Chuyên đề Bồi dưỡng năng lực học Hình học Lớp 7 - Chương II, Bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

 Toỏn Họa 1 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
  CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUễNG.
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 * Nếu cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này bằng cạnh huyền và một 
 cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau.
 à à 0ỹ B B'
 A = A' = 90 ù
 ù
 BC = B'C' ýù ị ΔABC = ΔA'B'C'
 ù
 AC = A'C' ù
 ỵù
 A C A' C'
 II. BÀI TẬP
 Bài 1: Cho gúc xOy. Tia Oz là tia phõn giỏc gúc xOy. Lấy điểm A thuộc tia Oz (A O).
 Kẻ AB vuụng gúc với Ox, AC vuụng gúc với Oy (B Ox, C Oy). Chứng minh 
 OAB OAC.
 Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc gúc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ 
 MD  BC (D BC).
 a) Chứng minh BA BD;
 b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ABC DBE;
 c) Kẻ DH  MC (H MC) và AK  ME (K ME). Gọi N là giao điểm của hai tia DH và 
 AK. Chứng minh MN là tia phõn giỏc gúc HMK;
 d) Chứng minh ba điểm B, M,N thẳng hàng.
 Bài 3: Cho ABC cú hai đường cao BM, CN. Chứng minh nếu BM = CN thỡ ABC cõn.
 Bài 4: Cho tam giỏc ABC . Cỏc tia phõn giỏc của gúc B và C cắt nhau ở I . Kẻ 
 ID ^ AC(E ẻ AC). Chứng minh rằng AD = AE .
 Bài 5: Cho tam giỏc ABC cú AB < AC . Tia phõn giỏc của gúc A cắt đường trung trực của 
 BC tại I . Qua I kẻ cỏc đường thẳng vuụng gúc với hai cạnh của gúc A, cắt cỏc tia AB và 
 AC theo thứ tự tại H và K . Chứng minh rằng:
 a) AH = AK
 b) BH = CK
 AC + AB AC - AB
 c) AK = ,CK =
 2 2
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 1 Toỏn Họa 2 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm M, trờn tia đối tia 
 của tia CB lấy điểm N sao cho BM CN.
 a) Chứng minh tam giỏc AMN cõn;
 b) Kẻ BE  AM (E AM), CF  AN (F AN). Chứng minh rằng BME CNF;
 c) EB và FC kộo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phõn giỏc của gúc MAN.
 d) Qua M kẻ đường thẳng vuụng gúc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuụng gúc với 
 AN, chỳng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A,O,H thẳng hàng.
 Bài 7: Cho ABC cú M là trung điểm của BC và AM là tia phõn giỏc của gúc A. Vẽ MI  AB 
 tại I, MK  AC tại K.
 Chứng minh:
 a) MI = MK 
 b) ABC cõn.
 c) Cho biết AB = 37, AM = 35. Tớnh BC.
 d) Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. 
 Chứng minh VADE cõn.
 e) Vẽ BQ  AD tại Q, CR  AE tại R. Chứng minh VABQ VACR .
 Bài 8: Cho tam giỏc ABC cõn tại A ( àA 90 ). Cỏc đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại 
 O.
 a) Chứng minh rằng: AO là tia phõn giỏc của gúc A.
 b) Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuụng gúc với AC, chỳng 
 cắt nhau tại K. Chứng minh AK là tia phõn giỏc của gúc A.
 c) Vẽ BD  AC tại D, CE  AB tại e, BD cắt CE tại H. Chứng minh A, O, H, K thẳng hàng.
 Bài 9: Cho ABC cú AB < AC . Vẽ tia phõn giỏc Ax. Đường thẳng đi qua B vuụng gúc 
 với đường thẳng Ax cắt AC tại D.
 a) Chứng minh ABD cõn.
 b) Đường trung trực của BC cắt Ax ở E. Vẽ EF vuụng gúc với đường thẳng AB tại F, EG 
 vuụng gúc với đường thẳng AC tại G. Chứng minh: BF = CG. 
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 2 Toỏn Họa 3 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 HDG
 Bài 1: Do Oz là tia phõn giỏc xã Oy nờn à OB à OC, từ đú x
 B
 OAB OAC (cạnh huyền - gúc nhọn).
 A z
 Bài 2: O
 a) Ta cú BMA BMD (cạnh huyền - gúc nhọn), từ đú BA BD.
 C
 y
 b) Từ kết quả cõu a) chứng minh được ABC DBE (g-c-g).
 c) Chỳ ý MA MD, từ đú MAK MDH (cạnh huyền - gúc nhọn) MK MH. 
 Do đú MKN MHN (cạnh huyền - cạnh gúc vuụng) B
 ã ã
 KMN HMN ĐPCM. D
 Ã MD Kã MH
 d) Chứng minh được à MB Hã MN. M
 2 2
 A H C
 ã ã ã ã
 Do đú AMB AMN HMN AMN 180 B, M,N thẳng K N
 hàng. E
 ã ° ã °
 Bài 3: Ta cú: BM ^ AC,CN ^ AB ị BNC = 90 ;CMB = 90 A
 Xột DBNC và DCMB cú:
 ã ã
 BNC CMB 90 (cmt)
 N M
 BC là cạnh chung
 B C
 CN = BM (gt) 
 ị DBNC = DCMB(ch - cgv)
 ˆ ˆ
 ị B = C (2 gúc tương ứng) ị DABC cõn tại A
 Bài 4: Kẻ HI ^ BC 
 A
 DBID = DBIH (cạnh huyền – gúc nhọn) suy ra ID = IH (1) 
 E
 DCIE = DCIH (cạnh huyền – gúc nhọn) suy ra IE = IH (2) D
 I
 Từ 1 và 2 suy ra ID = IE. 
 ( ) ( ) C
 B H
 DIAD = DIAE (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) suy ra AD = AE 
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 3 Toỏn Họa 4 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 Bài 5: A
 a)DAIH = DAKI (cạnh huyền – gúc nhọn) suy ra 
 AH = AK (1)
 K
 b) Gọi M là trung điểm của BC. M
 B
 C
 DBMI = DCMI (c.g.c) ị IB = IC H
 DAHI = DAKI (cõu a) IH = IK I
 DIHB = DIKC (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) suy ra BH = CK 
 c) AC = AK + KC (1) 
 AB = AH – BH (2) 
 Từ (1)và (2)suy ra AC + AB = (AK + AH )+ (KC – BH ). 
 AC AB
 Do AH = AK , BH = CK nờn AC + AB = 2AK , suy ra AK 
 2
 Từ (1)và (2)suy ra: 
 AC – AB = (AK – AH )+ (KC + BH ). 
 AC AB
 Do AH = AK , BH = CK nờn AC – AB = 2CK , suy ra CK 
 2
 Bài 6: a) Chứng minh được ABM CAN (c-g-c) đpcm
 A
 b) Từ kết quả cõu a) chứng minh được BME CNF (cạnh 
 huyền - gúc nhọn).
 c) Từ kết quả cõu b) ta cú ME NF, mà AM AN AE AF. 
 E F
 Cũng cú Eã BM Fã CN Oã BC Oã CB OBC cõn tại O, từ đú 
 OB OC OE OF. M B C N
 O
 Bởi vậy AEO AFO (c-g-c) ĐPCM.
 d) Chứng minh được AMH ANH (cạnh huyền - cạnh gúc H
 vuụng), từ đú suy ra AH là phõn giỏc gúc MAN.
 Mặt khỏc AO là phõn giỏc gúc MAN nờn AH và AO trựng nhau hay A,O,H thẳng 
 hàng.
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 4