Chuyên đề Bồi dưỡng năng lực học Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 7: Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

 Toán Họa 1 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
  TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Định nghĩa đường trung trục: Đường trung trực của một đoạn d
 thẳng là đường thẳng vuông gó với đoạn thẳng ấy tại trung M
 điểm của nó.
 Trên hình vẽ bên, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB . 
 A H B
 Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d .
 Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của 
 đoạn thẳng đó.
 Định lí 2: Điểm cách đều ai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của 
 đoạn thẳng đó.
 MA= MB Þ M thuộc đường trung trực của AB 
 Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn 
 thẳng đó.
 II. BÀI TẬP
 Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. 
 Chứng minh rằng AD vuông góc với BE
 µ
 Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A có C = 30°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho 
 ·
 AD = AC. Tính số đo góc DBC.
 Bài 3: Cho 3 tam giác cânMAB, NAB, PAB có chung đáy AB . Chứng minh M ,N,P 
 thẳng hàng.
 Bài 4: Cho tam giác ABC có µA 600 , M là điểm nằm giữa B và C. Vẽ điểm E sao cho AB là 
 đường trung trực của ME, điểm F sao cho AC là đường trung trực của MF.
 a) Chứng minh trung trực của EF đi qua A.
 b) Chứng minh BE CF BC .
 c) Tính các góc của tam giác AEF.
 d) EF cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh MA là phân giác của góc IMK.
 e) Phải cho góc A của tam giác ABC bằng bao nhiêu độ để A là trung điểm của EF.
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 1 Toán Họa 2 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Bài 5: Cho DABC góc A nhọn, đường cao AH. Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng 
 với H qua AB, AC.
 a) Chứng minh AP = AQ.
 · ·
 b) Cho BAC = 60°. Tính số đo góc PAQ.
 c) Chứng minh A· PI A· HI và A· HK A· QK. 
 d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC. Chứng minh HA là tia phân giác 
 ·
 của IHK.
 Bài 6: Cho tam giác ABC có µA 900 . Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM BC . Phân giác 
 của góc ABC cắt AC tại I, MC ở K. Tia MI cắt BC ở H.
 a) Chứng minh BI là trung trực của AH và AH // MC.
 b) Chứng minh AK KH CM .
 c) Nếu K· AH 600 , tính ·ABC 600 .
 Bài 7: Cho tam giác ABC có µA 900 , AB AC , AH là đường cao HM, HN lần lượt là đường 
 phân giác của tam giác ABH và ACH. Gọi I là trung điểm của MN. Tia AI cắt BC ở K.
 a) Chứng minh MN AK và I là trung điểm của AK.
 b) Chứng minh tam giác MAN là tam giác vuông.
 Hết
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 2 Toán Họa 3 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 HDG
 Bài 1: 
 ABD AED (c.g.c) DB DE (1) A
 Theo giả thiết: AB AE (2)
 E
 C
 Từ (1) và (2), ta chứng minh được AD là đường trung trực của B D
 BE. Suy ra AD ^ BE 
 B
 Bài 2: AB là đường trung trực của AC 
 Þ BD = BC Þ DDBC cân.
 30o
 · µ · D A C
 Þ BDA = C = 30°. Þ DBC = 180° - 60° = 120° 
 Bài 3: 
 Vì MAB cân tại M Þ MA = MB Þ M Î đường trung trực của đoạn thẳng AB
 NAB cân tại N Þ NA = NB Þ N Î đường trung trực của đoạn thẳng AB
 PAB cân tại P Þ PA = PB Þ P Î đường trung trực của đoạn thẳng AB
 M , N, P thẳng hàng.
 Bài 4: 
 a) Vì AB là trung trực của EM Þ AE = AM
 Vì AC là trung trực của MF Þ AF = AM
 Þ AE = AF ( = AM) Þ A Î đường trung trực của E
 B
 EF hay đường trung trực của EF đi qua A.
 b) Vì AB là trung trực của EM Þ BE = BM
 Vì AC là trung trực của MF Þ CF = CM M
 I
 Có BC = BM + CM = BE + CF Þ BC = BE + CF
 c) Xét AEM cân tại A có AB là đường trung trực 
 AB là phân giác E· AM E· AB M· AB A K C
 Xét AFM cân tại A có AC là đường trung trực 
 · · ·
 AC là phân giác FAM FAC MAC F
 Có: 
 B·AC = B·AM + M·AC
 Þ 2B·AC = B·AM + M·AC + E·AB + F·AC Þ E·AF = 1200
 0 0
 · 0 · · 180 - 120 0
 Vì AEF cân tại A và EAF = 120 Þ AEF = AFE = = 30
 2
 d) Vì K trung trực MF KM KF VKMF cân tại K K· MF K· FM
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 3 Toán Họa 4 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 AFM cân tại A ·AMF ·AFM
 ·AMK ·AFK
 Vì I trung trực ME IM IE VIEM cân tại I I·EM I·ME
 AEM cân tại A ·AME ·AEM
 ·AEI ·AMI
 Mà ·AEI ·AFK ·AMK ·AMI MA là phân giác của I·MK
 e) Để A là trung điểm của EF E· AF 1800
 · · · 0
 mà EAF = 2BAC Þ BAC = 90
 Bài 5: 
 a) Từ giả thiết suy ra AP = AH và AQ = AH nên AP = AQ.
 b) Ta có: A
 · = · + ·
 PAQ PAH HAQ Q
 · ·
 = 2(BAH + HAC) K
 I
 ·
 = 2BAC = 120°.
 P
 · ·
 c) DAPI = DAHI (c.c.c)Þ API = AHI (1).
 B H C
 · ·
 DAHK = DAQK (c.c.c)Þ AHK = AQK (2).
 · ·
 d) Có AP = AQ Þ DPAQ cân Þ API = AQK (3).
 · ·
 Từ (1), (2) và (3) suy ra AHI = AHK.
 ·
 Þ HA là tia phân giác của IHK.
 B
 · ·
 Bài 6: DMBI = DCBI (c.g.c) Þ BMI = BCI 
 H
 DBHM = DBAC (g - c - g) Þ BA = BH hay DBAH cân tại B có 
 A
 I C
 phân giác BI nên BI đồng thời là đường trung trực của AH 
 K
 BI  AH .
 M
 BK là phân giác trong tam giác cân MBC cân tại B nên BK cũng 
 là đường trung trực của đoạn MC BK  MC mà B,I ,K thẳng hàng BI  MC . 
 Từ đó suy ra AH // MC
 1
 b) Tam giác AMC vuông tại A, trung tuyến AK nên AK = KC = KM = MC 
 2
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 4 Toán Họa 5 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 DBHM = DBAC (cmt) Þ B·HM = 90° Þ C·HM = 90°
 1
 Tam giác CHM vuông tại H, đường trung tuyến KC nên HK = KC = KM = MC
 2
 Từ đó suy ra AK KH CM
 [ Lưu ý: Xem lại bài 5 – Phiếu C304: Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác]
 c) Nếu K· AH 600 thì DAHK đều (vì AK = HK ).
 · ·
 AKM = HKC = 60° Þ DAKM ;DHKC là các tam giác đều
 · · · ·
 Þ AMK = HCK = 60° Þ BMC = BCM = 60° 
 Suy ra tam giác BMC đều hay ·ABC 600
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 5