Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức :
1 . Các kiến thức vận dụng:
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2. Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm số tự nhiên x, y biết:
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: Các kiến thức vận dụng: Tính chất của phép cộng , phép nhân Các phép toán về lũy thừa: an = ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, mn) (am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; 2 . Một số bài toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +. + n , 1+ 3 + 5 +. + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..+ n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) Với n là số tự nhiên khác không. HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + ..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 ++ n( n+1)(n+2)] : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +..+ an b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = = an – an-1 = k HD: a) S = 1+ a + a2 +..+ an aS = a + a2 +..+ an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1 Nếu a = 1 S = n Nếu a khác 1 , suy ra S = Áp dụng với b – a = k Ta có : A = = = Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + ..+ n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6 b) 13 + 23 + 33 + ..+ n3 = ( n(n+1):2)2 Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = b) HD : A = ; B = Bài 4: 1, Tính: P = 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 Bài 5: a) TÝnh b) Cho Chøng minh r»ng . Bài 6: a) Tính : b) TÝnh HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = . = c) Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) Chøng tá r»ng: Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) Chøng minh r»ng tæng: Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Kiến thức vận dụng : - -Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa - Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk 2. Bài tập vận dụng Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: HD: Từ suy ra khi đó = Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: = HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Suy ra : = Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th× HD : Đặt a = kb, c = kd . Suy ra : và Vậy Bài 4: BiÕt với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng : hoặc HD : Ta có = (1) = (2) Từ (1) và (2) suy ra : Xét 2 TH đi đến đpcm Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: vµ HD : Xuất phát từ biến đổi theo các hướng làm xuất hiện Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh HD : Từ Suy ra : Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) = -4 Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d = 4 Bài 7 : a) Chøng minh r»ng: NÕu Th× b) Cho: . Chøng minh: HD : a) Từ (1) (2) (3) Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : Bài 8: Cho chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. HD Từ Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4 Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4 Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : Hãy tính giá trị của biểu thức : B = Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ;; Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : . Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số bài tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : ( n là số tự nhiên) và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z, Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: => với y = 0 thay vào không thỏa mãn Nếu y khác 0 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®îc: =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012. Tính b, c. HD : từ a = b = c = 2012 Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: (vì x+y+z 0) Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z Bài 5 : Tìm x, biết rằng: HD : Từ Suy ra : Bài 6: T×m x, y, z biÕt: (x, y, z ) HD : Từ Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x. Bài 7 : T×m x, y, z biÕt vµ Bài 8 : Tìm x , y biết : Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y Kiến thức vận dụng : Tính chất phép toán cộng, nhân số thực Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế Tính chất về giá trị tuyệt đối : với mọi A ; Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 ; với m > 0 Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn) 0< A < B An < Bn ; Bài tập vận dụng Dạng 1: Các bài toán cơ bản Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013 b) HD : a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013 x( 1 + 2 + 3 + .+ 2011) = 2012.2013 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ Bài 2 Tìm x nguyên biết a) b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối Dạng : và Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b) Bài 1 : Tìm x biết : a) b) HD : a) (1) do VT = nên VP = x – 2012 (*) Từ (1) Kết hợp (*) x = 4023:2 b) (1) Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2 Một số bài tương tự: Bài 2 : a) T×m x biÕt T×m x biÕt: T×m x biÕt: Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: Tìm x biết: Bài 4 : tìm x biết : a) b) Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : b) Tìm x biết : HD : a) ta có (1) Mà suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=” Hay do x nguyên nên x {3;4;5} b) ta có (*) Mà nên (*) xẩy ra dấu “=” Suy ra: Các bài tương tự Bài 2 : Tìm x nguyên biết : Bài 3 : Tìm x biết Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: = 3 Bài 5 : Tìm x, y biết : HD : ta có với mọi x,y và với mọi x Suy ra : với mọi x,y mà Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – 1 = 27 x = 4 Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1 b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1 (2m -1)(2n – 1) = 1 b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp : + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9 + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9 Bài 4 : Tìm x , biết : HD : Bài 5 : Tìm x, y biết : HD : ta có với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y Suy ra : với mọi x,y . Mà Các bài tập tương tự : Bài 6 : Tìm x, y biết : a) b) Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức : 1 . Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương - Tính chất chia hết của một tổng , một tích - ƯCLN, BCNN của các số 2. Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: c) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6 d) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y , 1000 – 13y > 0 và y NT y = b) Từ (1) do 7(x–2004)2 0 Mặt khác 7 là số NT vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1) suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4 Ta có xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3 hoặc hoặc hoặc x2-2y2=1 do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khác y nguyên tố Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 b) Tìm biết: HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) Từ y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x Bài 3 a) T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, sao cho: b) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d¬ng tho¶ m·n : vµ HD : a) Từ 5 ( x + y) = xy (*) + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra: 5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có Ư(5) , từ đó tìm được y, x b) a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1) Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5b – 1 - 1 không chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2 Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: HD : Do p nguyên tố nên và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: chia hÕt cho 7 HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7 Với n khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( ) Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7 Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với * Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết: Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1 Nếu m < -2 thì , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1 Vậy m { -2; -1; 0; 1} Cách 2 : Để b) - 3 < 3m – 1 < 3 vì m nguyên Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6 chia hÕt cho 2 b) T×m ®Ó AÎ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. A = . HD: A = = Bài 3: Tìm x nguyên để HD : ... ó AD = AB (gt) Cần CM : ND = AE ( = AC) và + Để CM ND = AE CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM vì CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H là giao điểm của tia MA và BC , Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN kẻ DQ AM tại Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì : AM = MN ; MD = ME (gt) và ( hai góc đối đỉnh) DN = AE ( = AC) và AE // DN vì ( cặp góc so le trong ) ( cặp góc trong cùng phía) mà Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN và ( chứng minh trên ) ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , và ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuông tại H hay MA BC * Khai thác bài toán 1.3 + Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MABC , ngược lại nếu AH BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.4 Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau: Kẻ DQ AM tại Q, ERAM tại R . Ta có : + ( Cùng phụ ) AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) DQ = AH (1) + ( cùng phụ ) AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ Lại có ( hai góc đối đỉnh ) ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung điểm của DE + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MADE , ngược lại nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4 Bài 1.4: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H trung điểm của BC . Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) A’B = AC ( = AE) và AC // A’B ( cặp góc trong cùng phía) Mà Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) mà Suy ra HA vuông góc với DE Bài 2 : Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn lît ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) §êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm DM = EN Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) Có BD = CE (gt) , ( MD, NEBC) ( ∆ABC cân tại A) Để Cm §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN Cần cm IM = IN Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần cm O là điểm cố định Để cm O là điểm cố định Cần cm OC AC Cần cm Cần cm : và Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác bài 2 Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau: Bài 2.1 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M, trªn tia AC lÊy ®iÓm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I . Chøng minh r»ng: a) I là trung điểm của MN b) §êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay đổi lời giải: Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MDBC ( D BC) NE BC ( EBC) Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh rằng : AI BC Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? vì sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H là giao điểm của BC và AI Để cm AI BC Cần cm Để cm Có cần cm và Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K b) Để so sánh DE với BC cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC) So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK) Có AI AK Lời giải : a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K cần cm và mà AI BC b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI AK , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a) b) . c) BE = CF lơì giải Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà AHE = AHF (g-c-g) nên HF = EF; AF = AE Suy ra: Tõ Suy ra XÐt cã lµ gãc ngoµi suy ra cã lµ gãc ngoµi suy ra vËy hay (®pcm). Từ Suy ra AE = AF và Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => Lại có: (cặp góc đồng vị) Do đó cânCF = CD ( 2) Từ (1) và (2) suy ra BE = CF Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng. c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. *Phân tích tìm lời giải Để cm BE = CD Cần cm ABE = ADC (c.g.c) Để cm M, A, N thẳng hàng. Cần cm Có Cần cm Để cm Cần cm ABM = ADN (c.g.c) Gọi là giao điểm của BC và Ax Để cm BH + CK BC Cần cm Vì BI + IC = BC BH + CK có giá trị lớn nhất = BC khi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC Bài 6 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH). a) Chøng minh: EM + HC = NH. b) Chøng minh: EN // FM. *Phân tích tìm lời giải a) Để cm EM + HC = NH Cần cm EM = AH và HC = AN + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM ( cặp góc so le trong) Gọi I là giao điểm của AN và EF để cm Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài 7 : Cho tam ABC vuông tại A , ®êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t ®êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F là giao điểm của BA và IE để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB Để cm : ∆AFE = ∆ CAB Cần cm AF = AC (2); (1); (3) + Để cm (1) : Cm CI // AE vì có FI // AC và Để Cm CI // AE Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : ( vì cùng phụ ) *Khai thác bài toán : Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC) Vậy HE lớn nhất = 3AM = BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân Bài 8 Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c) Hoặc ∆AEF cân tại A ( Có AH vừa là tia phân giác , vừa là đương cao) b) Để cm BE = CF cần tạo tam giác chứa BE( hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c) Để cm BE = CF ∆ BEI cân tại B Có ( cặp góc đồng vị ) mà vì ∆AEF cân tại A AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF 2 AE = AB + AC hay Bài 9 Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 a) Để cm ∆ ADE cân tại A cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI IB , BK KC Do IB, KC tia phân giác góc ngoài của ∆ HIK nên HA là tia phân giác trong. Do nên HC là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB IC , Chứng minh tượng tự ta có BK KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác bài toán : Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có Từ đó ta có bài toán sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất. HD . Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được vị trí điểm M trên cạnh BC. Bài 10. Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135o. Gọi M là trung điểm của BC. Về phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng minh rằng Q là trung điểm của BP. HD. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm H sao cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) BQ = CH (1) và BQ//CH hay PQ // CH ( vì là cặp góc so le trong) - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dù góc B nhỏ hơn 1350 Từ (1) và (2) Suy ra đpcm. Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phân giác của góc BAC AM = BC HD a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra Do đó b) ABC cân tại A, mà (gt) nên ABC đều nên Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra . Tia BM là phân giác của góc ABD nên Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng : a) BA = BH b) c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK , cắt EK tại I Ta có : , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) mà Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = .. = 2.4 = 8 cm * Từ bài ta thấy khi thì chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta cũng cm được . Ta có bài toán sau : Bài 12.1 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.
Tài liệu đính kèm: