 7x – 5
Đáp án
Nếu x là nghiệm của N(x)= 7x – 5 thì N(x) = 0
	Hay 7x – 5 = 0
	7x = 5
	x = 
Bài 4
 a, Tính tích của hai đơn thức sau: - 0,5x2yz và -3xy3z. Tìm hệ số và bậc của tích tìm được.
 b, Cho A = x2- 2x - y2 + 3y - 1 B = -2x2 + 3y2 - 5x + y + 3. Tính A + B, A - B?
Đáp án
a. (-0,5x2yz).(-3xy3z) = 1,5x3y4z2. Hệ số 1,5 Bậc 9
b , A + B = (x2-2x - y2 +3y -1) + (-2x2 + 3y2 -5x + y +3)
 = x2 -2x - y2 +3y -1 -2x2 +3y2 -5x +y + 3
 = -x2 -7x +2y2 +4y +2
 A - B = (x2-2x -y2 +3y - 1) - (-2x2 + 3y2 -5x +y +3)
 = x2 - 2x - y2 +3y - 1 + 2x2 - 3y2 + 5x - y - 3
 = 3x2 +3x - 4y2 +2y - 4
Bài 5: Cho đa thức: P(x) = 5x3 + 2x4 - x2 + 3x2 - x3 - x4 + 1 - 4x3
a, Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo thứ tự giảm dần của các biến?
b, Tính P(1) và P(-1)?
c, Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm?
Đáp án
 a, p(x) = 5x3 + 2x4 - x2 + 3x2 - x3 - x4 + 1 - 4x3
 = x4 + 2x2 + 1
 b, p (1)= 14 + 2.12 + 1= 4
 p(-1)= (-1)4 + 2.(-1)2 + 1 = 4
 c, x4 ³ 0 " x
 2x2 ³ 0 " x nên p(x) = x4 + 2x2 + 1 ³ 1 " x.
Bài 6: Tìm x:
a. = 7
b. = x
c. 
d. = -5
Đáp án
 a. = 7
x + 5 = 7
x + 5 = -7
 b. = x 
 c. 
x + 1 = 3 x = 2
x +1 = -3 
 d. = -5
 Do 0mà -5 < 0 Vô lý
Vậy không tìm được giá trị của x thoả mãn đề bài.
Bài 7 Cho 2 đa thức 
 P = x + 2mx + m và
 Q = x + (2m+1)x + m
 Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Đáp án
P(1) = 12 + 2m.1 + m2
 = m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
 = m2 – 2m 
Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4
Bài 8 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
 A = +5 B = 
 C = D = 
Đáp án
A = +5
Ta có : 0. Dấu = xảy ra x= -1.
 A 5.
Dấu = xảy ra x= -1.
Vậy: Min A = 5 x= -1.
B = 
Ta có x 0. Dấu = xảy ra x = 0.
 x + 2 2 ( 2 vế dương ).
 Dấu = xảy ra x= 0.
Vậy Max B = x = 0
C = = = 1 + 
Ta có: x 0. Dấu = xảy ra x = 0
 x + 3 3 ( 2 vế dương )
 4 1+ 1+ 4
 C 5
Dấu = xảy ra x = 0
 Vậy : Max C = 5 x = 0.
D = 1 + 
 Mà x + y + 3 3
 D 1+ D 
 Min D = x= y = 0
Bài 9 Cho 3 số a, b, c khác nhau và khác 0 ( b+c, a+c, a+b 0 ).
 Thoả mãn điều kiện : .
 Tính giá trị biểu thức P = 
Đáp án
 Ta có : .= = 
TH1 a +b + c 0
 = 
 = 
 = = = 2
Vậy P = + + = 6 
TH2 a + b + c =0
* b + c = - a ; a + c = - b ; a + b = -c 
Vậy P = 
Bài 10: Cho hai đa thức f(x) = 5x – 7 ; g(x) = 3x + 1
	a) Tìm nghiệm của f(x) , g(x)
	b) Tìm nghiệm của đa thức A(x) = f(x) – g(x). 
	Ta có với giá trị nào của x thì f(x) = g(x)
Đáp án
	a) f(x) có nghiệm là 	
	 g(x) có nghiệm là	
	b) A(x) có nghiệm là x = 4	
	 Khi x = 4 thì f(x) = g(x)	
Bài 11: 
Cho hai đa thức:
	M = 3,5x2y - 2xy2 + 2xy + 3xy2 + 1,5x2y.	; N = 2x2y +3,2xy +xy2 -4xy2 - 1,2xy.
a) Thu gọn các đa thức M và N:
b) Tính M + N ;	M - N.
Đáp án
 	a) 	M = 5x2y + xy2 + 2xy.
	N = 2x2y - 3xy2 + 2xy.
	b)	M + N = 7x2y - 2xy2 + 4xy.
	M - N = 3x2y +4xy2.
Phần hình học
	Bài 1: Cho tam giác ABC biết
	a, Tìm số đo các góc A, B, C.
	Theo định lí tổng 3 góc của 1 tam giác ta có 
	Ta lại có
	b, Vẽ đường cao AD. Chứng minh rằng: AD < BC < CD.
	Theo cmt thì trong tam giác vuông ABD có
	AD < BD (tính chất cạnh và góc đối diện) (1)
	Trong tam giác ABC, ta lại có: 
	AB < AC
	BD < CD (tính chất hình chiếu và đường xiên) (2)
	Từ (1) và (2) AD < BD < CD
Bài 2 Cho DABC cân tại A . Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và diểm N trên tia đối của tia CB sao cho BM=CN
Chứng minh: Góc ABM = góc CAN
Chứng minh: DAMN cân
So sánh độ dài các đoạn thẳng AM;AC
Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = AM. Chứng minh rằng nếu MB = BC = CN thì tia AB đi qua trung điểm đoạn thẳng IN .
Đáp án
vẽ hình ghi giả thiết kết luận 
Góc ABM = 1800-
 Góc ACN = 1800 – Ĉ1
Mà = Ĉ1 ( gt)
 góc ABM = góc CAN
. Chứng minh DABM = DACN (c.g.c) AM = AN (2 cạnh tương ứng)
Vậy DAMN cân tại A
c, Chứng minh góc ACN là góc tù
DCAN có góc CAN là góc tù nên AN là cạnh lớn nhất
Do đó AN > AC
Mà AN = AM (chứng minh trên)
Nên AM > AC
d, Ta có AM = MI nên NM là đường trung tuyến của DNAI
Mà CN = CB = BM (gt) BN = NM
 B là trọng tâm DNAI
Do đó AB là đường trung tuyến của DNAI 
vậy tia AB đI qua trung điểm của đoạn thẳng IN
Bài 4. Cho tam giác ABC. Đường trung trực của cạnh AB cắt tia BC tại D. Trên tia AD lấy AE = BC.
 a) Chứng minh ABC = BAE
 b) Chứng minh AB // CE
	a, và.
	Tam giác DBE là tam giác cân và có đương cao BH vẽ từ đỉnh B cũng là đường trung tuyến vẽ từ đỉnh ấy
	Suy ra BH là đường phân giác của góc B của , tức là 
	có vì đối đỉnh.
	Mà cân
	Suy ra: ; tức là 
	Ta có: 
	Vì nên suy ra : 
	Từ đó: 
	b, BE BC.
	Ta có: 
	Vậy BE BC.
Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 90o ), tia phân giác của góc B cắt AC ở E, từ E kẻ EH vuông góc BC (H thuộc BC) chứng minh rằng:
a, D ABE bằng D HBE.
b, BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c, EC > AE.
Đáp án Vẽ hình:
a, Xét DABE và DHBE ; BE (cạnh chung)
có é ABE =é HBE (BE là tia phân giác của góc ABC)
é BAE =é BHE (=900)
ị DABE bằng DHBE (cạnh huyền và góc nhọn
b, Gọi K là giao điểm của BE và AH; xét DABK và DHBK
ta có é ABK =é KBH (tia BE là phân giác góc ABC)
AB = BH (DABE = DHBE);BK (cạnh chung) ịDABK =DHBK (cgc)
nên AK = KH(1), é AKB =é HKB mà góc AKB kề bù góc HKB
 ịé AKB =é HKB (= 900)(2)
từ 1 và 2 ta có BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH
c, Ta có AK = HK (chứng minh trên)
 KE (cạnh chung ); é AKE = éHKE (= 900)
ịD AKE = DHKE 
suy ra AE = HE (1)
 Tam giác EHC có (é EHC = 900) => EC > EH (2) (cạnh huyền trong tam giác vuông ) từ (1) và (2) ta có EC > AE 
Bài 6 : Cho DABC vuông ở A, AB = 3 cm ; AC = 4 cm. Phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O. Và OE ^ AB ; OF ^ AC.
	a) Chứng minh rằng AB + AC – BC = 2AE.
	b) Tính khoảng cách từ O tới các cạnh của DABC.
	c) Tính OA, OB, OC.
Đáp án
 Vẽ hình ,ghi GT, KL 	
a) Chứng minh được AB + AC – BC = 2AE 	
b) Tính được BC = 5 cm,	
Tính được AE = 1 cm, 	
Tính OE = AE = OF = 1 cm, 	
c) 	Tính được BE = 2 cm , CF = 3 cm , 	
	Tính 	OA = cm 	
	OB = cm 	
	OC = cm 	
Bài 7: 	Cho tam giác ABC vuông ở C có góc A bằng 60o. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc với AB ( KAB ). Kẻ BD vuông góc với tia AE ( Dtia AE ). Chứng minh:
	a) AC = AK.
	b) AE là đường trung trực của đoạn thẳng CK.
	c) KA = KB.
	d) AC < EB
A
B
C
D
E
K
Đáp án
* Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận:	
a) Cm : 	ACE = AKE
	AC = AK và EK = EC (cạnh tương ứng)
b) Theo chứng minh trên ta có:
	AC = AK và EC = EK
	AE là đường trung trực của đoạn thẳng CK	
c) Cm : EAB cân tại E
	Trong tam giác EAB cân nên EK cũng là đường trung tuyến KA = KB	
d) Trong tam giác vuông ACE tại C có:	AC < AE, 
	mà AE = EB AC < EB