Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Diện tích - Hình học 9

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
CHUYÊN ĐỀ : DIỆN TÍCH
Hình học 9
A/. PHẦN I
Kiến thức cơ bản :
 1) Tiên đề về diện tích : Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương.
 2) Diện tích đa giác có các tính chất sau :
+Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
+Nếu một đa giác được chia thành những đa giác nhỏ không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
+Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì diện tích là 1 - Hình vuông đó được gọi là hình vuông đơn vị. 
I. DIỆN TÍCH TỨ GIÁC :
1) Cho tứ giác ABCD. Gọi AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC = d1 , BD = d2 , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp và p = (a + b + c + d) . Ta có :
a
a) SABCD = SABC + SADC 
 	 = SABD + SCBD.
+Tổng các góc trong của tứ giác A + B + C + D = 3600 = 2p
+Tổng bình phương của các cạnh : a2 + b2 + c2 + d2 = 
(m là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đường chéo)
b) SABCD = d1d2sina 
(a là góc tạo bởi hai đường chéo d1, d2 )
*Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O: R)
c) SABCD = 
+Tổng hai góc đối diện A + C = B + D = 1800 = p
+Tích các đườngchéo : d1d2 = ac + bd.
p = (a + b + c + d) 
* Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; r).
d) SABCD = p.r 
+Tổng hai cạnh đối diện : a + c = b + d
2)Diện tích các tứ giác đặc biệt :
a)Diện tích hình chữ nhật :
 A a B
 b d SABCD = a.b
 d = 
 D C
b)Diện tích hình vuông 
 A a B
 SABCD = a2
 a d	d = a
 SABCD = d2
 D C
*Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất .
c)Diện tích hình thang :
 A a B
 h SABCD = (a + b).h
 M m N
 SABCD = m.h
 D H b C 
d)Diện tích hình bình hành :
 A B 
 SABCD = a.h
 h d1 
 d2 d12 + d22 = 2(a2 + b2)
 D H a C
e)Diện tích hình thoi : 
 A
	h	 SABCD = d1d2 = a.h
 D d2 B d12 +d22 = a2
 d1 a
 H
 C
II.DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Cho tam giác ABC có BC = a , AC = b , AB = c, đường cao thuộc cạnh BC là AH = ha , r là bán kính đường tròn nội tiếp , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC và p = . Ta có các công thức sau :
 SABC = a.h
Chứng minh :
Kẻ đường cao AH, ta có : DABH vuông tại H nên SABH = AH.BH (1)
 SACH = AH.CH (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được :
SABH + SACH = AH.BH + AH.CH 
SABC = AH.(BH + CH) = AH.BC
Hay SABC = a.h
Tương tự ta cũng có : SABC = b.k = SABC = c.l
(k là chiều cao ứng với cạnh AC, l là chiều cao ứng với cạnh AB)
2)Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r) 
 SABC = p.r
Chứng minh :
SABC = SAOB + SBOC + SCOA
Mà : SAOB = r.c
SBOC = r.a
SCOA = r.b
Cộng vế theo vế, ta được : SAOB + SBOC + SCOA = r.c + r.a + r.b
SABC = r.(c + a + b) = r. = p.r 
( p = : nửa chu vi )
3)Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R)
SABC = 
Chứng minh :
Kẻ đường cao AH và đường kính AD.
SABC = a.h
Xét DABH vuông tại H và DADC vuông tại C có :
ABH = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
 => DABH ~ DADC => = => AH = = 
Vậy SABC = a.h = .a . = 
4) SABC = 
 (Công thức Hêrông)
Chứng minh :
Giả sử B và C đều nhọn.
Kẻ đường cao AH (AH ^ BC) - đặt AH = h
BC = BH + CH hay a = b’ + c’ (1)
Để không mất tính tổng quát ta giả sử b > c => b’ > c’
DABH vuông tại H : AH2 = AB2 - BH2 hay h2 = c2 - c’2
DACH vuông tại H : AH2 = AC2 - CH2 hay h2 = b2 - b’2 
=> c2 - c’2 = b2 - b’2 b2 - c2 = b’2 - c’2 b2 - c2 = (b’ + c’).(b’ - c’)
b2 - c2 = a.(b’ - c’) => b’ - c’ = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
Giải hệ phương trình : 
Do đó h2 = b2 - b’2 = b2 - 
 = 
 = 
 = = 
 =
 = 
(Đặt a + b + c = 2p)
 = 
 = 
 => h = 
Vậy SABC = a.h = a. = 
NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN :
Ta đã biết, khi biết độ dài một số yếu tố của một hình ta có thể tính được diện tích hình đó bằng những công thức mà ta đã biết. Ngược lại các công thức tính diện tích cho ta các quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng. Sử dụng công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài các đoạn thẳng.
Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó bằng phương pháp diện tích, ta chú ý các điểm sau :
1)Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.
2)Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài.
3)Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh.
Khi giải bài toán bằng phương pháp diện tích ta cần nắm vững :
+Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích của các hình.
+Sử dụng tính chất : 
-Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích.
-Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy.
-Đường trung bình trong một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1 : 3
-Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau.
-Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích bằng nhau.
-Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.
B/.PHẦN II
I.CÁC BÀI TOÁN MẪU :
Bài 1 : 
Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm O ở trong tam giác, ta kẻ OH ^ AB, OK ^ AC, OI ^ BC. Chứng minh rằng khi O di động trong tam giác thì tổng OH + OK + OI không đổi.
Giải
Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a và chiều cao là h, thì SABC = a.h và AB = BC = CA = a
Ta có SABC = SAOB + SBOC + SCOA
SAOB = AB.OH
SBOC = BC.OI
SCOA = BC.OI
Cộng vế theo vế ta được : a.h = AB.OH + BC.OI + BC.OI
 a.h = a.OH + a.OK + a.OI a.h = a(OH + OK + OI)
 h = OH + OK + OI . Mà h : không đổi => OH + OK + OI không đổi
+Nếu O thuộc cạnh của tam giác đều thì bài toán trên vẫn đúng.
+Nếu thay tam giác đều bằng một đa giác đều thì tổng khoảng cách từ điểm O bất kỳ nằm trong đa giác đến các cạnh của đa giác vẫn không đổi.
Bài 2 :
Chứng minh định lý Py-ta-go : Trong một tam giác vuông bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Ta đã biết chứng minh định lý này bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Ta sẽ sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý này :
Chứng minh
Lấy các cạnh của tam giác ABC có Â = 900 làm cạnh dựng ra ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ABFG , ACMN lần lượt có diện tích là : SBCDE =BC2 = a2 , SABFG = AB2 = c2 , SACMN = AC2 = b2
Ta phải chứng minh SBCDE = SABFG + SACMN hay a2 = b2 + c2
Kẻ đường cao AH của DABC kéo dài cắt DE tại K. 
+ Ta chứng minh SABFG = SBHKE .
Nối AE và CF : DABE = DCBF (c-g-c) => SABE = SCBF (1)
DFBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy này là bằng AB => SCBF = SABFG (2)
DABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với cạnh đáy này bằng BH => SABE = SBHKE (3) 
Từ (1), (2) và (3) => SABFG = SBHKE (*)
+Ta chứng minh SACMN = SCDKH 
Nối BM và AD
DBCM = DDCA (c-g-c) => SBCM = SDCA (4)
DBCM và hình vuông ACMN có chung cạnh đáy CM và có đường cao bằng nhau và bằng AC => SBCM = SACMN (5)
DACD và hình vuông CDKH có chung cạnh đáy là CD và có đường cao bằng nhau và bằng KD => SACD = SCDKH (6)
Từ (4), (5) và (6) => SACMN = SCDKH (**)
Cộng (*) và (**) vế theo vế, ta được : SBHKE = SABFG
 SCDKH = SACMN 
 SBCDE = SABFG + SACMN 
 Hay a2 = b2 + c2
Bài 3 :
Cho tam giác ABC. Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E, F (B nằm giữa A và D ; C năm giữa B và E ; A nằm giữa C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC và AF = AC. Gọi s là diện tích của DABC. Tính diện tích DDEF theo s.
Giải
GT DABC có diện tích là s
 AB = BD ; BC = CE ; AC = AF
KL SDEF ?
 Cách 1 : Sử dụng tính chất cơ bản của diện tích
 Xét DABE có AC là trung tuyến (BC = CE) => SABC = SACE = s
=> SABE = SABC + SACE = 2s
 DAED có EB là trung tuyến (AB = BD) => SABE = SBED = 2s
=> SAED = SABE + SBED = 4s
 DBCF có BA là trung tuyến (AC = AF) => SABC = SBAF = s
 DCEF có EA là trung tuyến (AC = AF) => SACE = SAEF = s
=> SCEF = SACE + SAEF = 2s
 DAFD có FB là trung tuyến (AB = BD) => SDBF = SBAF = s
=> SAFD = SDBF + SBAF = 2s
SDEF = SAED + SAFE + SAFD = 4s + s + 2s = 7s
Vậy SDEF = 7s
Cách 2 :
Kẻ BI ^ AC và EH ^ CF
Chứng minh Dvuông BIC = D vuông EHC (Cạnh huyền và góc nhọn)
=> BI = EH
Ta có AC = AF và AC + AF = CF => CF = 2AC 
=> SCEF = 2SABC = 2s (hai tam giác có cung đường cao nhưng
cạnh đáy CF của DCEF gấp hai lần cạnh đáy AC của DABC)
Tương tự ta cũng chứng minh được SADF = 2SABC = 2s 
Và SBDE = 2SABC = 2s 
Mà SDEF = SABC + SBED + SCFE + SAFD = s + 2s + 2s + 2s = 7s
Vậy SDEF = 7s
Bài 4 : 
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD và CD. Nối BN và CM cắt nhau tại E. Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp 5 lần diện tích tam giác BEC . 
GT Hình vuông ABCD có AB = BC = CD = DA = a 
 Và AM = MD , NC = ND
KL SABCD = 5SBEC 
Giải
Cách 1 : 
*Để chứng minh SHV/ABCD = 5SDBEC . Ta chuyển về tính SDBEC = a2.
 Để tính diện tích tam giác BEC ta kẻ đường cao EH ứng với cạnh đáy BC (biết BC = a), ta tính EH theo a.
+ Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình của tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE.
+ DBCN = DCDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC 
mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC
Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD)
Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM ^ BN tại E
DBQP = DCEN (gcg) => PQ = NE (2) 
Từ (1) và (2) => 2NE = BQ và BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE = 2EN
Ta có : BN = BQ + QE + EN = 5NE => NE = BN
 => CE = BN hay = 
DECH ~ DBNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a
SDBEC = BC.EH = a.a = a2 . Mà SABCD = a2
Vậy SDBEC = S HV/ABCD hay S HV/ABCD = 5SDBEC 
Cách 2 :
Chứng minh DBCN = DCDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC
Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD)
Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM ^ BN tại E
Chứng mính DCEN ~ DBEC => = = 
=> SCEN = SBEC 
Kẻ đường chéo BD của hình vuông ABCD => SBCD = S HV/ABCD = a2
DBCD có BN là đường trung tuyến => SBCN = SBCD = .a2 = a2
Mà SBCN = SBEC + SCEN = SBEC + SBEC = SBEC hay a2 = SBEC
=> 5SBEC = a2 , mà a2 = SHV/ABCD . Do đó SHV/ABCD = 5SBEC. 
Cách 3 :
+ Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình của tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE.
+ DBCN = DCDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC 
mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC
Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD)
Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM ^ BN tại E
DBQP = DCEN (gcg) => BQ = CE mà BQ = QE ( ... SAMD (3)
SAMD = DH.AM và SNCD = DK.CN (4)
Từ (3) và (4) => DH.AM = DK.CN mà AM = CN (gt) => DH = DK
Vậy đỉnh D của HBH/ABCD cách đều hai đường thẳng AM và CN.
Bài 10 : Cho DABC có AC = b , AB = c, phân giác AD của góc A và phân giác BE của góc B cắt nhau tại I. Gọi G là trọng tâm của DABC. Chứng minh rằng : Nếu BC bằng trung bình cộng của AB và AC thì IG // BC
Giải :
Cách 1 : Sử dụng tính chất tia phân giác trong tam giác và tính chất trọng tâm của tam giác
+AD là đường phân giác trong DABC (đặt BC = a) :
 = = => = => = 
=> BD = 
+BI là đường phân giác trong DABD
 = = c : = 
Vì a = => = (b + c) : = 2 (1)
+Ta có G là trọng tâm của DABC => = 2 (2)
Từ (1) và (2) => = => IG // DM hay IG // BC
Cách 2 : Sử dụng diện tích tam giác :
+Kẻ IK ^ BC
Vì a = => 2a = b + c
Và I là giao điểm của hai đường phân giác trong của DABC, nên I là tâm đường đường tròn nội tiếp DABC => IK là bán kính của đường tròn nội tiếp 
 => SABC = .IK = .IK (1)
Ta có SIBC = a.IK (2)
Từ (1) và (2) => SIBC = SABC(3)
G là trọng tâm của DABC => = 
+Kẻ AH ^ BC và GP ^ BC => AH // GP
DAGH có GP // AH => = = => GP = AH
Ta lại có SABC = BC.AH mà SGBC = BC.GP = BC.AH = (BC.AH)
=> SGBC = SABC (4)
Từ (3) và (4) => SIBC = SGBC (Hai tam giác có diện tích bằng nhau mà có chung cạnh đáy nên hai đường cao bằng nhau, do đó I và G nằm trên đường thẳng song song với BC hay IG // BC
Bài 11 : 
Cho DABC có AB = 14cm, AC = 35cm, đường phân giác AD = 12cm. Tính diện tích DABC ?
Cách giải : 
Vẽ DE // AB và tính diện tích tam giác ADE.
Giải :
Từ D kẻ DE // AB => = (1)
Mà = = (vì AD phân giác góc A của DABC) (2)
Từ (1) và (2) => = => = => = 
=> AE = 10 (cm)
Ta có BAD = CAD (gt) và BAD = ADE (SLT - vì DE // AB)
=> CAD = ADE => DADE cân tại E. 
Kẻ EF ^ AD => AF = FD = AD => AF = 6
DAEF vuông tại F => EF = 8 => SADE = AD.EF = 48 cm2
Từ D kẻ DK ^ AC => DK vừa là đường cao của DADE vừa là đường cao của DADC. Mà SADE = AE. DK 48 = .10. DK => DK = 9,6 (cm)
=> SADC = AC. DK = .35.9,6 = 168 cm2
Kẻ AH^ BC => AH là đường cao của DABC cũng là đường cao của DADC
Nên SADC = CD.AH 7.SADC = 7CD.AH 1176 = 7CD.AH (3)
Từ = => = 5BC = 7CD (4)
Từ (3) và (4) => 1176 = .5BC.AH = .BC.AH = SABC
Vậy SABC = 235,2 cm2
II.CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP :
Bài 1 : Cho tam giác ABC có diện tích là s, các đường trung tuyến AD, BE và CF. Gọi s’ là diện tích tam giác có độ dài các cạnh bằng AD, BE và CF. 
Chứng minh rằng s’ = s.
Bài 2 : Hình thang ABCD có các đáy AB = b, CD = a (a > b). Đoạn thẳng MN song song với hai đáy, hai đầu của đoạn thẳng thuộc hai cạnh bên và chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng 
MN2 = .
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH và đường phân giác BE. Đường vuông góc với BE tại E cắt cạnh BC ở G, cắt tia đối của tia AB ở D. Kẻ EF vuông góc với BC. Tính diện tích tam giác ABC, biết AD = 15 cm, HF = 20 cm.
Bài 4 : Cho tam giác có độ dài các cạnh là BC = a, AC = b, AB = c và a - b = b - c . G là giao điểm các đường trung tuyến. I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác đã cho. Chứng minh GI // AC. 
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân ghiác AD. Vẽ DH vuông góc với AB. Đặt DH = d, AB = c, AC = b . Chứng minh 
 = + .
Bài 6 : Cho tam giác ABC và điểm M ở trong hoặc ở trên một cạnh của tam giác, sao cho SMBC = SMAB + SMAC . Chứng minh rằng M di động trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 7 : Cho góc xOy, tia Ot nằm trong góc đó. Lấy điểm A cố định trên tia Ox, điểm B cố định trên tia Oy và điểm C di động trên tia Ot. Tia Ot cắt AB tại M. 
Chứng minh rằng SAOC = SBOC khi và chỉ khi M là trung điểm của AB
Bài 8 : Cho tam giác ABC, các góc B và C có tỉ lệ 3 : 1; phân giác của góc  chia diện tích tam giác theo tỉ lệ 2 : 1 . Tính các góc của tam giác.
Hướng dẫn giải
Bài 1 :
Gợi ý cách giải
Gọi G là trọng tâm của DABC, H là trung điểm của GC. Chọn SGDH làm trung gian . Tính được S’ = 9SGDH và S = 12SGDH.
 Giải
Cách 1
+Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên : AG = 2GD, BG = 2GE, CG = 2GF. Gọi H là trung điểm của GC => GH = GF
DBGC có HD là đường trung bình => HD // BG và HD = BG => HD = EG => HEGD là hình bình hành => SGDH = SEGH = SEGF (*)
Ta có SGDH = SGDC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác) 
Mà SGDC = SADC(vì hai DADC và DGDC có cùng chiều cao, nhưng cạnh đáy AD của DADC gấp 3 lần cạnh đáy GD của DGDC)
 => SGDH = . SADC = SADC 
Ta lại có SADC = S (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
=> SGDH = . S => S = 12SGDH 
+Ta có S’ = SCDF + SADE + SBEF 
SCDF = 3SGDH (Hai tam giác này có cùng chiều cao nhưng cạnh đáy của DCDF gấp 3 lần cạnh đáy của DGDH) (1)
Ta có DGDH và DEGD có cùng cạnh đáy GD và hai đỉnh đối diện hai cạnh đó nằm trên cùng một đường thẳng song song với GD => SGDH = SEGD.
Mà SADE = 3SEGD => SADE = 3SGDH (2)
Ta cũng có DEFG và DEGH có cạnh đáy bằng nhau (vì cùng bằng GC) và đường cao bằng nhau => SEFG = SEGH = SGDH (theo * )
Mà SBEF = 3SEFG => SBEF = 3SGDH (3)
Cộng (1), (2) và (3) ta được : S’ = 9SGDH
Vậy = = => S’ = S
Cách 2 : 
Kéo dài AD một đoan DH, sao cho GD = GH. => GH = AG
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta có AG = AD, 
 GH = AD, CG = CF DBGD = DCHD (cgc) => BG = CH = BE
Vậy = = = . Nên DCGH đồng dạng với tam giác có độ dài bằng ba đường trung tuyến AD, BE, CF của DABC (ccc) và có diện tích là S’. => = = => S’ = SCGH. (1)
Ba đường trung tuyến trong tam giác chia tam giác đoành 6 phần có diện tích bằng nhau và bằng SABC, nghĩa là SDCG = SABC => SCGH = SABC (2)
Từ (1) và (2) => S’ = SCGH = .SABC = S (vì SABC = S)
Bài 2:
 Gợi ý :
Gọi O là giao điểm của AD và BC.
Đặt S = SABNM = SMNCD và MN = x
Vận dụng sự đồng dạng của các cặp tam giác DOAB và DOMN, DODC và DOMN .
Giải :
 Gọi O là giao điểm của AD và BC.
 Đặt S = SABNM = SMNCD và MN = x
Xét DOAB và DOMN có : AB//MN => DOAB ~ DOMN 
=> = = (1)
Xét DODC và DOMN có MN //CD => DODC ~ DOMN 
=> = = (2)
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta được :
 + = + = 
Mà : SOAB = SOMN - SABNM = SOMN - S 
 SODC = SOMN + SMNCD = SOMN + S 
=> = = = 2
=> x2 = Vậy MN2 = 
Bài 3 :
 Gợi ý cách giải :
Kẻ EN // BC, cắt AH tại M, cắt AB tại N. DABC ~ DANE
+Tính diện tích DANE
+Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác DABC và DANE. Từ đó suy ra điều cần tìm.
 Giải :
 Từ E kẻ NE // BC (N Î AB) => DANE ~ DABC => = = DBDG cân tại B vì có đường phân giác BE cũng là đường cao (BE ^ GD)
Do NE // BC nên => DDNE cân tại N
Tứ giác MEFH là hình chữ nhật vì có ba góc vuông => ME = HF = 20 (cm)
DANE vuông cân tại A có AM ^ NE (do AH ^ BC mà NE //BC ) => AM cũng là trung tuyến => 2ME = NE => NE = 2.20 = 40 (cm) . Mà NE = AN. => AN = NE : = 20.(cm) => SANE = NA2 = (20.)2 = 400(cm2)
DDBG cân tại B có BE là phân giác nên cũng là trung tuyến => EG = ED
mà EN // BG => BN = ND (có ND = AN + AD = 20.+ 15) 
=> AB = 2BN - AD = (20.+ 15).2 - 15 = 40 + 15
Vậy SABC = AB2 = (40 + 15)2 = (3425 + 1200) » 2561 (cm2)
 Bài 4: Xem cách giả bài tập 8 (Phần bài giải mẫu)
 	Giải :
Kẻ BH và GK vuông góc với AC 
Ta có : a - b = b - c => a + c = 2b
I là giao điểm của ba đường phân giác trong, nên I là tâm đường tròn nội tiếp của DABC => IE = IF = IJ (IE, IF và IJ là khoảng cách từ tâm I đến các cạnh của tam giác hay IE = IF = IJ là các bán kính)
Ta có BH // GK (vì cùng vuông góc với AC) => = = (1)
SABC = BH.AC = BH.b (2)
SABC = IE(AB + BC + CA) = (a + b + c).IE = .3b.IE (vì a + c = 2b) (3)
Từ (2) và (3) => BH.b = .3b.IE BH = 3IE = (4)
Từ (1) và (4) => GK = IE.
Tứ giác GKEI có GK = IE và GK // IE (vì cùng vuông góc với AC) nên là hình bình hành và có GK ^ EK nên là hình chữ nhật
 => IG // EK hay IG // AC .
Bài 5 : 
 Gợi ý : + Sử dụng tính chất diện tích : Nếu một đa giác được chia thành các đa giác nhỏ không có điểm chung trong, thì diện tích đa giác được chia bằng tổng diện tích các đa giác chia.
 + Công thức tính diện tích tam giác
 Giải :
Kẻ DK ^ AC, ta có DK = DH = d vì AD là phân giác của góc BAC
Ta có : SABC = SABD + SACD
 SABC = bc
 SACD = dc 
 SACD = db
 => bc = dc + db bc = dc + db
 Chia hai vế cho bcd ta được : = + 
Bài 6 :
 Gợi ý : Sử dụng tính chất diện tích và tính chất hai tam giác có cùng cạnh đáy, thì tỉ số hai diện tích băng tỉ số hai chiều cao tương ứng.
 Giải:
 Vẽ AH ^ BC , MK ^ BC
SABC = AH.BC , SMBC = MK.BC
SABC = SAMB + SAMC + SMBC, mà SMBC = SAMB + SAMC , Do đó SABC = 2SMBC
Hay AH = 2MK , mà AH không đổi => MK không đổi. Do đó M luôn luôn cách BC một khoảng không đổi bằng AH. Mà M không nằm ngoài tam giác ABC, Nên M nằm trên đoạn thẳng EF // BC và cách BC một khoảng là AH.
Bài 7 : 
 Gợi ý : + Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác để chứng minh phân thuận. 
 “Nếu M là trung điểm của AB thì SAOM = SBOM.”
 + Sử dụng tính chất diện tích để chứng minh phần đảo lại : 
 “Nếu SAOM = SBOM thì MA = MB.”
 Giải :
a)Thuận : Nếu AM = MB => SAOC = SBOC 
Xét DAOB có MA = MB => OM là trung tuyến => SBOM = SAOM (1)
 DABC có CM là trung tuyến => SBCM = SACM (2)
 Cộng (1) và (2) Vế theo vế ta được : SBOM + SBCM = SAOM + SACM
 Hay : SBOC = SAOC
b) Đảo lại : Nếu SAOC = SBOC => AM = MB
 Giải :
 Gọi h(1) là khoảng cách từ O đến AB , h(2) là khoảng cách từ C đến AB.
Ta có : SAOC = SAOM + SACM và SBOC = SBOM + SBMC
Mà SAOC = SBOC SAOM + SACM = SBOM + SBMC (1)
 SAOM = MA.h(1) 
 SACM = MA.h(2) 
 => SAOM + SACM = MA(h(1) + h(2)) (2)
 SBOM = MB.h(1)
 SBMC = MB.h(1)
 => SBOM + SBMC = MB(h(1) + h(2)) (3)
Từ (1) , (2) và (3) =>MB(h(1) + h(2)) = MB(h(1) + h(2)) => MA = MB.
Bài 8 :
Gợi ý : +Sử dụng công thức : Diện tích tam giác bằng một phần hai tích hai cạnh và sin của góc tạo bởi hai cạnh đó.
 +Sử dụng định lý về hàm số sin
 Giải :
 Kẻ phân giác AD của góc Â, ta có :
 SADC = AD.AC.sin
 SADB = AD.AB.sin
 => = , mà = 2 , do đó = 2
Theo định lý hàm số sin trong tam giác ta có : = 
=> = = 2 . Ta có B = 3C => sin3C = 2sinC (1)
Nhân hai vế của (1) với cosC, ta được sin3C.cosC = 2sinC.cosC
(có 2sinC.cosC = sin2C )
 Hay sin3C.cosC = sin2C
Ta lại có : sin3C.cosC = [sin(3C + C) + sin(3C - C)] = (sin4C + sin2C)
(sin4C + sin2C) = sin2C sin4C = sin2C (*)
Vì A + B + C = 1800 => A = 1800 - 4C (và góc  là góc của tam giác =>  > 0 => C < 450 ). Phương trình (*) có nghiệm thích hợp khi :
4C = 1800 - 2C => C = 300, B = 900 và A = 600
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại B và Â = 600, C = 300 .
=====================================