Chuyên đề Đổi mới phương pháp dạy học Toán theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

Đổi mới phương pháp dạy học toán theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh
A. Một vài nét về lý luận dạy học
1.Tư tưởng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh
Xã hội phát triển và sự đổi mới đất nước đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục nhằm đào tạo những con người lao động đảm bảo mục tiêu hiện đại hoá đất nước.
+) Theo Kharlamop.I.F. “Học tập là một quá trình nhận thức tích cực” 
+) Theo từ điển Tiếng Việt: Tích cực là một trạng thái tinh thần có tác dụng khẳng định và thúc đẩy sự phát triển . Trong hoạt động học tập nó diễn ra ở nhiều phương diện khác nhau: Tri giác tài liệu, thông hiểu tài liệu, ghi nhớ, luyện tập, vận dụng, khái quát... và được thể hiện ở nhiều hình thức đa dạng, phong phú.
+) Động cơ học tập là nguồn tạo ra tính tích cực trong hoạt động học và khi đã hình thành lại có giá trị như một động cơ thúc giục hoạt động, là thuộc tính của nhân cách, còn tính tích cực lại là một trạng thái tinh thần làm nền cho hoạt động diễn ra có hiệu quả và có thuộc tính thiên về cảm xúc .
G.I. Sukina đã chia tính tích cực ra làm ba cấp độ
1. Tính tích cực bắt chước, tái hiện: xuất hiện do tác động kích thích bên ngoài. Trong trường hợp này người học thao tác trên đối tượng, bắt chước theo mẫu hoặc mô hình của GV, nhằm chuyển đối tượng từ ngoài vào trong theo cơ chế “hoạt động bên ngoài bên trong có cùng cấu trúc”. Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động được tích luỹ thông qua kinh nghiệm người khác.
 2. Tính tích cực tìm tòi: đi liền với quá trình hình thành khái niệm. Giải quyết các tình huống nhận thức, tìm ra các phương thức hành động trên cơ sở có tính tự giác, có sự tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí của HS. Loại này xuất hiện không chỉ do yêu cầu của GV mà còn hoàn toàn tự phát trong quá trình nhận thức. Nó tồn tại không chỉ ở dạng trạng thái, cảm xúc mà còn ở dạng thuộc tính bền vững của hoạt động. ở mức độ này tính độc lập cao hơn mức trên, cho phép HS tiếp nhận nhiệm vụ và tự mình tìm ra phương tiện thực hiện.
3. Tính tích cực sáng tạo: thể hiện khi chủ thể nhận thức tự tìm tòi kiến thức mới, tự tìm kiếm ra phương thức hành động riêng và trở thành phẩm chất bền vững của cá nhân. Đây là mức độ biểu hiện tính tích cực nhận thức cao nhất .
Như vậy nói về tính tích cực nhận thức, người ta thường đánh giá về mức độ nhận thức của người học trong quá trình thực hiện mục đích dạy học.
Kharlamop I.F. viết: “Tính tích cực trong hoạt động nhận thức là trạng thái hoạt động của HS, được đặc trưng bởi khát vọng học tập, sự cố gắng trí tuệ với nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức cho chính mình”.
+) Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh: Tối đa hoá sự tham gia hoạt động của người học với định hướng chỉ đạo là tự nhận thức, tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra và đánh giá, qua đó hình thành và phát triển tư duy độc lập và sáng tạo của HS.
GS.TSKH Nguyễn Bá Kim chỉ rõ 4 yêu cầu để tích cực hoá hoạt động học tập của HS:
- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác, tích cực sáng tạo của hoạt động học tập.
- Dạy học phải dựa trên nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thức sẵn có của người học, nhằm khai thác mặt thuận lợi, hạn chế mặt khó khăn, nghiên cứu những chướng ngại hoặc sai lầm có thể có của những kiến thức đó trong quá trình học tập của HS.
- Dạy học không chỉ nhằm mục đích là tri thức và kỹ năng bộ môn, mà quan trọng hơn cả là việc học, dạy cách học cho HS.
- Quá trình dạy học phải bao hàm cả việc dạy cách tự học thông qua việc để HS tự hoạt động nhằm đáp ứng nhu cầu của bản thân và của xã hội .
Tóm lại: Để phát huy được tính tích cực trong hoạt động học tập của HS cần một quá trình làm cho người học trở thành chủ thể tích cực trong hoạt động học tập của chính họ.
2. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
+) Phương pháp dạy học
 - Phương pháp dạy học là con đường, là cách thức của hoạt động để đạt mục đích dạy học.
 - Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lưu của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt mục đích dạy học .
- Hoạt động của thầy gây nên hoạt động của trò:
Hoạt động của thầy là tác động điều khiển. Tuy nhiên tác động không chỉ gồm hoạt động mà còn có sự ứng xử của thầy giáo.
Thuật ngữ “dạy học” vốn được dùng để phản ánh hoạt động của người dạy, thế nhưng đối tượng của hoạt động dạy học là HS, HS vừa là đối tượng của hoạt động dạy lại vừa là chủ thể của hoạt động học. Vì vậy phương pháp dạy học vừa bao hàm cách dạy của thầy và cách học của trò.
+) Đổi mới phương pháp dạy học
Nghị quyết Trung ương II khoá VIII của Đảng Cộng sản Việt Nam chỉ rõ “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học...”
Đào tạo con người năng động sáng tạo có năng lực phát hiện vấn đề và tự giải quyết vấn đề là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của ngành giáo dục.
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới xây dựng xã hội công nghiệp hoá và thực trạng lạc hậu của phương pháp dạy học đã làm nảy sinh thúc đẩy công cuộc đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học trong ngành giáo dục .
Phương pháp dạy học không phải là bản thân hoạt động và ứng xử của GV ở bình diện xem xét riêng lẻ, cụ thể mà theo Nguyễn Bá Kim: 
“Phương pháp dạy học là hình ảnh khái quát hoá những hoạt động ứng xử nào đó của GV. Hình ảnh này thường được hình thành do phản ánh những hoạt động ứng xử thành công của GV trong quá trình dạy học và phản ánh những thành tựu của khoa học giáo dục hoặc những khoa học khác thông qua khoa học giáo dục... Phương pháp dạy học là phương tiện để đạt mục đích dạy học” .
Trong những năm gần đây tư tưởng dạy học chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau như “lấy HS làm trung tâm”,“phát huy tính tích cực”, “phương pháp dạy học tích cực”, “tích cực hoá hoạt động học tập”, “Hoạt động hoá người học” ....
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo.
+) Làm thế nào để tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh ?
Nhà tâm lí học I.X.Iakimanxkai cho rằng: Nhà trường cần trang bị cho HS hai hệ thống tri thức: 1. Về hiện thực đối tượng; 2. Về nội dung cách thức thực hiện các hành động trí tuệ, đảm bảo việc nắm vững các tri thức khoa học về hiện thực đối tượng đó.
Các tri thức loại một được phản ánh trong SGK, còn các tri thức loại hai được hình thành chủ yếu ở HS bằng con đường tự phát. ở đó tri thức loại hai là các thủ pháp của học tập như: tri thức logic (phân tích, so sánh, khái quát hoá, phân loại); tri thức tổ chức hợp lí các quá trình nhận thức khác nhau
Lerner I.Ia. còn thêm vào đó hai hệ thống nữa: Kinh nghiệm hoạt động sáng tạo và kinh nghiệm thái độ tình cảm.
Các nhà lí luận dạy học P.I. Pitcaxixtưi,B.I. Côrôtiaiev khẳng định: tương ứng với hai loại hoạt động nhận thức tái tạo và tìm tòi, sáng tạo của HS thì có hai loại thông tin tái hiện và dự đoán. Thông tin tái hiện là những tri thức HS lĩnh hội ở dạng có sẵn, thông qua việc ghi nhận và tái hiện lại. Thông tin dự đoán là các tri thức học tập được HS khôi phục lại bằng cách thiết kế, tìm kiếm và kiểm tra tính đúng đắn của điều dự đoán. Trong khi hoạt động tái hiện chỉ có một phương án và việc thực hiện nó chính xác luôn dẫn đến kết quả, thì hoạt động tìm tòi sáng tạo lại dựa vào những thông tin ẩn tàng, chưa tường minh. HS kiểm tra dự đoán trên cơ sở tìm kiếm và lựa chọn phương án có khả năng nhất trong hệ thống kiến thức đã có của mình.
Dựa vào kết quả nghiên cứu của P.I. Pitcaxixtưi, B.I. Côrôtiaiev có hai cách chiếm lĩnh kiến thức:
1. Tái hiện kiến thức: định hướng đến hoạt động tái tạo, được xây dựng trên cơ sở HS lĩnh hội các tiêu chuẩn, hình mẫu có sẵn.
2. Tìm kiếm kiến thức: định hướng đến hoạt động cải tạo tích cực, dẫn đến việc “phát minh” kiến thức và kinh nghiệm hoạt động .
Như vậy, PPDH nào đảm bảo phối hợp giữa cách dạy tái hiện kiến thức và tìm kiếm kiến thức, trong đó tận dụng cơ hội và điều kiện để cách dạy tìm kiếm kiến thức chiếm ưu thế, đồng thời kết hợp hài hoà với tính sẵn sàng học tập của HS, thì về cơ bản PPDH đó có khả năng tích cực hoá hoạt động học tập của HS
3. Dạy luyện tập toán cho học sinh
Quá trình dạy học là một quá trình tâm lý. Trong quá trình học tập HS phải cảm giác, tri giác, vận dụng trí nhớ, tình cảm, ý chí...
Trong những năm gần đây, tâm lý học đã chú ý vào “dạy học phát triển”: Dạy học đi trước sự phát triển, điều đó có nghĩa là dạy học phải tiến hành trong điều kiện dự kiến được mức độ phát triển của HS cao hơn hiện tại. Quan điểm dạy học đi trước sự phát triển và kéo theo sự phát triển được coi là quan điểm khoa học và cách mạng.
Theo L.X. Vygotski, dạy học phải theo đúng chức năng của nó, phải đi trước sự phát triển, nó sẽ thúc đẩy, kéo theo sự phát triển đi lên. Mấu chốt của dạy học phát triển là xác định đúng các trình độ phát triển của học sinh: Trình độ phát triển hiện thời và khả năng phát triển gần nhất. Mức độ hiện tại được biểu hiện qua quá trình HS độc lập giải quyết nhiệm vụ, không cần sự trợ giúp từ bên ngoài. Còn khả năng phát triển gần nhất được thể hiện trong tình huống HS hoàn thành nhiệm vụ khi có sự hợp tác, giúp đỡ của người khác. Từ đó ông đưa ra nguyên lý dạy học phải tác động vào vùng phát triển gần nhất, có nghĩa là phương pháp dạy học tuân theo nguyên tắc tôn trọng kinh nghiệm đã có của HS và tăng dần mức độ khó khăn.
Như vậy dạy học không bị động chờ sự phát triển, mà ngược lại phát triển các chức năng tâm lí. Vấn đề động cơ học tập, hứng thú nhận thức có ý nghĩa rất quan trọng đến hiệu quả của quá trình dạy học.
Để đảm bảo thành công của quá trình dạy học, thầy giáo phải đặc biệt chú ý tới mặt tâm lý trong quá trình dạy học.
- Dạy học là một quá trình xã hội, trong đó có sự tương tác giữa người và người, giữa người và xã hội. Hiểu được tính xã hội của dạy học và ảnh hưởng của xã hội đối với nhà trường sẽ giúp người dạy điều khiển được quá trình dạy học.
Sự giống nhau và khác nhau về yêu cầu xã hội, về sự phát triển nhân cách của từng người đòi hỏi một quá trình dạy học thống nhất cùng với biện pháp phân hoá, do vậy trong hoạt động của mình người thầy cần quan tâm đến kinh nghiệm sống và điều kiện học tập thực tế của HS để xây dựng kế hoạch và nội dung dạy học thích hợp.
Tóm lại, căn cứ vào nhận thức về quá trình dạy học trong giai đoạn hiện nay (quá trình nhận thức, quá trình tâm lý và quá trình xã hội), hệ thống BT cần phải phản ánh tích cực và có chọn lọc các tri thức, phương pháp, kỹ năng ... liên quan chặt chẽ đến hoạt động toán học, thúc đẩy các chức năng tâm lý, hứng thú nhận thức và chú ý đến kinh nghiệm sống và điều kiện  ... phõn giỏc của gúc A. Lại cú ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A đồng thời là trung tuyến mà OBC nờn O là trung điểm cạnh BC.
(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O).
Nối OM, ON.
 Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được
Q
A
B
 Ta hóy đưa bài toỏn về bài toỏn quen thuộc bằng cỏch qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt Ox, Oy thứ tự ở P và Q. Ta cú AOB cõn nờn POQ cõn ở O, IPQ mà MN là tiếp tuyến của (I). Áp dụng bài toỏn trờn . Lại do cõn chung đỉnh O AP = BQ (khụng đổi) 
C
N
O
M
P
I
Ta cú MN = AM + BN = MP + NQ - AP - BQ = MP + NQ - 2AP.
Do đú MN nhỏ nhất MP + NQ nhỏ nhất (Áp dụng kết quả bài toỏn 1.1) ta cú được C là điểm chớnh giữa cung nhỏ AB.
Nếu vẫn tiếp tục khai thỏc bài toỏn ban đầu ta cú thể đưa ra một số bài toỏn cho học sinh tự làm, coi như bài tập về nhà để học sinh tự giải quyết.
	Bài toỏn 1.6: Cho ABC cõn ở A. Lấy M, N trờn cạnh AB, AC sao cho . Tỡm vị trớ của M, N sao cho AMN cú diện tớch lớn nhất.
Bài toỏn 1.7: Cho M, M' trờn tia AB và tia đối của tia BA; N, N' thuộc tia CA và tia đối của tia CA. Chứng minh rằng:
1) Nếu MB.NC = M'B.N'C = thỡ tứ giỏc MM'N'N ngoại tiếp được một đường trũn;
2)Phõn giỏc tạo bởi MN và MM' đi qua một điểm cố định.
Bài toỏn 1.8: 
1) Cho ABC. Dựng hai điểm P, Q thứ tự trờn AB và AC sao cho AP = AQ và BP.CQ = ;
2) Cho hỡnh vuụng ABCD, lấy điểm F thuộc CD, G thuộc BC sao cho EG//AF (với E là trung điểm của AB). Chứng minh rằng FG là tiếp tuyến của đường trũn nội tiếp hỡnh vuụng.
Bài toỏn 1.9: Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Đường trũn cú tõm O là trung điểm của BC tiếp xỳc với AB, AC thứ tự ở H và K. Lấy P thuộc đoạn AB, Q thuộc đoạn AC sao cho PQ là tiếp tuyến của (O). Tỡm quĩ tớch tõm O' của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OPQ.
	Với cỏch làm tương tự trờn, bằng phương phỏp đặc biệt hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, tương tự và thao tỏc tư duy thuận đảo ta cũng hỡnh thành cho học sinh tư duy lụgớc, tư duy sỏng tạo, tớnh độc đỏo trong toỏn học. Chẳng hạn ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2: Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy với đường trũn. Từ một điểm E nằm trờn đường trũn, kẻ tiếp tuyến với đường trũn đú cắt Cx tại A và Dy tại B. Chứng minh gúc AOB = 900.
Phõn tớch bài toỏn:
J
K
O
D
C
E
B
A
y
x
Để chứng minh gúc AOB = 900, ta cú thể làm bằng nhiều cỏch khỏc nhau. Chẳng hạn:
	- Ta chứng minh OA, OB là hai tia phõn giỏc của cặp gúc kề bự;
	- Ta chứng minh gúc AOB = gúc CED, mà gúc CED = 900 
 nờn gúcAOB = 900.
Do 	+) đồng dạng với (g.g) nờn gúc AOB = gúc CED, 
mà gúc CED = 900 vậy gúc AOB = 900.
+) Tứ giỏc OKEJ là hỡnh chữ nhật ( cú ba gúc vuụng) nờn gúc AOB = 900. 
Tiếp tục tư duy chỳng ta cũn tỡm được thờm một vài cỏch giải khỏc nữa. Sau đõy ta xột một trong cỏc cỏch giải đú:
Ta cú gúc ACO = gúcAEO = 900 (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
suy ra gúcACO + gúc AEO = 1800 suy ra tứ giỏc ACOE nội tiếp
Do đú ta cú gúcEAO = gúcECO (hai gúc cựng chắn một cung OE)
Tương tự ta cũng cú gúcEBO = gúcEDO, mà gúcECO + gúcEDO = 900 (vỡ gúcCEO = 900-gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn). Nờn gúcEAO + gúcEBO = 900. Từ đú suy ra gúcAOB = 900. (Đpcm).
Khai thỏc bài toỏn:
	- Nếu ta thay đổi một vài điều kiện của bài toỏn, chẳng hạn vị trớ của điểm O thay bằng điểm M bất kỡ trờn CD. Khi đú đường thẳng vuụng gúc với ME tại E khụng cũn là tiếp tuyến nữa mà trở thành cỏt tuyến với (O). Thế thỡ yờu cầu của bài toỏn chứng minh gúcAMB = 900 cũn đỳng nữa hay khụng?. Điều này vẫn cũn đỳng, từ đú ta cú bài toỏn khỏc như sau:
	Bài toỏn 2.1: Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy. Một điểm E bất kỳ nằm trờn đường trũn, điểm M bất kỳ nằm trờn CD (M khụng trựng với C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vuụng gúc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gúcAMB = 900.
 -)Tại sao ta lại đặt vấn đề M khỏc C, D, O.
- Vỡ nếu M O thỡ trở lại bài toỏn trờn.
- Cũn nếu M C thỡ đường thẳng ME cắt Cx tại A, cắt Dy tại B D. Khi đú ta cú gúc AMB = 900.
Nếu M D thỡ tương tự trờn.
x
y
A
E
DB
O
MC
M
O
D
C
E
B
A
y
x
	Ta trở lại bài toỏn: Như vậy tương tự bài toỏn trờn ta cũng cú:
	gúcMAB = gúcECM (do tứ giỏc ACME nội tiếp)
	gúcEBM = gúcEDM (do tứ giỏc BDME nội tiếp)
mà gúcECM + gúc EDM = 900 (do gúcCED = 900). Nờn gúcAMB = 900.
	-) Ta tiếp tục khai thỏc và mở rộng bài toỏn, chẳng hạn điểm M khụng nằm trong đoạn CD mà nằm trờn đường thẳng CD và giữ nguyờn cỏc điều kiện của bài toỏn 2.1 thỡ sao? từ đú ta cú bài toỏn sau:
M
O
D
C
E
B
A
y
x
	Bài toỏn 2.2: Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy. Một điểm E bất kỳ nằm trờn đường trũn, điểm M bất kỳ nằm trờn đường thẳng CD (M khụng trựng với C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vuụng gúc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gúcAMB = 900.
	- Muốn chứng minh gúc AMB = 900 ta dựa vào cỏch chứng minh bài toỏn trờn. Ta chứng minh gúcMAB + gúcMBA = 900.
	Muống chứng minh gúcMAB + gúc MBA = 900 ta chứng minh 
gúcMAB + gúcMBA = gúcCDE + gúcDCE = 900
	Để chứng minh điều này ta cần chứng minh gúcMAB = gúcECD, 
gúcMBA = gúcMDE. Như vậy ta cần phải chứng minh cỏc tứ giỏc AMCE, MEDB nội tiếp.
	Từ đú ta cú lời giải sau:
Chứng minh: Ta cú gúcACM = gúcAEM = 900, do đú tứ giỏc AMCE nội tiếp 
 gúcMAB = gúc ECD (cựng bự gúcMCE)
Tương tự tứ giỏc MEDB nội tiếp gúcMAB = gúcMDE (cựng chắn một cung).
Mà gúcECD + gúcEDC = 900. Do đú gúcMBA + gúcMAB = 900.
Suy ra gúcAMB = 900.
Như vậy nhỡn lại bài toỏn trờn ta cú thể đưa thành bài toỏn tổng quỏt hơn như sau:
	Bài toỏn 2.3: (Bài toỏn tổng quỏt) 
	Cho đường trũn (O) đường kớnh CD. Một điểm E thuộc đường trũn (O). M là điểm bất kỡ thuộc đường thẳng CD. Kẻ đường thẳng vuụng gúc với ME tại E cắt cỏc tiếp tuyến Cx, Dy của đường trũn tại A và B. Chứng minh gúc AMB = 900.
	Vẫn tiếp tục bài toỏn 2 ta khai thỏc theo khớa cạnh khỏc, ta cú bài toỏn sau:
	Bài toỏn 2.4: Cho đường trũn (O;), qua A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của đường trũn. Một điểm M thuộc đường trũn, qua M kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
	1) Chứng minh CD = AC + BD;
	2) Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD luụn tiếp xỳc với một đường thẳng cố định khi M thay đổi trờn đường trũn.
K
H
O
B
A
M
D
C
y
x
	3) AD cắt BC ở H chứng minh MH // AC.
Phõn tớch bài toỏn:
	1) Với phần này rất phự hợp với học sinh trung bỡnh khi học xong bài tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau, Ta thấy ngay CM = CA; DM = DB 
từ đú suy ra CM + DM = CA + DB mà M nằm giữa C và D nờn CD = CA + DB.
	2) Cũng tương tự bài toỏn trờn ta cú COD vuụng ở O. Mặt khỏc gọi I là trung điểm của CD thỡ O (1). 
Lại cú tứ giỏc ABDC là hỡnh thang, OI là đường trung bỡnh nờn OI // CA, mà CA AB do đú IO AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD. Mà AB là đường thẳng cố định nờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD luụn tiếp xỳc với đường thẳng AB cố định khi M thay đổi trờn đường trũn.
3) Với phần này là một bài toỏn rất hay vỡ nú đũi hỏi học sinh phải dựng phương phỏp phõn tớch đi lờn để tỡm lời giải của bài toỏn. Hơn nữa để tỡm ra lời giải học sinh cũn phải huy động kiến thức về định lớ Talột đảo.
Giỏo viờn hướng dẫn học sinh tỡm lời giải của bài toỏn bằng sơ đồ phõn tớch đi lờn, như sau:
 MH //AC
 (vỡ DM=DB; MC=CA)
 AC // DB (AB)
Từ đú yờu cầu học sinh lờn bảng căn cứ vào sơ đồ trỡnh bày lời giải của bài toỏn:
Ta cú AC, BD là hai tiếp tuyến của (O) đường kớnh AB nờn ACAB, BDAB do đú AC // BD.
Xột ACH cú AC // BD ỏp dụng hệ quả định lớ Talột, ta cú mà DB = DM; AC = MC nờn ta cú ỏp dụng định lớ Talột đảo trong tam giỏc DAC suy ra MH // AC.
Khai thỏc bài toỏn:
	-) Giỏo viờn đặt vấn đề cho học sinh suy nghĩ. Gọi giao điểm của MH và AB là K, cú nhận xột gỡ về vị trớ của H đối với MK? Từ đú ta cú bài toỏn:
	Bài toỏn 2..5: Với giả thiết của bài toỏn trờn. Chứng minh H là trung điểm của MK.
	-) Nếu gọi P là giao điểm của BM và Ax. Thỡ ta cũng cú kết quả C là trung điểm của AP.
	-) Nếu giỏo viờn cho thờm điều kiện AC = R (AB = 2R) thỡ chỳng ta lại cú bài toỏn liờn quan đến tớnh toỏn. Từ đú ta cú bài toỏn sau:
	Bài toỏn 2.6: Cho , từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của đường trũn. Một điểm C trờn tia Ax sao cho AC = R. Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường trũn cắt By ở D. AD cắt BC ở H.
	1) Tớnh số đo gúcAOM;
	2) Chứng minh trực tõm của tam giỏc ACM nằm trờn (O);
	3) Tớnh MH theo R.
	-) Bõy chỳng ta lại xột bài toỏn khụng tĩnh như trờn nữa, mà cho điểm C thay đổi trờn tia Ax sao cho AC thỡ khi đú trực tõm của ACM cũng thay đổi theo. Từ đú ta cú bài toỏn sau:
	Bài toỏn 2.7: Cho , từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của đường trũn. Một điểm C trờn tia Ax sao cho AC R. Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường trũn cắt By ở D.Gọi H là trực tõm của tam giỏc ACM. Tỡm quĩ tớch điểm H.
	-) Lại nhỡn bài toỏn dưới gúc độ bài toỏn cực trị hỡnh học, ta cú bài toỏn sau:
	Bài toỏn 2.8: Cho từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của đường trũn. Một điểm M trờn đường trũn, từ M kẻ tiếp tuyến của (O) cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Tỡm vị trớ của điểm M để:
	1) CD cú độ dài nhỏ nhất;
	2) Diện tớch tam giỏc COD nhỏ nhất.
	Như vậy xuất phỏt từ bài toỏn trong SGK, bằng những thao tỏc tư duy lật ngược vấn đề, tương tự, khỏi quỏt hoỏ, tương tự hoỏ, chỳng ta đó sỏng tạo ra được rất nhiều bài toỏn xuất phỏt từ bài toỏn gốc trong quỏ trỡnh tỡm lời giải, nghiờn cứu sõu lời giải: như bài toỏn tớnh toỏn, bài toỏn quĩ tớch, bài toỏn cực trị,. Việc làm như thế ở người thày được lặp đi, lặp lại và thường xuyờn trong quỏ trỡnh lờn lớp sẽ dần dần hỡnh thành cho học sinh cú phương phỏp, thúi quen đào sõu suy nghĩ, khai thỏc bài toỏn ở nhiều gúc độ khỏc nhau. Đặc biệt là rốn cho học sinh cú phương phỏp tỡm lời giải bài toỏn bằng phương phỏp phõn tớch đi lờn-một phương phỏp tư duy rất đặc trưng và cực kỡ hiệu quả khi học mụn hỡnh học. Thụng qua đú học sinh được phỏt triển năng lực sỏng tạo toỏn học, nhất là những học sinh khỏ giỏi. Qua mỗi giờ dạy người thày cần giỳp học sinh làm quen và sau đú tạo cơ hội cho học sinh luyện tập, thể hiện một cỏch thường xuyờn thụng qua hệ thống cõu hỏi gợi mở, hệ thống bài tập từ dễ đến khú.
	Trờn đõy là một vài ý tưởng của tụi đó đưa ra trong quỏ trỡnh lờn lớp trong giờ luyện tập hỡnh học. Theo tụi nú cú tỏc dụng:
	- Giỳp cỏc em củng cố kiến thức đó học;
	- Giỳp cỏc em biết vận dụng kiến thức đó học vào bài tập;
	- Rốn kĩ năng trỡnh bày cho học sinh; 
	- Phỏt triển tư duy toỏn học thụng qua cỏc thao tỏc tư duy khỏi quỏt hoỏ, đặc biệt hoỏ, tương tự hoỏ, tư duy thuận đảo,
	- Dần dần hỡnh thành phương phỏp tỡm lời giải bài toỏn hỡnh học, tư duy linh hoạt, phương phỏp học toỏn, học sỏng tạo toỏn học.