Chuyên đề 1 Tính chia hết trên tập hợp các số nguyên

Tự chọn Toán lớp 7
 	CHUYÊN ĐỀ 1
TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN
ĐẶT VẤN ĐỀ:
 Học sinh được tìm hiểu về một số dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 4; 5; 8; 9; 11.
 Học sinh biết cách chứng minh một số, một tích , một tông đại số có chia hết cho một số hay không.
 II. CHUẨN BỊ :
GV: Nội dung chuyên đề
HS: Theo hướng dẫn của gv
 III. TIẾN TRÌNH
A. Một số kiến thức cơ bản
1.Định nghĩa:
Với mọi số nguyên a,b (b≠0) bao giờ cũng có duy nhất cặp số nguyên q;r 
sao cho:
a = bq +r với 0 ≤ r < b
 a gọi là số bị chia, b là số chia, q là thương số, r là số dư. Số dư r là một trong ‌‌|b| số:
 0; 1; 2; ; ( ‌‌|b| - 1).
Nếu r = 0 ,ta nói rằng a chia hết cho b hay a là bội của b, kí hiệu ab .
Người ta cũng nói rằng b chia hết a hay b là ước của a, kí hiệu b/a.
- Nếu r ≠ 0 thì ta có phép chia còn dư.
2. Tính chất:
Mọi số nguyên khác 0 đều chia hết cho chính nó.
Nếu ab và bc thì ac (a,b,c ÎZ và b,c ≠ 0).
Nếu ab và ba thì a=b hoặc a =- b (a,bÎZ và a,b ≠ 0)
Số 0 chia hết cho mọi số nguyên b ( b ≠ 0)
 Nếu ac và bc thì a+bc và a- bc (a,b,c ÎZ , c≠0)
Nếu ab thì ka b ( a, b, k Î Z, b≠0 )
Nếu ab và ac và (b,c) =1 thì a.b c (a,b,c ÎZ c≠ 0)
Nếu abc mà (b,c) =1 thì ac (a ,b ,c Î Z ,c≠0).
3.Dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên
a, Dấu hiệu chia hết cho 2
 Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó là số chẵn
b, Dấu hiệu chia hết cho 3 (cho9)
 Một số chia hết cho 3 ( cho9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (cho9)
c, Dấu hiệu chia hết cho 4
 Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của nó lập thành một số chia hết cho 4
d, Dấu hiệu chia hết cho 5
 Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số đó tận cùng bởi chữ số 0
 hoặc chữ số 5
e, Dấu hiệu chia hết cho 8 
 Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của nó lập thành số chia hết cho 8.
f, Dấu hiệu chia hết cho 11
 Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số “đứng ở vị trí lẻ” và tổng các chữ số “đứng ở vị trí chẵn” (kể từ phải sang trái) của số đó chia hết cho 11.
 Ngoài ra cần nắm vững các hằng đẳng thức sau:
 với mọi nÎZ và n>2.
Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng một số chia hết cho 13 khi và chỉ khi tổng của số chục và 4 lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 13.
Giải
Giả sử N đã cho gồm a chục, b đơn vị , tức N = 10a+b trong đó a,b là các chữ số 
và a≠0 . Ta phải chứng minh số N chia hết cho 13 khi và chỉ khi số M = a+4b chia hết cho 13.
 Ta có:
 10 M – N =10(a+4b) - (10a+b) =10a+40b-10a- b =39 b là số chia hết cho 13. 
 Do đó :
 -Nếu M13 thì 10M13 mà 10M- N13 nên N13.
 -Nếu N13 mà 10M- N13 thì 10M13 nhưng ( 10,13) =1 nên M13.
 Vậy N13 khi và chỉ khi M13.
ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a,Tích của 2 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2.
b,Tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3.
c,Tích của n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n.
Giải.
a, Gọi 2 số nguyên liên tiếp là a và a+1. Ta thấy rằng trong 2 số a và a+1 bao giờ cũng có một số chẵn ,do đó a(a+1) là số chẵn nên a(a+1) chia hết cho 2.
b, Gọi 3 số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2 . Ta phải chứng minh a(a+1)(a+2) chia hết cho 3
Vì a là số nguyên nên a chỉ có thể viết được dưới dạng a=3k hoặc a=3k-1 khi đó 	a+1=3k-1+1=3k , hoặc a =3k+1 , khi đó a+2 = 3k+1+2= 3(k+1) với kÎZ . Như vậy trong 3 số nguyên a, a+1, a+2 bao giờ cũng có một số chia hết cho 3. Do đó tích a(a+1)(a+2) chia hết cho 3.
c,Chứng minh bằng phản chứng
Gọi n số nguyên liên tiếp đó là:
 a , a+1, a+2,.., a+n-1 (1)
 Giả sử trong dãy (1) không có số nào chia hết cho n. Như vậy khi chia mỗi số của (1) cho n thì số dư chỉ có thể là một trong các số:1,2,3..,n-1.
Vì có n số mà chỉ có n-1 số dư nên theo nguyên tắc Đirichlê ít nhất phải có 2 số của (1) khi chia cho n có cùng số dư . Giả sử 2 số a+i và a+k trong đó 0 ≤ i ≤ k <n-1 chia cho n có cùng số dư, khi đó 
a+k –(a+i ) = k-i n. Điều này vô lý vì 0 < k-i < n ,không thể chia hết cho n.
Vậy trong (1) luôn luôn tồn tại một số chia hết cho n nên tích của chúng chia hết cho n.
 Chú ý: Câu a, câu b chỉ là trường hợp riêng của câu c khi n=2,n=3. Vì vậyta có thể chứng minh câu c trước rồi áp dụng kết quả này với n=2 để có a ,với n=3 để có b.
ví dụ 3. Tìm số dư trong phép chia cho 7.
Giải
Ta có :
 	nên	 ,	do đó 
 ,hay ,hay 
Vậy chia cho 7,dư 4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 17 là tổng của 3 lần số chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 17.
Giải
 Giả sử N gồm a chục ,b đơn vị : N=10a+b trong đó a,b là chữ số và a≠0 .
 Ta phải chứng minh N17 k hi và chỉ khi số M= 3a+2b 17.
 Ta có:
 M+17a = 3a+2b +17a = 2 (10a+b) = 2N.
 -Nếu N17 thì 2N17, do đó M+17a 17, suy ra M17.
 -Nếu M17 thì M+ 17a 17 ,do đó 2N17, suy ra N17.
ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 
a, chia hết cho6;
b, chia hết cho 6.
giải
 a, 
 Ta có (n-1)n(n+1) chia hết cho 3. Hơn nữa trong 3 số nguyên liên tiếp 
 n-1,n ,n+1 luôn luôn có một số chia hết cho 2, do đó (n-1)n(n+1) 6. 
 Mặt khác 12n6 Vì vậy (n-1)n(n+1)+12n chia hết cho 6,
 hay chia hết cho 6.
 b, 
 Lập luận tương tự câu a, ta có
 chia hết cho 6
Một số bài tập
 Bài1. Với 19 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ ,có hay không một số có tổng các chữ số của nó chia hết cho 10 ?
 Bài2. Cho N là số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm:
 a,Hai chữ số tận cùng của số 
 b,Ba chữ số tận cùng của số 
 Bài 3. Chứng minh rằng số A=chia hết cho 13 nhưng không chia hết cho 11
 Bài 4, Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để chia hết cho 9 là m,n chia hết cho3
CHUYÊN ĐỀ 2
 SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A –Một số kiến thức cơ bản
1.Định nghĩa:
Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
 Ví dụ: 
 Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chính phương
2. Một số tính chất:
 a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8.
 b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.
 Thật vậy ,giả sử = 
Vì chữ số hàng chục của và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2
Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.
 Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là 6
 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6. 
 Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ),
 Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16.
 Vì chữ số hàng chục của số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ.
 d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ .
 Thật vậy ,giả sử A = m2 =ax .by.cz trong đó a,b,c ,là các số nguyên tố khác nhau,còn x,y,zlà các số nguyên tố dương thế thì ,
 A = m2 = (ax by cz)2 = a2x.b2y.c2z	 
Từ tính chất này suy ra
-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
 -Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
 -Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
 -Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng :
 a) Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2 
 họăc 4n +3 (nÎN);
Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nÎN).
Giải
Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (kÎN), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (kÎN) ,
 Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1. 
 Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 
 hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3(nÎN) 
Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k1 (kÎ N) khi đó bình phương của nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc có dạng (3k1)2= 9k26k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nÎN).
Ví dụ 2:
 Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau 
 còn chữ số hàng đơn vị đều là 6.
 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.
Giải
 Cách 1 . 
 Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9 khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương. 
 Cách 2.
 Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a2 nên a2 4.
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là 16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có :
1+3+5+7+9=25=52là số chính phương
 Ví dụ3:
 Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương
Trả lời
 n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100, 
 do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ 
 nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169.
 Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.
 Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị : 
 37; 73; 121; 181; 253. 
 Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương.
 Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương
Giải
 Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 
 và p không chia hết cho 4 (1)
 Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (mÎN)
Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2 là số lẻ ,vì thế m là số lẻ .
 Đặt m=2k+1 (kÎN) 
 Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1 
 do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1)
Vậy p+1 không là số chính phương
b)Ta có p = 2.3.5là số chia hết cho 3. 
 Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
C. MỘT SỐ BÀI TẬP
 Bài 1. 
 Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1, 
 số B chỉ gồm m chữ số 4.
 Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương.
 Bài 2.
 Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
 Bài3. 
 Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm ,
 hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
 Bài 4.
 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? Có số nào là số chính phương không?
Bài 5
Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,, 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không?