Chuyên đề Bồi dưỡng năng lực học Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

 Toán Họa 1 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
  QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Định lý 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
 DABC,AC > AB Þ Bµ> Cµ.
 A
 Định lý 2. Trong một tam giác cạnh đối diện 
 với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
 B C
 DABC,Bµ> CµÞ AC > AB
 II. BÀI TẬP
 Bài 1: So sánh các góc của ABC biết:
 a) AB = 4cm; BC = 6cm; CA = 5cm. 
 b) AB = 9cm; AC = 72cm; BC = 8cm. 
 c) Độ dài các cạnh AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với2,3,4 .
 d) ABC vuông ở B và có AC = 6cm; AB = 19cm .
 µ 0 µ
 e) Cho DDEF biếtDE = DF 60 > E .
 0 µ 0 $
 f) Cho DGHI biết IG = IH > GH . Chứng minh 90 > H > 60 > I .
 Bài 2: So sánh các cạnh của ABC , biết:
 µ 0 µ 0
 a) A = 45 ;B = 55 
 b) Góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200 , Bµ 540 
 c) ABC cân tại A, µA 600 .
 d) Số đo các góc A, B,C lần lượt tỉ lệ với 2,3,4 .
 µ 1 1
 e) A = 110° và số đo các góc B,C lần lượt tỉ lệ nghịch với ;
 3 4
 µ
 f) A = 40° và số đo các góc B,C tỉ lệ với 3;4 
 Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Chứng 
 minh rằng DB < DC.
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 1 Toán Họa 2 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Bài 4: Cho ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D.
 a) So sánh các đoạn thẳng CA,CD và CB .
 b) Trên cạnh AC lấy điểm E. So sánh DE và BC.
 Bài 5: Cho tam giác ABC có AB AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 
 M· AB M· AC. 
 Bài 6: Cho ABC có AB AC BC . Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D, tia phân giác 
 góc B cắt cạnh AC tại E, hai tia phân giác này cắt nhau tại I. So sánh:
 a) IA và IB b) ·AEB và C· EB c) DB và DC
 Bài 7: Cho △ ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D.
 a) So sánh các đoạn thẳng CA,CD và CB .
 b) Trên cạnh AC lấy điểm E. So sánh DE và BC.
 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông 
 góc với BC H BC 
 a. So sánh độ dài BA và BH
 b. So sánh độ dài DA và DC
 Bài 9: Cho ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE = EC . 
 · · · ·
 Chứng minh rằng trong ba góc: BAD, DAE, EAC thì góc DAE là góc lớn nhất.
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 2 Toán Họa 3 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 HDG
 Bài 1: a) AB = 4cm; BC = 6cm; CA = 5cm.
 · · · µ µ µ
 BC CA AB Þ BAC > CBA > ACB hay A > B > C (Định lý 1)
 b) AB = 9cm; AC = 72cm » 8,5cm; BC = 8cm.
 · · · µ µ µ
 Þ AB > AC > BC Þ ACB > ABC > BAC hay C > B > A (Định lý 1)
 c) Độ dài các cạnh AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 2,3,4 .
 Þ AB.2 = BC.3 = CA.4 AB BC AC
 ·ACB B· AC ·ABC hay Cµ µA Bµ (Định lý 1)
 d) Tính được BC 17 (cm) 4,13 (cm)
 AB = 19cm » 4,35cm; BC = 17cm » 4,13cm; AC = 6cm.
 · · · µ µ µ
 Þ AC > AB > BC Þ ABC > ACB > BAC hay B > C > A (Định lý 1)
 e) DEF cân tại D. Eµ Fµ (t/c tam giác cân)
 DE DF EF Eµ Fµ Dµ (định lý 1)
 Dµ Eµ Fµ 1800 (tổng 3 góc của một tam giác)
 Dµ 2Eµ 1800 Dµ 2Eµ 3Eµ 1800 3Eµ Dµ Eµ 3 600 Eµ 
 Mà Dµ Eµ Dµ Eµ 0 600 Eµ 0 600 Eµ 1 
 Dµ 2Eµ 1800 Dµ 1800 2Eµ 1800 2.600 600 (Vì 600 Eµ ) Dµ 600 2 
 Từ (1) và (2) suy ra: Dµ 600 Eµ (đpcm)
 f) GHI cân tại I. Hµ Gµ (t/c tam giác cân)
 µ µ $
 IG = IH > GH Þ H = G > I (định lý 1)
 $ µ µ 0
 I + G + H = 180 (tổng 3 góc của một tam giác)
 Þ $I + 2Hµ= 1800 Û 2Hµ- 2$I = 1800 - 3$I Þ 2(Hµ- $I ) = 3(600 - $I )
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 3 Toán Họa 4 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 µ $ µ $ 0 $ 0 $
 Mà H > I Þ H - I > 0 Þ 60 - I > 0 Û 60 > I (1)
 0 $ 0 0
 $ µ 0 µ 180 - I 180 - 60 0 0 0
 I + 2H = 180 Þ H = > = 60 (Vì 60 I ) Hµ 60 2 
 2 2
 1800 I 1800
 Mặt khác: Hµ 900 3 (Vì I 00 )
 2 2
 Từ (1), (2) và (3) suy ra: 900 Hµ 600 I (đpcm)
 µ µ µ 0
 Bài 2: a) A + B + C = 180 (tổng 3 góc của một tam giác)
 Þ Cµ= 1800 - (450 + 550) = 800
 µ µ µ 0 0 0
 Þ C > B > A (Vì 80 55 45 )
 Þ AB > AC > BC (Định lý 2)
 µ 0 0 0 µ 0 0 0 0
 b) A = 180 - 120 = 60 Þ C = 180 - (60 + 54 ) = 66
 µ µ µ 0 0 0
 Þ C > A > B (Vì 66 60 54 ) AB BC AC (Định lý 2)
 c) ABC cân tại A. Bµ Cµ (t/c tam giác cân)
 µA Bµ Cµ 1800 (tổng 3 góc của một tam giác)
 µA 2Bµ 1800 µA 1800 2Bµ
 µ 0 0 µ 0 0 µ µ 0
 Mà A > 60 Þ 180 - 2B > 60 Þ 120 > 2B Þ B < 60
 µ µ µ 0
 Þ B = C < A (Vì Bµ Cµ 60 µA )
 ABC có Bµ Cµ µA AC AB BC (Định lý 2)
 Aµ Bµ Cµ A + B + C 1800
 d) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: = = = = = 200 (tổng 3 góc 
 2 3 4 2 + 3 + 4 9
 của một tam giác)
 µ 0 0 µ 0 0 µ 0 0
 Þ A = 2.20 = 40 ; B = 3.20 = 60 ; C = 4.20 = 80
 ABC có: Cµ Bµ µA (Vì 800 600 400 ) AB AC BC (Định lý 2)
 e) Bµ Cµ 700
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 4 Toán Họa 5 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 1 1
 Vì số đo các góc B,C lần lượt tỉ lệ nghịch với ;
 3 4
 µ µ
 µ 1 µ 1 B C
 Þ B. = C. Þ = 
 3 4 3 4
 Bµ Cµ Bµ+ Cµ 700
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: = = = = 100
 3 4 3 + 4 7
 µ 0 0 µ 0 0
 Þ B = 3.10 = 30 ; C = 4.10 = 40
 ABC có: µA Cµ Bµ (Vì 1100 400 300 )
 BC AB AC (Định lý 2)
 Bµ Cµ
 f) Bµ Cµ 1400 . Vì số đo các góc B,C lần lượt tỉ lệ với 3;4 
 3 4
 Bµ Cµ Bµ+ Cµ 1400
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: = = = = 200
 3 4 3 + 4 7
 µ 0 0 µ 0 0
 Þ B = 3.20 = 60 ; C = 4.20 = 80
 ABC có: Cµ Bµ µA (Vì 800 600 400 ) AB AC BC (Định lý 2)
 A
 Bài 3: Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB AE, 
 chứng minh được ABD AED (c-g-c).
 E
 · · ·
 DEC xBD ACB và DB DE. B
 D C
 Từ đó DB DE DC. x
 Bài 4: a) ADC có D· AC là góc tù nên CD > CA (1) và ·ADC là góc nhọn.
 Mà ·ADC và B· DC là 2 góc kề bù. B· DC là góc tù.
 BDC có B· AC là góc tù nên BC > DC (2).
 Từ (1) và (2) suy ra CB > CD > CA 
 b) ADE có D· AE là góc tù nên ·AED là góc nhọn.
 Mà ·AED và D· EC là 2 góc kề bù.
 D· EC là góc tù.
 DEC có D· EC là góc tù nên DC > DE .
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 5 Toán Họa 6 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Mặt khác: BC > DC (cmt) BC DE A
 Bài 5: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD, 
 chứng minh được MAB MDC (c-g-c).
 · · · ·
 MAB MDC, chú ý rằng CD AB AC MAC MDC. B M C
 Do đó M· AB M· AC.
 D
 Bài 6: a) ABC có AB AC BC 
 Cµ Bµ µA (định lý 1)
 1 1
 Bµ µA Bµ µA ·ABI B· AI
 2 2
 ABI có ·ABI B· AI AI BI (định lý 2)
 b) ABC có B· AC là góc lớn nhất (Do BC lớn nhất) nên 
 ·ABC; ·ACB là góc nhọn.
 ABE có B· AE là góc lớn nhất nên ·AEB là góc nhọn.
 Mà ·AEB và C· EB là 2 góc kề bù C· EB là góc tù C· EB > ·AEB
 c)Trên AC lấy điểm B ' sao cho AB ' = AB 
 Xét AB ' D và ABD , có: 
 AB AB '
 B· AD B· ' AD ABD AB ' D (c.g.c) BD B ' D và Bµ' Bµ 
 AD chung
 Ta có: Bµ Cµ (gt) Bµ' Cµ
 Xét B ' DC có Bµ' Cµ DC B ' D DC BD (Vì BD B ' D )
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 6