Các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 7

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7
-------***-------
CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề :
	+Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q;
	+Quy tắc dấu ngoặc;
	+Quy tắc chuyển vế;
	+Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối của phép nhân đối với phép cộng 
2. Từ các tính chất của phép toán ta chứng suy ra được các “Công thức ” sau :
	a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ;
	b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ;
	c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 .
Thật vậy :
a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b)
	 = a.(a + b) + b.(a + b)	 ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng)
	 = (a + b)(a + b)	 ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng)
	 = (a + b)2.
* Các Công thức b)c) HS tự chứng minh. Ta gọi các công thức trên là các hằng đẳng thức đáng nhớ.
II. DẠNG TOÁN :
Dạng 1. Các phép toán : 
+ Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số bằng cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với một giá trị thích hợp ) hoặc rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư duy cao nhất. Qua một số bài tập sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ năng giải quyết vấn đề này bằng những cách làm “đặc biệt “.
Câu 1. Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1
Tính tổng : 
 (HSG T.p HP – 1997)
+ Hướng dẫn giải : 
- Ta có : 
	 ( nhân vào cả tử và mẫu mỗi phân số lần lượt với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = 1 )
 = 1. 
* Có thể làm theo cách khác như sau :
- Vì xyzt = 1 nên ta có thể đặt với a,b,c,d là các số thực khác 0 . Khi đó ta có : 
Biểu thức P được biến đổi thành : 
Vậy P = 1.
* Chú ý : đối với bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích bằng 1 , ta có thể biến đổi bằng cách làm như trên (đặt ).
+ Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( ) . Kĩ năng tưởng đơn giản này sẽ giúp ích rất lớn trong việc giải quyết nhiều bài toán khó. Thật vây :
Câu 2. Tính : 	(BD HSG toán 8- T.77) 
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : ( nhớ rằng )
Mặt khác : 
 1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 
	 = 1986.1988 – 1988 
	 = 1988.(1986 – 1) 
	 = 1988.1985 ;(2)
Từ (1) và (2) ta có : 
.
* Lưu ý : Bài toán tổng quát hơn là :
 với n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3.
+ Với những bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý một số công thức cơ bản sau :
	0) am = a.a.aa (m thừa số );a0 = 1 ; a1 = a.
	1) am.an = am + n
	2) am : an = am – n ( hay : )
	3) (am)n = am.n
	4) (a.b)n = an.bn
	5) 
	6) a-n = 
( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa )
Câu 3. Rút gọn : 	 ( HSG quốc gia – 1971)
+ Hướng dẫn giải : 
- Ta có : 
Câu 4. Rút gọn : A = 1 + 5 + 52 + 53 +  + 550	 (NC&PT toán 7/T11)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : 5.A = 5 + 52 + 53 + 54 +  + 551
Do đó : 5.A - A = 551 - 1 . Vậy A = .
* NX : Với biểu thức A như trên người ta còn thường ra bài toán : Chứng minh rằng A là số chẵn hay chứng minh A chia hết cho 6 hoặc chứng minh A không là số nguyên. Các em hãy thử tìm lời ?
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức hữu tỉ :
Câu 5. Cho ba số a , b ,c đôi một khác nhau và thoả mãn hệ thức : .
Chứng minh rằng : 	 ( HSG toán 9 – 1999 – A )
+ Hướng dẫn giải : 
- Từ giả thiết suy ra : , nhân hai vế với ta được : 
Tương tự : 
Cộng theo cột hai vế của ba đẳng thức trên ta có ĐPCM.
Câu 6. Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì : 
 (Các bài toán chọn lọc )
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : 
	 ;
Tương tự : ;
Cộng theo từng vế các kết quả vừa tìm được , suy ra ĐPCM.
Dạng 3. Toán tìm x :
Câu 7. Tìm số hữu tỉ x , biết rằng : 	( NC&PT toán 7 -tập 1)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta cộng vào hai vế của đẳng thức với cùng một giá trị là 2 , được :
Vì ( hiển nhiên) nên x + 2004 = 0 hay x = -2004.
* Nhận xét : Với những hệ thức chứa các phân số có quy luật như trên ( 4 + 2000 = 3 + 2001 = 2 + 2002 = 1 + 2003 = 2004 ) thì kĩ năng biến đổi trên sẽ là một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán.
Câu 8. Tìm x , biết : với 
+ Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với :
Quy đồng mẫu số trong từng dấu ngoặc rồi đặt thừa số chung ta được :
Từ đó nếu thì x = ab + bc + ca ;
Nếu thì có vô số giá trị của x thoả mãn bài toán.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : 
* Các bài :1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42;44;45;47 - NC&PT toán 7.
Tính : 
Rút gọn phân số : 	( TQ : )	 (BD HSG toán 8- trang 73)
Tính : 	(HSG toán 6 T.p HP– 2002 – A)
Rút gọn : A = 
Rút gọn : B = ( HSG toán 6 T.p HP– 1999 – A)
Rút gọn : 
Biết xyz = 1 . Hãy tính tổng : 
A = 	;( KQ = 5)	 (HSG toán 8 – 2001 – A)
8*) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992. Chứng minh rằng : 
	 ( BD HSG toán 8 – trang 77)
9) Tính : a) 
	b) 
	c) ( HSG quận Ba Đình HN – 2005)
10) Tìm x,biết : ( HSG q. Hoàn Kiếm HN – 2004)
11) Tìm x , biết : 
	 ( HSG Quận 9 - T.p HCM – 2003)
12) TÍnh : 
( HSG Quận 9 - T.p HCM – 2003)
13) a)Tính : 
b) Biết : 13 + 23 + 33 +  + 103 = 3025. TÍnh : S = 23 + 43 + 63 +  + 203.
c) Cho . TÌm giá trị của A , biết x = và y là số nguyên âm lớn nhất.
( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 )
14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117.	 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 )
15) Thực hiện phép tính : 
	 ( HSG – Hà Tây – 2003 )
16) Thực hiện phép tính : 
 ( HSG quốc gia – 1963)
17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n : 
	 ( HSG quốc gia – 1978)
18) Cho a,b,c là các số thực có tích bằng 1. Chứng minh rằng : 
a) 
b) 	 ( Toán tuổi thơ 2- số 51)
19) TÌm tất cả các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức :
 .	 	 ( Toán tuổi thơ 2- số 51)
20) Cho abc và a + b + c . TÌm x , biết : 
21) Cho x,y,z là các số khác không và . Chứng minh rằng : 
Hoặc x = y = z hoặc x2y2z2 = 1.
IV. HƯỚNG DẪN GIẢI :
1) 
2) 
3) 
Đặt A = ; 
	B = , ta có : 
Vậy 
* Tương tự ta có bài toán sau : 
Bài toán : Tính giá trị của biểu thức:	
	a) .
	b) .
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia: 
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
b) Biến đổi số chia: 
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy .
4) Áp dụng đẳng thức : ( a 0), ta có :
5) Áp dụng kết quả : , ta có :
6) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng : , sau đó áp dụng kết quả nhận được vào giải bài toán.
* Chú ý : Từ kết quả các bài 4,5,6 ở trên ta rút ra một số quy luật ( Công thức ) sau đây :
1) .
2) .
3) .
4) .
5).
6) .
7).
8) 
(Trong đó: , )
7) Nhân lần lượt cả tử và mẫu mỗi phân số với 1; x ; xy với chú ý xyz = 1 , ta được :
.
* Chú ý : Cũng có thể đặt như phần ví dụ mẫu.
8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy ra : (2) , thay (1) và (2) vào vế trái đẳng thức được : 
9) a) 
b) 
c) 
10) Tìm x , biết : ( HSG quận Hoàn Kiếm HN – 2004)
+ Làm tương tự Câu 5 :
Vì > 0 nên dẫn đến 416 – x = 0 hay x = 416.
11) Tìm x , biết : 
 a) Kết quả : x = 48.
+ Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có : 
Vậy x = .
12) TÍnh : 
a) 
b) Từ 4 đến 121 có các số chính phương là : 4;9;16;25;36;49;64;81;100;121 nên :
13) a) Ta có : 
b) Biết : 13 + 23 + 33 +  + 103 = 3025. TÍnh : S = 23 + 43 + 63 +  + 203.
+ Ta có : S = 23(13 + 23 + 33 + + 103) = 8.3025 = 24200.
c) Cho . TÌm giá trị của A , biết x = và y là số nguyên âm lớn nhất.
( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 )
+ Vì y là số nguyên âm lớn nhất nên y = -1 cùng với x = thay vào biểu thức A , được :
14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117. ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 )
	 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117
	ó 3x(1 + 3 + 32) = 117
	ó 13.3x = 117
	ó 3x = 117 : 13
	ó 3x = 32
	ó x = 2.
15) Thực hiện phép tính : 
	 ( HSG – Hà Tây – 2003 )
16) Thực hiện phép tính : 
( HSG quốc gia – 1963)
+
17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đây theo n : 
	( HSG quốc gia – 1978)
+ Ta có : 
18) Vì abc = 1 nên ta có thể đặt : với x,y,z là các số khác 0. Khi đó ta có : 
a) Vế trái của đẳng thức a) được biến đổi thành : 
Vậy ta có ĐPCM.
b) Vế trái của đẳng thức b) được biến đổi thành : 
Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của đẳng thức b) về biểu thức (*) suy ra ĐPCM.
19) Đẳng thức đã cho tương đương với :
Đặt ta có x,y,z là các số dương thoả mãn xyz = 1. Khi đó ta có :
( quy đồng mẫu số , khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = 1 )
ó xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1 = 0 
ó (x -1)(y - 1)(z - 1) = 0 
ó x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 
20) Biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với :
Nếu : thì x = a + b + c
Nếu thì có vô số giá trị của x thoả mãn .
21) Từ giả thiết ta có : 
Tương tự : 
Nhân theo từng vế ba đẳng thức trên được :
Đẳng thức này chỉ xảy ra khi x2y2z2 = 1 hoặc x = y = z.
 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7
-------***-------
CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q.
Buæi : 1 Ngµy so¹n: 15 /9 / 2009
 Néi dung : So s¸nh hai sè h÷u tØ
I. KiÕn thøc cÇn nhí :
 1. HS cần nắm vững những kiến thức sau :
 + SHT lµ sè cã thÓ viÕt d­íi d¹ng a/b víi a,b thuéc Z; b kh¸c 0.
 + §Ó so s¸nh hai sè h÷u tØ x vµ y ta lµm nh­ sau :
 ViÕt x,y d­íi d¹ng hai ph©n sè cïng mÉu d­¬ng x=a/m; y= b/m ( m >0).
 So s¸nh c¸c tö : NÕu a< b th× x<y
 NÕu a=b th× x=y
 NÕu a>b th× x>y
Bæ sung :
 Cho x=a/b ; y=c/d ( a,b,c,d thuéc Z ; b,d > 0 ).
 x=y ad=bc
 x ad< bc
 x>y ad>bc
II. D¹ng bµi tËp to¸n :
Bµi tËp 1: Cho 2 SHT vµ ( b>0 ; d> 0 ). CMR :
NÕu < th× < < 
 Gi¶i:
 Ta cã ad a( b+d ) < (a+c )b hay
 d(a+c ) < c(b+c ) 
 hay< (3) . Tõ (2) vµ (3) suy ra << (®pcm)
 ( Gi÷a hai SHT, bao giê còng tån t¹i mét sè h÷u tû ).
¸p dông viÕt ba sè h÷u tØ xen gi÷a hai SHT vµ .
Bµi 3: Cho a,b thuéc Z (b>o). H·y so s¸nh hai SHT vµ .
Gi¶i :
Ta cã a(b+1)=ab+a vµ b(a+1) = ba +b . NÕu a>b th× a(b+1) > b(a+1)
 NÕu a(b+1) > b(a+1) th× a>b
VËy , nÕu a>b .
¸p dông : So s¸nh vµ ; vµ .
Bµi 4 : Cho x= víi b thuéc Z. X¸c ®Þnh b ®Ó:
a, x lµ mét SHT. d, x=-1.
b, x lµ SHT d­¬ng. g, x>1.
c, x lµ SHT ©m. e, 0<x<1
Bµi 5: Cho c¸c SHT x, y, z, víi x=; y=; z=, trong ®ã m=, n= .
Cho biÕt x kh¸c y, h·y so s¸nh x víi z, y víi z ?
 Gi¶i :
NÕu x<y th× << hay <<, suy ra <<, do ®ã x<y<z.
 T­¬ng tù, nÕu x > y th× x > z> y.
Bµi 6:
Cho c¸c SHT x= , y= vµ z =. BiÕt ad-bc=1 ; cn - dm=1; b,d,n > 0.
a, H·y so s¸nh c¸c sç x, y, z.
b, So s¸nh y víi t biÕt t = víi b+ n kh¸c 0.
 Gi¶i:
a, ad-bc=1 => ad>bc =>> (1)
cn – dm = 1 => cn > dm =>> ( 2) ( V× b,d,n > 0 ).
Tõ (1) vµ (2) suy ra >> . VËy x > y >z.
b, ad – bc = cn – dm = 1 => ad + dm = bc + cn => d( a + m) = c( b + n).
VËy =, suy ra y = t.
BTVN : Cho s¸u sè nguyªn d­¬ng a < b < c < d < m < n. Chøng minh r»ng:
 <
H­íng dÉn: a 2a 2c 2m< m+n .
Suy ra : 2(a+c+m) < (a+b+c+d+m+n), tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i c/m.
 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7
 -------***-------
CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q.
Buæi : 2 Ngµy so¹n: 25 / 9 / 2009
 Néi dung : Céng , trõ, nh©n, chia sè h÷u tØ
KiÕn thøc cÇn nhí : 
 A. HS cần nắm vững những kiÕn thức sau:
Céng, trõ SHT: NÕu x= ; y = ( a, b, m thuéc Z , m >0 ) th× :
x+y = + = ; x – y = x + (- y) = + (- ) = .
PhÐp céng trong Q cñng cã c¸c t/c c¬ b¶n nh phÐp céng trong Z; cñng cã quy t¾c “ dÊu ngoÆc ” nh ®èi víi tæng ®¹i sè trong Z
 Quy t¾c chuyÓn vÕ : Víi x, y, z , t thuéc Q th× :
x + y – z = t x – t = - y + z.
 B. Bæ sung:
 TÝnh chÊt cña ®¼ng thøc vµ quy t¾c “ chuyÓn vÕ ” vÉn ®óng víi B§T
D¹ng bµi tËp to¸n :
Bµi 1: 
TÝnh -+ - + 
 +
 + - + 
 Bµi 2: 
 a, 
 b, + 
HD: 
a, Chó ý r»ng 6,3.12 - 21.3,6 = 63.1,2 - 63.1,2 = 0. Do ®ã biÓu thøc b»ng 0.
b, KÕt qu¶ b»ng 1/4 + 3/4 = 1.
Bµi 3: Cho A = (1).( 1).( 1)...( 1).
 So s¸nh A víi -
Gi¶i :
A lµ tÝch cña 99 sè ©m. Do ®ã:
 -A = (1- ).( 1- ). (1- ). ...(1- )
 = . . ..
 = . . .... 
 = . 
 = . = > . Do ®ã A < 
Bµi 4: TÝnh: 
 B = - - - - - - - - 
Bµi 5: CMR kh«ng tån t¹i hai SHT x vµ y tr¸i dÊu, kh«ng ®èi nhau tháa m·n ®¼ng thøc :
 = +.
Gi¶i : Gi¶ sö tån t¹i hai sè h÷u tØ x vµ y tháa m·n ®¼ng thøc = + . Suy ra 
 = ( x + y ) ( x+ y ) = xy. ®¼ng thøc nµy kh«ng x¶y ra v× (x + y ).(x+ y ) > 0
cßn x.y < 0 ( do x vµ y lµ hai sè tr¸i dÊu, kh«ng ®èi nhau ).
Bµi 6: T×m 2 SHT x vµ y ( y kh¸c 0), biÕt r»ng : x- y = xy = x : y.
Gi¶i : Tõ x-y = xy => x= xy +y = y( x+1) => x:y = x+1 ( do y kh¸c 0 ). Theo ®Ò bµi th× 
x : y = x –y , suy ra x + 1 = x – y => y = -1 .
Thay y = - 1 vµo x - y = xy ®­îc x - (-1) = x.(-1) => 2x = - 1 => x = -.
 VËy x = -1/2 ; y = -1.
 Bµi 7: Cho M= x (x-3) . Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× :
a, M = 0 ; b, M > 0 ; c, M < 0 .
Bµi 8 : Cho P = . Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P = 0 ; P > 0 ; P < 0.
BTVN: Cã tån t¹i hai sè d¬ng a vµ b kh¸c nhau sao cho : - = kh«ng?
HD : Gi¶ sö - = th× = => ( b- a) (a –b) = ab .
VÕ tr¸i cã gi¸ trÞ ©m (v× tÝch cña hai sè ®èi nhau kh¸c 0) , vÕ ph¶i cã gi¸ trÞ d¬ng (v× lµ tÝch hai sè d¬ng). VËy kh«ng tån t¹i hai sè d¬ng a vµ b kh¸c nhau mµ - = .
 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG h×nh häc 7
 --------***-------
Buæi 3: §­êng th¼ng vu«ng gãc - ®­êng th¼ng song song
 Ngµy so¹n : 10/ 10/ 2009
KiÕn thøc cÇn nhí:
HS cần nắm vững những kiÕn thức sau:
- §Þnh nghÜa hai gãc ®èi ®Ønh ; TÝnh chÊt hai gãc ®èi ®Ønh .
- §Þnh nghÜa hai ®t vu«ng gãc ; TÝnh chÊt duy nhÊt cña hai ®t vu«ng gãc : Cã mét vµ chØ mét ®t ®i qua mét ®iÓm cho tríc vµ vu«ng gãc víi mét ®t cho tríc.
- §êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng.
- §Þnh nghÜa hai ®êng th¼ng song song ; 
- DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®êng th¼ng song song a // b , nÕu :
 +, CÆp gãc so le trong b»ng nhau
 +, CÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau.
 +, CÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau.
- Tiªn ®Ò ¥-clit vÒ hai ®êng th¼ng song song . Tõ ®ã suy ra : Hai ®t ph©n biÖt cïng song song víi ®t thø ba th× song song víi nhau.
- TÝnh chÊt cña hai ®t song song : NÕu mét ®t c¾t hai ®t song song th× :
 +, CÆp gãc so le trong b»ng nhau
 +, CÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau.
 +, CÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau.
Bæ sung:
 - Mçi gãc chØ cã mét gãc ®èi ®Ønh.
 - Mçi ®o¹n th¼ng chØ cã mét ®êng trung trùc.
 - Hai gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc .
 - Hai gãc cã c¹nh t¬ng øng song song.
 - Cã thÓ dïng tiªn ®Ò ¥-clit ®Ó c/m ba ®iÓm th¼ng hµng : Cho ba ®iÓm A, B, C ë ngoµi ®t a , nÕu cã AB // a vµ AC // th× A, B, C th¼ng hµng.
 - NÕu hai gãc cã c¹nh t¬ng øng song song th× :
 + Chóng b»ng nhau nÕu hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï.
 + Chóng bï nhau nÕu gãc nµy nhän , gãc kia tï.
 + NÕu mét gãc vu«ng th× gãc cßn l¹i cñng vu«ng.
D¹ng bµi tËp to¸n: 
Bµi 1 : XÐt c¸c cÆp gãc ®èi ®Ønh ¢1 vµ ¢3 ; ¢2 vµ ¢4 ®îc t¹o khi hai ®t c¾t nhau t¹i A. T×m sè ®o mçi gãcætong nh÷ng trêng hîp sau :
a, ¢1 + ¢4 = 100 
b, ¢2 - ¢4 = 20
c, 3. ¢1 = 2 ¢2.
Bµi 2 : CMR hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc ®èi ®Ønh lµ hai tia ®èi nhau.
Gi¶i
C¸ch 1: .<xoy = .<aob 
 => «1 = «4 . 
Ta cã «4 + <xon = 180 ( kÒ bï).
=> «1 + <xon = 180.
V× om vµ on n»m vÒ hai phÝa cña xa 
nªn om vµ oa lµ hai tia ®èi nhau.
C¸ch 2 : «1 = «2 ; «3 = «4 ; <xob = <aoy .
 Mµ tæng 6 gãc nµy b»ng 360 nªn : «1 + «3 + <xon = 180. 
 Suy ra om vµ on lµ hai tia ®èi nhau .
Bµi 3: Chøng tá r»ng hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï vu«ng gãc víi nhau.
Gi¶i : Gäi A0B vµ BOC lµ hai gãc kÒ bï, c¸c tia OM, ON
thø tù lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña chóng. Tpcm:
 OM ON
ThËt vËy, hai gãc AOC vµ BOC kÒ bï nªn
 tia OC n»m gi÷a hai tia OA, ON 
<AOC + <BOC = 180. Tia OM lµ tia ph©n gi¸c
cña gãc AOC nªn tia OM n»m gi÷a hai tia
OA, OC (2) vµ <MOC = .<AOC. Tia ON lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOC nªn tia ON n»m gi÷a hai tia OB, OC (3) vµ <CON = <BOC . 
Tõ (1), (2), (3) suy ra tia OC n»m gi÷a hai tia OM, ON, do ®ã :
<MON = <MOC + <CON = + = 90. 
Hai tia OM , ON c¾t nhau t¹i O vµ <MON = 90 nªn OM vu«ng gãc víi ON .
Bµi 4: Cho gãc MON cã sè ®o 120 . VÏ c¸c tia OA , OB ë trong gãc ®ã sao cho OA vu«ng gãc víi OM, OB vu«ng gãc víi ON.
Chøng tá r»ng <AON = BOM.
 VÏ tia Ox vµ tia Oy thø tù lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc AON vµ BOM. Chøng tá r»ng Ox vu«ng gãc víi Oy.
KÓ tªn nh÷ng cÆp gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc.
Gi¶i :
a) OA vu«ng gãc víi OM nªn <AOM = 90
 OB vu«ng gãc víi ON nªn <BON = 90
 C¸c tia OA, OB ë trong gãc MON nªn: 
<AON = <MON - <AOM = 120 – 90 = 30
<BOM = <MON - <BON = 120 – 90 = 30.
VËy <AON = BOM = 30.
b) Tia Ox lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AON nªn <Nox = 15.
Tia Oy lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM nªn < MOy = 15.
Tia Ox n»m gi÷a hai tia OM, ON nªn <MOx = MON - <NOx = 120 – 15 = 105.
Tia Oy n»m gi÷a hai tia OM, Ox nªn <xOy = <MOx - <MOy = 105 – 15 = 90.
VËy Ox vu«ng gãc víi Oy.
Bµi 5: ë miÒn trong gãc tï xOy , vÏ c¸c tia Oz, Ot sao cho Oz vu«ng gãc víi Ox, Ot vu«ng gãc víi Oy. CMR :
<xOt = <yOz; b) <xOy + <zOt = 180.
Gi¶i: 
<xOt + <zOt = <xOz = 90 nªn <xOt = 90 - <zOt (1).
<yOz + <zOt = <yOt = 90 nªn <yOz = 90 - <zOt (2).
VËy <xOt = <yOz.
<xOy + <zOt = ( <xOz + <zOy) + <zOt = <xOz + (<zOy+ <zOt)
 =<xOz + <yOz = 90 + 90 = 180
BTVN: Cho h×nh vÏ, biÕt ¢ = a , C = b, <ABC = a + b,
 <ABm = 180 – a. CMR: a, Ax // Bm.
 b, Cy // Bm.	
 Ngµy so¹n: 22 / 10 / 2009
Buæi : 4 
 Néi dung : Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè h÷u tØ
I. KiÕn thøc cÇn nhí : 
Víi x thuéc Q th×: |x| = .; |x| = | -x | ; |x| ³ 0 ; |x| ³ x.
Víi |x| -m < x < m.
 |x| > m HoÆc x > m hoÆc x < -m.
II. D¹ng bµi tËp:
Bµi 1: T×m x, biÕt a) | 2,5 – x | = 1,3 .
 b) 16 - | x – 0,2 | = 0.
 c) | x – 1,5 | + | 2,5 - x | = 0.
Bµi 2: T×m GTLN cña :
A = 0,5 - | x – 3,5 | .
 B = - | 1,4 –x | - 2.
 C = 10 - 4 | x – 2 | .
Bµi 3: T×m GTNN cña :
M = 1,7 + | 3,5 – x | .
 N = | x + 2,8 | - 3,5.
 L = 2 | 3x -1 | - 4 .
 Q = ( víi x lµ sè nguyªn).
Gîi ý : ¸p dông c«ng thøc |x| ³ 0 vµ 0 ³ - |x| .
C©u 3(d) : |x| ³ 3 th× Q > 0
XÐt |x| < 3 th× do x thuéc Z nªn |x| b»ng 0 hoÆc 1 hoÆc 2, khi ®ã Q b»ng – 2 hoÆc -3 hoÆc -6. VËy GTNN cña Q b»ng -6 khi vµ chØ khi x = 2 hoÆc x= -2.
Bµi 4: Cho x , y thuéc Q . Chøng tá r»ng :
 a) | x | +| y | ³ | x + y | 
 b) | x – y | ³ | x | -| y | 
( §Ò thi HSG huyÖn Léc Hµ n¨m häc 2007-2008).
Gi¶i : a) Víi mäi x , y thuéc Q ta lu«n cã | x | ³ x. vµ | x | ³ - x.
 | y | ³ y. vµ | y | ³- y
=>| x | + | y | ³ x + y vµ | x | + | y | ³ - (x + y ) hay x + y ³ - ( | x | + | y |).
Do ®ã : | x | + | y | ³. x + y ³ - ( | x | + | y |).
VËy | x | +| y | ³ | x + y | .
 b) Theo kÕt qu¶ c©u a cã : | x - y | + | y | ³ | x - y + y | = | x | => | x – y | ³ | x | -| y | .
 .
Bµi 5: T×m GTNN cña A = | x – 2009 | + | x + 1 | .