Chuyên đề Đại số 7: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

I.Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Cho phương trình ax3 + bx2 +cx + d = 0 ( a ạ 0 ) (1)
Giải phương trình khi biết một nghiệm x0
Phương pháp chung
Đoán nghiệm x0 của phương trình (1) rồi phân tích (1) thành:
 ( x – x0)( ax2 + b1x + c1 ) = 0 
Chú ý: Dự đoán nghiệm dựa vào các kết quả sau:
 Nếu a + b + c + d = 0 thì (1 ) có nghiệm x = 1.
 Nếu a - b + c - d = 0 thì (1 ) có nghiệm x = - 1.
 Nếu a,b,c,d ẻ Z và (1) có nghiệm hữu tỷ thì p, q theo thứ tự là ước của d và a.
 Nếu a.c3 = d.b3 ( a, d ≠ 0) thì ( 1 ) có nghiệm 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
	a.2x3 + x2 - 5x + 2 = 0	b.2x3 + x + 3	 = 0
c.3x3 - 8x2 - 2x + 4 = 0	d. x3 + x2 - x - 2 = 0
Giải
a. 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0 (1 )
Nhận xét phương trình (1) có a + b + c + d = 0 Do đó phương trình (1) có một nghiệm x = 1. Phương trình (1) 
Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: x = 1; x = -2; x= ;
b.2x3 + x + 3 = 0 (2)
Nhận xét: Phương trình có: a - b + c - d = 0 do đó phương trình có nghiệm x = -1
Phương trình (2) 
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất. x=-1
c.3x3 - 8x2 - 2x + 4 = 0 (3) 
Giải
Nhận xét: Phương trình có: a = 3; d = 2.
a = 3 có các ước số là: ±1; ±3;	d = 2 có các ước số là: ±1; ±2;
Vậy phương trình nếu có nghiệm hữu tỷ thì chỉ có thể là một trong các giá trị sau: ±1; ±2; Nhận thấy: x = là nghiệm của phương trình.
Phương trình (3) 
Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: x = ; x = 1± 
d. x3 + x2 - x - 2 = 0
Giải
Nhận xét: a.c3 = .1= d.b3 do đó phương trình có nghiệm 
; Biến đổi phương trình về dạng
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : 
Chú ý: 
1.Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm, không cần nêu nhận xét cho lời giải cho mỗi phương trình.
2.Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có ta có thể vận dụng kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp đã học.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 - 3x2 + 7x - =0 (1)
Giải
Biến đổi phương trình về dạng
Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: ; ;