Chuyên đề Bồi dưỡng năng lực học Đại số Lớp 7 - Chương III, Bài 4: Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu

 Toán Họa 1 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
  BẢNG “TẦN SỐ” CÁC GIÁ TRỊ CỦA DẤU HIỆU
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Số trung bình cộng của dấu hiệu
 Dựa vào bảng “tần số”, ta có thể tính số trung bình cộng của một dấu hiệu (kí hiệu là X ) 
 như sau: 
 • Nhân từng giá trị với tần số tương ứng;
 • Cộng tất cả các tích vừa tìm được;
 • Chia tổng đó cho số các giá trị (tức là tổng các tần số) . 
 x n x n x n ... x n
 • Công thức tính: X 1 1 2 2 3 3 k k , trong đó: 
 N
 x1,x2,...xk, là k giá trị khác nhau của dấu hiệu X. 
 n1,n2,...nk, là k tần số tương ứng. N là số các giá trị. 
 2. Ý nghĩa của số trung bình cộng. 
 • Số trung bình cộng thường được dung làm “đại diện” cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn 
 so sánh các dấu hiệu cùng loại. 
 • Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng chênh lệch rất lớn đối với nhau thì không nên lấy 
 số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu đó. 
 • Số trung bình cộng có thể không thuộc dãy giá trị của dấu hiệu. 
 3. Mốt của dấu hiệu
 • Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng “tần số”, kí hiệu là MO. 
 Có những dấu hiệu có hai mốt hoặc nhiều hơn. 
 II. BÀI TẬP
 Bài 1: Thời gian giải một bài toán của 50 em học sinh được ghi lại trong bảng sau (tính 
 theo phút) : 
 3 10 7 8 12 9 6 8 9 6
 4 11 7 8 10 9 5 7 9 6
 8 8 6 6 8 8 11 9 10 10
 5 6 10 5 8 7 8 9 7 9
 7 4 12 5 4 7 9 6 7 6
 a) Lập bảng “tần số” nêu rõ dấu hiệu và số giá trị của dấu hiệu. 
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 1 Toán Họa 2 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 b) Tính số trung bình cộng của dấu hiệu?
 Bài 2: Một thầy giáo theo dõi thời gian làm bài tập (tính theo phút) của 30 học sinh và ghi 
 lại như sau: 
 5 9 7 10 10 9 10 9 12 7
 10 12 15 5 12 10 7 15 9 10
 9 9 10 9 7 12 9 10 12 5
 a) Dấu hiệu ở đây là gì? 
 b) Lập bảng “tần số” và nêu nhận xét. 
 c) Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu. 
 d) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
 Bài 3: Đo chiều cao của 30 học sinh lớp 7 được kết quả theo bảng 
 dưới đây (đơn vị cm ) :
 Chiều cao (sắp xếp theo khoảng) Tần số (n) a) Bảng này có gì khác so 
 105 3 với những bảng tần số đã 
 110-120 7 biết ?
 121-131 5
 132-142 6 b) Tính số trung bình cộng 
 143-153 7 trong những trường hợp 
 155 2 này ?
 N 30
 Hướng dẫn : Trước hết ta tính số trung bình cộng của từng khoảng. 
 Số đó chính là trung bình cộng của các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của khoảng. Ví dụ : trung 
 110 + 120
 bình cộng của khoảng 110-120 là = 
 2
 - Nhân các số trung bình vừa tìm được với các tần số tương ứng. 
 - Thực hiện tiếp các bước theo quy tắc đã học.
 Để tiện việc tính toán ta kể thêm vào cột chiều cao là cột số trung bình cộng của từng lớp ; 
 sau cột tần số là cột tích giữa trung bình cộng.
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 2 Toán Họa 3 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Chiều cao Trung bình cộng của mỗi Tần số Tích của trung bình cộng 
 lớp mỗi lớp với tần số
 105 105 3 315
 110 120 115 7 805
 121 131
 132 142
 143 153
 155
 N 30
 Số trung bình cộng là : X .
 Bài 4: Số cân nặng (tính tròn đến kilogam) của 20 học sinh được ghi lại như sau: 
 28 35 29 37 30 35 37 30 35 29
 30 37 35 35 42 28 35 29 37 30
 a) Dấu hiệu ở đây là gì? 
 b) Lập bảng “tần số” và nêu nhận xét. 
 c) Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu. 
 d) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. 
 Bài 5: Hai xạ thủ A và B mỗi người bắn 15 phát đạn, kết quả (điểm mỗi lần bắn) được ghi 
 lại trong bảng sau:
 A 10 8 9 10 10 9 10 8 8 10 10 9 8 10 9
 B 10 9 10 10 10 6 10 10 10 10 7 10 10 10 6
 a) Tính điểm trung bình của từng xạ thủ?
 b) Tìm mốt?
 c) Có nhận xét gì về kết quả và khả năng của từng người?
 Cập nhật:
 Bài 6: Một trường THCS có 40 thầy cô giáo, tuổi trung bình là 42,1. Sang năm học mới, có 
 một thầy giáo 60 tuổi và 1 cô giáo 55 tuổi nghỉ hưu. Nhà trường nhận thêm một cô giáo 21 
 tuổi và một thầy giáo 22 tuổi. Tính tuổi trung bình của các thầy cô giáo của trường trong 
 năm học mới.
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 3 Toán Họa 4 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Bài 7: Trung bình cộng của 24 số bằng 15, nếu loại đi hai số là 20 và 21 thì trung bình cộng 
 cả các số còn lại là bằng bao nhiêu?
 Bài 8: Bốn bạn học sinh có cân nặng trung bình 35kg. Thêm một bạn mới làm cân nặng 
 trung bình của năm người là 36kg. Bạn mới cân nặng bao nhiêu?
 Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu cộng (hay trừ) các giá trị của dấu hiệu với cùng một số thì số 
 trung bình cộng của dấu hiệu cũng được cộng (hay trừ) với một số đó
 Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu nhân các giá trị của dấu hiệu với cùng một số thì số trung 
 bình cộng của dấu hiệu cũng được nhân với một số đó
 HDG:
 Bài 1: a) Bảng tần số:
 Thời gian (x) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 Tần số (n) 1 3 4 8 8 9 8 5 2 2 N = 50 
 Dấu hiệu: Thời gian giải một bài toán của mỗi học sinh (tính theo phút). Số giá trị của dấu 
 hiệu: 50.
 b) X = 7,58 (phút).
 Bài 2: a) Dấu hiệu: Thời gian làm bài tập của mỗi học sinh.
 b) Bảng “tần số”:
 Thời gian (x) 5 7 9 10 12 15
 Tần số (n) 3 4 8 8 5 2 N = 30
 Nhận xét:
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 4 Toán Họa 5 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 - Cả 30 học sinh đều làm được bài tập.
 - Thời gian làm bài ít nhất: 5 phút.
 - Thời gian làm bài nhiều nhất: 15 phút.
 21 
 - Số đông học sinh làm xong bài tập trong khoảng từ 9 đến 12 phút 70% .
 30 
 c) Số trung bình cộng X 9,5 (phút).
 Mốt của dấu hiệu: M0 9, M0 10 (có hai mốt).
 d) Học sinh tự vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
 Bài 3: 
 a) Bảng cho giá trị của dấu hiệu dưới dạng khoảng.
 b) Trước hết ta tính số trung bình cộng của từng khoảng. 
 Số đó chính là trung bình cộng của các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của khoảng. Ví dụ : trung 
 bình cộng của khoảng 110-120 là 115
 - Nhân các số trung bình vừa tìm được với các tần số tương ứng. 
 - Thực hiện tiếp các bước theo quy tắc đã học.
 Để tiện việc tính toán ta kể thêm vào cột chiều cao là cột số trung bình cộng của từng lớp ; 
 sau cột tần số là cột tích giữa trung bình cộng.
 Chiều cao Trung bình Tần số Tích của 
 cộng của trung bình 
 mỗi lớp cộng mỗi lớp 
 với tần số
 105 105 3 315
 110 120 115 7 805
 121 131 126 5 630
 132 142 137 6 822
 143 153 148 7 1036
 155 155 2 310
 N 30 4018
 3918
 Số trung bình cộng là : X 130,6(cm). 
 30
 Bài 4: 
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 5 Toán Họa 6 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 a) Dấu hiệu: Số cân nặng của mỗi học sinh.
 b) Bảng “tần số”:
 Số cân (x) 28 29 30 35 37 42
 Tần số (n) 2 3 4 6 4 1 N = 20
 Nhận xét:
 - Người nhẹ nhất: 28 kg.
 - Người nặng nhất: 42 kg.
 14 
 - Số cân nặng của nhiều bạn trong khoảng 30 đến 37 kg 70% .
 20 
 c) X 33 (kg); M0 35. d) Học sinh tự vẽ. 
 Bài 5: 
 a) Điểm trung bình của xạ thủ A là:
 Giá trị x Tần số n Các tích x.n 
 8 4 32
 9 4 36
 10 7 70
 N 15 Tổng: 138
 138
 X 9,2.
 A 15
 Điểm trung bình của xạ thủ B là:
 Giá trị x Tần số n Các tích x.n 
 6 2 12
 7 1 7
 9 1 9
 10 11 110
 N 15 Tổng: 138
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 6 Toán Họa 7 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 138
 X 9,2.
 B 15
 b) Mốt của dấu hiệu là M 0 10.
 c) Nhận xét: hai xạ thủ đều có số điểm trung bình như nhau nhưng xạ thủ A bắn đều hơn 
 (số điểm các lần bắn đều nhau), còn xạ thủ B bắn phân tán hơn (số điểm các lần bắn đôi lúc 
 có sự chênh lệch nhau).
 Bài 6: 
 Tuổi trung bình của các thầy cô giáo trong năm học mới là 
 42,1.40 - 60 - 55 + 21+ 22 1612
 = = 40,3 
 40 40
 15.24 - 20 - 21
 Bài 7: Trung bình cộng cả các số còn lại là = 14,5 
 24 - 2
 Bài 8: Cân nặng của 4 bạn học sinh (không kể bạn mới) là: 35.4 = 140 kg
 Cân nặng của bạn học sinh mới là 36.5 - 140 = 40 (kg)
 x n + x n + x n + .... + x n
 Bài 9: Ta có X = 1 1 2 2 2 3 k k
 N
 q.(x n + x n + x n + .... + x n )
 Þ qX = 1 1 2 2 2 3 k k
 N
 (q.x )n + (q.x )n + (q.x )n + .... + (q.x )n
 Þ qX = 1 1 2 2 2 3 k k (đpcm)
 N
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 7