Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 2: Tam giác - Bài 7: Định lý py-ta-go

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 7. ĐỊNH LÝ PY-TA-GO
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định lý Py-ta-go
 ▪ Trong tam giác vuơng, bình phương cạnh huyền bằng tổng 
 bình phương hai cạnh gĩc vuơng.
 ▪ Nếu tam giác ABC vuơng tại A thì BC 2 AB 2 AC 2 .
 ▪ Như vậy, trong một tam giác vuơng, nếu biết độ dài hai cạnh 
 sữ cĩ được độ dài của cạnh cịn lại.
2. Định lý Py-ta-go đảo
 ▪ Nếu một tam giác cĩ bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh cịn lại thì tam 
 giác đĩ là tam giác vuơng.
 ▪ Nếu tam giác ABC cĩ BC 2 AB 2 AC 2 thì tam giác ABC vuơng tại A.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài cạnh của tam giác vuơng
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A , cĩ AB 6 cm, AC 8 cm.
a) Tính độ dài cạnh BC .
b) Kẻ AH vuơng gĩc với BC tại H . Biết AH 4,8 cm. Tính BH,CH .
Lời giải
a) VABC vuơng tại A nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ 
 BC 2 AB 2 AC 2 BC 2 62 82 100 BC 100 10 cm.
 VABH vuơng tại H nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ 
 AB 2 AH 2 BH 2 BH 2 AB 2 AH 2
 BH 2 62 (4,8)2 12,96 BH 12,96 3,6 cm.
Từ đĩ tính được HC BC BH 10 3,6 6, 4 cm.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A , cĩ AC 9 cm, BC 15 cm. Trên tia đối của AC lấy 
điểm D sao cho AD 5 cm. Tính độ dài các cạnh AB,BD .
Lời giải
 VABC vuơng tại A nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ 
 BC 2 AB 2 AC 2 AB 2 BC 2 AC 2 Toán 7 Tài liệu dạy học
 AB 2 152 92 144 AB 144 12 cm
 VABD vuơng tại A nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ 
 BD 2 AB 2 AD 2 BD 2 122 52 169
 BD 169 13 cm.
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC , kẻ AH vuơng gĩc với BC . Tính chu vi tam giác ABC biết 
 AC 20 cm, AH 12 cm, BH 5 cm.
Lời giải
Để tính được chu vi VABC , ta cần xác định độ dài của AB,BC .
Trong VABH vuơng tại H , ta cĩ
 AB 2 AH 2 BH 2 122 52 144 25 169 AB 13.
Trong VACH vuơng tại H , ta cĩ
CH 2 AC 2 AH 2 202 122 400 144 256
 CH 16 BC BH CH 5 16 21 cm .
Khi đĩ. chu vi VABC được tính bởi
CV AB BC AC cm.
 VABC 13 21 20 54
Ví dụ 4. Hai đoạn thẳng AC,BD vuơng gĩc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn thẳng. 
Tính độ dài AB,BC,CD,DA biết AC 12 cm, BD 16 cm.
Lời giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD . Khi đĩ AI CI 6 cm, 
 BI DI 8 cm, A· IB B· IC C· ID D· IA 90 .
Ta cĩ VABI VCBI VCDI VADI (c.g.c).
 AB BC CD AD (các cạnh tương ứng).
Áp dụng định lí Py - ta - go, ta cĩ
 AB 2 AI 2 BI 2 62 82 100 AB 10 cm.
Vậy AB BC CD DA 10 cm.
Dạng 2: Nhận biết tam giác vuơng
 ▪ Nếu một tam giác được cho với độ dài 3 cạnh của nĩ thì sử dụng định lý Py-ta-go đảo để 
 kết luận tam giác vuơng. Toán 7 Tài liệu dạy học
 ▪ Cụ thể kiểm tra bình phương của độ dài cạnh lớn nhất so với tổng bình phương của hai 
 cạnh cịn lại.
Ví dụ 5. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuơng trong các tam giác cĩ độ dài sau:
a) 4 cm, 7 cm, 6 cm; b) 6 cm, 10cm, 8 cm.
Lời giải
a) Ta cĩ 42 62 52 49 72 nên tam giác này khơng phải là tam giác vuơng.
c) Ta cĩ 62 82 100 102 nên tam giác này là tam giác vuơng.
Ví dụ 6. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuơng trong các tam giác cĩ độ dài sau:
a) 20 cm, 12 cm, 16 cm; b) 6 cm, 11 cm, 9 cm.
Lời giải
a) Ta cĩ 122 162 400 202 nên tam giác này vuơng.
b) Ta cĩ 62 92 117 112 nên tam giác khơng vuơng.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC vuơng tại A , cĩ AB 6 cm, AC 8 cm. D là một điểm sao cho 
 BD 16 cm, CD 24 cm. Chứng minh VCBD khơng thể là tam giác vuơng.
Lời giải
Tam giác ABC vuơng tại A nên theo định lý Pi-ta-go ta cĩ 
 BC 2 AB 2 AC 2 62 82 100 BC 100 10 cm
Tam giác CBD khơng thể là tam giác vuơng vì 242 102 162 . 
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Biết AH 6 cm, BH 4,5 cm, HC 8 cm. Hỏi 
tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải
Tam giác ABH vuơng tại H nên theo định lý Py-ta-go ta cĩ 
 225 225
 AB 2 AH 2 BH 2 62 (4,5)2 AB 7,5 cm.
 4 4
Tam giác ACH vuơng tại H nên theo định lý Py-ta-go ta cĩ 
 AC 2 AH 2 HC 2
 AC 2 62 82 100 AC 100 10 cm.
 625
Tam giác ABC cĩ AB 2 AC 2 (7,5)2 102 (12,5)2 BC 2 .
 4 Toán 7 Tài liệu dạy học
Do đĩ VABC vuơng tại A .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC , AB 13 cm, AC 15 cm. Kẻ AD  BC (D BC) . Biết 
 BD 5 cm. Tính CD .
Lời giải
Tam giác ABD vuơng tại D nên 
 AD 2 AB 2 BD 2 132 52 144 AD 12 cm.
Tam giác ACD vuơng tại D nên 
 CD 2 AC 2 AD 2 152 122 81 CD 9 cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng cạnh huyền AB 117 cm, BC 6 cm. Gọi K là trung điểm 
của AC . Tính độ dài BK .
Lời giải
Tam giác ABC cĩ cạnh huyền AB nên VABC vuơng tại C . Do 
đĩ
 9
 AC 2 AB 2 BC 2 117 36 81 AC 9 CK cm.
 2
Tam giác BCK vuơng tại C nên 
 81 225
 BK 2 BC 2 CK 2 36 BK 7,5 cm.
 4 4
Bài 3. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Biết AC 15 cm, AH 12 cm, BH 9 cm. Hỏi 
tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải
Tam giác ABH vuơng tại H nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ 
 AB 2 AH 2 BH 2 122 92 225 AB 15 cm.
Do đĩ AB AC nên VABC cân tại A .
Bài 4. Cho tam giác đều MPQ cĩ điểm O nằm bên trong của tam giác đĩ thỏa mãn 
OM 2 OP 2 OQ 2 . Tính số đo P· OQ .
Lời giải
Vẽ tam giác đều OPR . Toán 7 Tài liệu dạy học
Cĩ M· PO O· PQ 60 và R· PQ O· PQ 60 nên M· PO R· PQ .
Xét VPMO và VPQR , cĩ
 PO PR (tam giác đều OPR )
 PM PQ (tam giác đều MPQ )
 M· PO R· PQ (chứng minh trên)
Do đĩ VPMO VPQR (c-g-c). Suy ra MO QR (cặp cạnh tương ứng).
Khi đĩ OM 2 OP 2 OQ 2 QR2 OR2 OQ 2 . Theo định lý Py-ta-go đảo VOQR vuơng tại 
O .
Do đĩ P· OQ P· OR R· OQ 60 90 150 .