Chuyên đề Đại số Lớp 7 - Chương 4: Biểu thức đại số - Bài 9: Nghiệm của đa thức một biến

 Bài 9. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 ▪ Nếu tại x a , đa thức P x có giá trị bằng 0 thì ta nói x a (hoặc a ) là một nghiệm của đa 
 thức P x . Khi đó, ta viết P a 0 .
 ▪ Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, hoặc không có nghiệm 
 nào.
 ▪ Người ta chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt 
 quá bậc của nó.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Dạng 1: Chứng tỏ x a là nghiệm của đa thức P x 
 ▪ Bước 1: tính giá trị P a , tức là thay x a vào đa thức P x .
 ▪ Bước 2: Kết luận
 ✓ Nếu P a 0 thì x a là nghiệm của đa thức P x .
 ✓ Nếu P a 0 thì x a là không phải là nghiệm của đa thức P x .
Ví dụ 1. Chứng tỏ rằng x 1; x 2 là hai nghiệm của đa thức P(x) x 2 3x 2 .
Ví dụ 2. Cho đa thức f (x) (2x 2 x 1) (x 2 5x 4) .
a) Thu gọn đa thức f (x) .
b) Chứng minh rằng 1 và 3 là các nghiệm của f (x) .
 Dạng 2: Chứng minh một đa thức không có nghiệm
 ▪ Để chứng minh đa thức P x không có nghiệm, ta chứng minh P x nhận giá trị khác 0 
 (nhận giá trị âm hoặc dương) với mọi x .
 ▪ Chú ý: x 2n 0 với mọi n ¥ (tức là lũy thừa chẵn của mọi số thực luôn không âm).
Ví dụ 3. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:
a) x 2 3; b) 3x 2 6; c) (x 1)2 10 ; d) x 4 2019 .
 Dạng 3: Tìm nghiệm của đa thức
 ▪ Để tìm nghiệm của đa thức P x , ta tìm tất cả các giá trị của x sao cho P x 0 .
 ▪ Nếu A(x)  B(x) 0 thì A(x) 0 hoặc B(x) 0 . ▪ Nếu x 2 A 0 thì x A hoặc x A .
Ví dụ 4. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) 2x 8; b) 2x 7 ; c) 4 x 2 ; d) 4x 2 9 ;
e) 2x 2 6 ; f) x(x 1) ; g) x 2 2x ; h) x(x 2 2) .
 Dạng 4: Tìm hệ số của đa thức khi biết một nghiệm của đa thức đó
 ▪ Nếu x x0 là nghiệm của đa thức P x thì P x0 0 . Từ đó, tìm được hệ số cần tìm.
Ví dụ 5. Xác định hệ số a để f (x) 3x a 2 có nghiệm là:
a) x 0 ; b) x 1.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Chứng tỏ rằng x 2 ; x 3 là hai nghiệm của đa thức P(x) x 2 5x 6 .
Bài 2. Cho đa thức f (x) 2x 2 2x 6 x 2 3x .
a) Thu gọn đa thức f (x) .
b) Chứng minh rằng 1 và 6 là các nghiệm của f (x) .
Bài 3. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:
a) x 2 1; b) 2x 2 2 ; c) (x 2)2 1; d) x 4 2019 .
Bài 4. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) 9 3x ; b) 3x 4; c) x 2 9 ; d) 9x 2 4 ;
e) x 2 2 ; f) x(x 2) ; g) x 2 2x ; h) x(x 2 1) ;
Bài 5. Xác định hệ số a để f (x) ax 2 5x 2 có nghiệm là:
a) x 1; b) x 2 .
Bài 6. Xác định hệ số a để P(x) 2x a 1 có nghiệm là:
a) x 0 ; b) x 2 .
Bài 7. Xác định hệ số a để f (x) ax 2 3x 2 có nghiệm là:
a) x 1; b) x 2 . 1
Bài 8. Trong các số 2 ; ; 1; 2 thì các số nào là nghiệm của đa thức P(x) x 3 x 2 4x 4 .
 2
Bài 9. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
 1
a) x 2 ; b) 9 x 2 ; c) x 2 7 ;
 3
d) x(2x 3) ; e) 3x 2 2x ; f) (x 1)(x 2 1) .
Bài 10. Xác định hệ số a để f (x) x 2 ax 2 có nghiệm là
a) x 1; b) x 2 .
Bài 11. Cho hai đa thức: P(x) x 2 2x 5 và Q(x) x 2 9x 5.
a) Tính M (x) P(x) Q(x) và N(x) P(x) Q(x) .
b) Tìm nghiệm của M (x) và N(x) .
Bài 12. Cho hai đa thức: f (x) 2x 4 3x 2 x 1 x 2 x 4 6x 3
 g(x) 10x 3 3 x 4 4x 3 4x 2x 2
a) Thu gọn đa thức f (x),g(x) và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của 
biến.
b) Tính h(x) f (x) g(x) ;
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x) .