Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Hình 7 "Tam giác vuông, tam giác cân, .."

 PHÒNG GD&ĐT HỘ AN 
 TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM
 BỒI DUỠNG HS GIỎI HÌNH 7
 Chuyên đề: 
 TAM GIÁC VUÔNG
 TAM GIÁC CÂN .....
A. TAM GIÁC VUÔNG :
 1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ?
 2/ Tính chất : 
 - Tam giác ABC : Â=90 độ 
 - Định lý PyTago: 
 - Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29)....
 - Các hệ thức trong tam giác vuông:
 ;
 - 
 S = 
- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ)
là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ).
- Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-Chuyền
 Toán nâng cao:
BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tia đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB .
Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF .
 Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = 
 A Ch/minh :
 D b/ 
 A C F Mà: 
BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểm 
 BM . Chứng minh : AC = 2 AD
 A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA 
 =>
 => AB=ME= 
 (1)
 B D M C Mặt khác: 
 Mà: 
 Vậy : (2) và AM chung (3)
 E Từ (1),(2) và(3) suy ra 
BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x và lấy CE = CA ( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA . Chứng minh : a/ đều b/ E,A,F thẳng hàng ?
 Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => 
 Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ
 Suy ra : đều 
 E b/ Ta có : BA = BF (gt) =>
 Suy ra : góc BA F = 30 độ;
 A 
 Vậy:
 Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAF
 F B C
BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O . Qua O kẻ đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E .
Chứng minh : a/ Góc BOC không đổi .
 b/ DE = DB + EC
 A HD : a/
 b/ 
 O 
 D E Vậy DB+EC=DO+OE=DE
 B	C
BÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC
 (H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứn minh : FH = FA = FC .
 A Hướng dẫn: Ta có BH= BE => BEH cân => 
 Mà 
 F Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1)
 Mặt khác : Â = 90
 B Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2)
 H C Từ (1) và (2) => HF = FA = FC 
 E
Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF).
 a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ?
 b/ Từ A và F kẻ các đường D D vuông góc xuống BC .
 Chứng minh : 
 HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng
 A b/ Kẻ AH BC => 
 B C
Bài 7 : Cho Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DEAB ;
 DF AC .
 a/ Tam giác DE F tam giác gì ?
 b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giác 
 ACM là tam giác gì ?
 A HD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ =>đều
 F b/Tam giác ACM đều .
E
B D C
BÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng:
 a/ BE = CF b/ AE =
 c/ góc BME = 
 HD: a/ Chứng minh góc F = góc E 
 Kẻ CD // AB =>BE=CD (1)
 A Mà CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF
 b/ Ta có AE = AB - BE
 Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC
AE=
E Tương tự : 2BE=AB-AC => BE = 
 M C c/ Ta có : 
 F
 B. TAM GIÁC CÂN
 BỔ SUNG KIẾN THỨC:
Trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa cạnh huyền. 
 Một tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giác vuông đó bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vuông là cạnh tam giác đều và cạnh đối diện góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều.
Trong một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện cạnh với cạnh góc vuông ấy bằng 30 độ.
Trong tam giác cân:
Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau.
Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.
Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.
TOÁN CHO HS GIỎI:
BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB ; AC.
 a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ?
 b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vuông góc AB ?
 HD: A
 D
 M
 E N
 B C
 Xét tam giác vuông ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB nên:
 MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân.
 Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều.
 b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam giác AEN 
 đều=>EN=NA=CN=AC:2.
 Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuông tại E => 
 CE vuông góc AB
BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao cho BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ?
 HD: 
 B 
 N
 = 1 = M
 1
 A C
 Tam giác BAM cân tại B=> 
 Tam giác CAN cân tại C=>
 Vậy : 
BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng 
 nhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ?
 b/ Tam giấcBM là tam giác đều ?
 HD: 
 A
 I
 B H M C
 a/ Vẽ MI vuông góc AC . Chưng minh 
 Vây BÂC= (60.3):2=90 độ=> Tam giác ABC vuông tại A.
 b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM cân có 
 một góc bằng 60 độ => tam giác ABM đều.
BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC một đoạn CD 
 sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ?
 HD: 
 A
 H
 1 2
 2 1 1
 B C D
 - Kẻ BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông tại H và góc C=60 độ => góc - Xét tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vuông cân=>HA=HB(2). Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân.
 Ta suy ra 
ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO
 KIẾN THỨC BỔ SUNG:
Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a
Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ:
BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32.
 Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng :
 a/ Tam giác ABC vuông ?
 b/ góc AMB = 2góc C.
 HD: A
 7
 M
 24 32
 B 40 C
 a/ Tam giác ABC có: BC
 AB
 Vậy 
 b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM=
 Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài)
 Vậy góc AMB = 2. góc C
BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . Tính BC ?
 A A
 25 24
 24 26 25 26
 B H C H B C
 (H1) (H.2)
 - Tính được HB= 7 ; HC= 10
 - Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1)
 - Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC--HB=10-7=3 (h2)
BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm. 
 Tính độ dài 2 cạnh góc vuông ?
 HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15k
 Ta có 
 Vậy AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 m
BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứng minh EB vuông góc E F ?
 HD: A 
 D F
 B H C
 E
 Vì AD=HE=>AH=DE
 Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta được: 
 Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông tại E=> EB vuông góc E F
BÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc 3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ?
 HD : B
 =
 C
 x? = 
 A D
 Gọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m là điểm C 
 thì CB=CD .
 Tam giác vuông ACD có : 
BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1).
 Tính các góc tam giác ABC ?
 HD x
 4 A(5;4)
 3 B(2;3)
 1 C(6;1)
 x
 O 2 5 6 
 Ta có : 
 Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB
 Vậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độ
 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU
 CỦTAM GIÁC VUÔNG
 BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác .
 a/ Chứng minh tam giác ABC cân.
 b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ?
 HD: (H.1) A A
 F D
 H K
 (H.1) B M C (H.2) B E C
 a/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC.
 Chứng minh 
 b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC
 =>BM=
BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau.
 a/ Chứng minh tam giác đó đều ?
 b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dài . Tính độ dài mỗi cạnh tam giác đó?
 HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F.
 a/ Ta chứng minh 
 b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vuông tại D có 
:
BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại  và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.?
 M
 M
 A A
 O O
 B C B C
 (H.1) ( H.2)
 HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ
 Vẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)
góc MCA=60-50=10 độ
BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ?
 HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác đều BCM9M,A cùng nửa mặt phẳng bờ BC).
 Chứng minh tương tự bài 19=>
 Suy ra: 
Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D.
 a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ?
 b/ So sánh AD & CD ?
 HD: (H1) A A ( Hình 2)
 1 2 D E
 B C B M N C
 D
 (xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=>
 Suy ra AD phân giác góc Â
 b/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng)
BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM=CN ?
 HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C
 Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN
BÀI 25: Cho góc xÔy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy điểm B. Gọi M trung điểm AB. Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vuông góc với tia OM . Chứng minh AE=BF ?
 HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác MBF
 x (Ch+gn)=>AE=BF 
 A
 E M F
 O y
BÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE,O F,OG thứ tự vuông góc với AC,AB,BC.
 a/ Chứng minh OE = O F=O
 b/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COG 
 HD: A
 1 2
 E
 F
 O
 2 2
 1 1
 B G D C
 a/ Chưng minh:
 b/ 
 Suy ra (1)
 Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=>
 Từ (1) và(2) => 
 Từ (3) và (4)=>
 &&&&&&&&&