Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 2: Tam giác - Bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 8. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 ▪ Trường hợp “Hai cạnh gĩc vuơng”: Nếu hai cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng này lần 
 lượt bằng hai cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng kia thì hai tam giác vuơng đĩ bằng nhau.
 ▪ Trường hợp “Cạnh gĩc vuơng – gĩc nhọn kề”: Nếu một cạnh gĩc vuơng và một gĩc nhọn 
 kề cạnh ấy của tam giác vuơng này bằng một cạnh gĩc vuơng và một gĩc nhọn kề cạnh ấy của 
 tam giác vuơng kia thì hai tam giác vuơng đĩ bằng nhau.
 ▪ Trường hợp “Cạnh huyền – gĩc nhọn”: Nếu cạnh huyền và một gĩc nhọn của tam giác 
 vuơng này bằng cạnh huyền và một gĩc nhọn của tam giác vuơng kia thì hai tam giác vuơng 
 đĩ bằng nhau.
 ▪ Trường hợp “Cạnh huyền – cạnh gĩc vuơng”: Nếu cạnh huyền và một cạnh gĩc vuơng của 
 tam giác vuơng này bằng cạnh huyền và một cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng kia thì hai 
 tam giác vuơng đĩ bằng nhau.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai tam giác vuơng bằng nhau
 ▪ Bước 1: Xét hai tam giác vuơng (chỉ rõ gĩc vuơng).
 ▪ Bước 2: Kiểm tra hai điều kiện bằng nhau của hai tam giác vuơng.
 ▪ Bước 3: Kết luận hai tam giác bằng nhau theo đúng thứ tự đỉnh.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D là trung điểm cạnh BC . Kẻ DE  AB , 
 DF  AC . Chứng minh:
a) VDEB VDFC ; b) VAED VAFD ; c) AD là phân giác gĩc BAC .
Lời giải
a) Xét VDEB và VDFC , ta cĩ
 ▪ DB DC (D là trung điểm của BC )
 ▪ E· BD F· CD (VABC cân tại A )
 ▪ B· ED C· FD 90
Do đĩ VDEB VDFC (ch-gn).
b) Xét VAED và VAFD , cĩ
 ▪ A· ED A· FD 90
 ▪ DE DF (VDEB VDFC )
 ▪ AD là cạnh chung
Do đĩ VAED VAFD (ch-cgv).
c) Do VAED VAFD nên E· AD F· AD , từ đĩ AD là tia phân giác của gĩc A . Toán 7 Tài liệu dạy học
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh BC lấy D,E (D nằm giữa B và E ) sao cho 
 BD CE . Vẽ DM  AB tại M , EN  AC tại N . Gọi K là giao điểm của MD và NE . 
Chứng minh:
a) VMBD VNCE ; b) VMAK VNAK .
Lời giải
a) Xét VMBD và VNCE , ta cĩ
 BD CE (giả thiết)
 E· CN M· BD (VABC cân tại A )
 D· MB C· NE 90
Do đĩ VMBD VNCE (ch-gn)
b) Từ câu a) suy ra CN BM mà AB AC (VABC cân tại A ) nên AN AM .
Xét VMAK và VNAK , cĩ
 ▪ A· NK K· MA 90
 ▪ AK là cạnh chung
 ▪ AN AM (chứng minh trên)
Do đĩ VMAK VNAK (ch-cgv).
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh BC lấy hai điểm D,E sao cho 
 BC
 BD CE . Đường thẳng kẻ từ D , vuơng gĩc với BC cắt AB tại M , đường thẳng kẻ từ 
 2
 E , vuơng gĩc với BC cắt AC tại N . Chứng minh:
a) VDBM VECN ; b) VDME VEND ; c) Tam giác ADE cân.
Lời giải
a) Xét VBDM và VCEN , cĩ
 ▪ M· DB C· EN 90
 ▪ BD CE (giả thiết)
 ▪ D· BM N· CE (VABC cân tại A )
Do đĩ VDBM VECN (cgv-gn)
b) Xét VDME và VEND , cĩ
 ▪ E· DM N· ED 90
 ▪ MD NE (do VDBM VECN )
 ▪ DE là cạnh chung Toán 7 Tài liệu dạy học
Do đĩ VDME VEND (2 cgv).
Xét VABD và VACE , cĩ 
 ▪ AB AC (VACB cân tại A )
 ▪ D· BA A· CE (VABC cân tại A )
 ▪ BD CE (giả thiết)
Do đĩ VABD VACE (c-g-c) nên ta cĩ AD AE . Từ đĩ suy ra VADE cân tại A .
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuơng cân tại đỉnh A . Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC . Vẽ BM , 
CN vuơng gĩc với d . Chứng minh VBAM VACN .
Lời giải
Ta cĩ M· AB C· AN 90 và N· CA C· AN 90 nên M· AB N· CA (cùng phụ với C· AN ).
Xét VBAM và VACN , cĩ
 ▪ B· MA A· NC 90
 ▪ AB AC (VABC vuơng cân tại A )
 ▪ M· AB N· CA (chứng minh trên)
Do đĩ VBAM VACN (ch-gn).
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, hai gĩc bằng nhau
 ▪
Ví dụ 5. Cho gĩc nhọn xOy , lấy điểm A thuộc Ox , điểm B thuộc Oy sao cho OA OB . Vẽ 
 AC vuơng gĩc với Oy(C Oy) , BD vuơng gĩc với Ox(D Ox) .
a) Chứng minh AC BD .
b) Gọi I là giao điểm của AC và BD . Chứng minh OI là phân giác x·Oy .
Lời giải
Xét VAOC và VBOD cĩ:
 ▪ OA OB (giả thiết)
 ▪ O· CA O· DB 90 
 ▪ Oˆ là gĩc chung
 VAOC VBOD (ch-gn).
 AC BD (hai cạnh tương ứng).
b) Xét VODI và VOCI , ta cĩ Toán 7 Tài liệu dạy học
 ▪ O· DI O· CI 90
 ▪ OI là cạnh chung
 ▪ OC OD (VAOC VBOD )
Do đĩ VODI VOCI (ch-cgv). Suy ra D· OI C· OI (cặp gĩc tương ứng).
Vậy OI là tia phân giác của x·Oy .
Câu 6. Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC . Vẽ BI , CK vuơng gĩc với AM . 
Chứng minh BI CK .
Lời giải
Xét VBIM và VCKM , cĩ
 ▪ MB MC (M là trung điểm của BC )
 ▪ B· IM C·KM 90
 ▪ I·MB K· MC (đối đỉnh)
Do đĩ VBIM VCKM (ch-gn). Từ đĩ suy ra BI CK (cặp cạnh 
tương ứng).
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC . Vẽ AH  BC (H BC) . Trên nửa mặt phẳng bờ AH chứa điểm B 
dựng AD  AB sao cho AD AB . Trên nửa mặt phẳng cịn lại dựng AE  AC sao cho 
 AE AC . Nối D và E , AH cắt DE tại M . DK ,EL lần lượt vuơng gĩc với HM tại K và L
. Chứng minh:
a) HA DK ; HA EL ; b) M là trung điểm đoạn thẳng DE .
Lời giải
a) Ta cĩ A· DK K· AD 90 và B· AH K· AD 90 .
Do đĩ A· DK B· AH .
Xét VDAK và VABH , cĩ 
 ▪ AD AB (giả thiết)
 ▪ A· DK B· AH (chứng minh trên)
 ▪ D· KA A· HB 90
Do đĩ VDAK VABH (ch-gn). Suy ra AH DK (cặp cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự VAEL VCAH (ch-gn). Suy ra AH EL (cặp cạnh tương ứng). Toán 7 Tài liệu dạy học
b) Từ câu a) suy ra DK EL . Do DK P EL (cùng vuơng gĩc với MH ) nên M· DK L· EM (so 
le trong).
Xét VDKM và VELM , cĩ
 ▪ M· KD M· LE 90
 ▪ DK EL (chứng minh trên)
 ▪ M· DK L· EM (chứng minh trên)
Do đĩ VDKM VELM (cgv-gn). Từ đĩ suy ra MD ME (cặp cạnh tương ứng). Vậy M là trung 
điểm của DE .
Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A(AB AC) . Vẽ AH vuơng gĩc BC (H BC) , D là 
điểm trên cạnh AC sao cho AD AB . Vẽ DE  BC (E BC) . DK  AH tại K . Chứng 
minh:
a) AH DK ; b) Tam giác AHE vuơng cân.
Lời giải
a) Ta cĩ B· AH D· AK 90 và A· DK D· AK 90 nên 
 B· AH A· DK . 
Xét VABH và VDAK , cĩ
 ▪ A· HB A· KD 90
 ▪ AB AD (giả thiết)
 ▪ B· AH A· DK (chứng minh trên)
Do đĩ VABH VDAK (cgv-gn). Suy ra AH DK (cặp cạnh tương ứng).
b) Xét VKDE và VEHK , cĩ
 ▪ D· KE H· EK (DK P EH )
 ▪ D· EK H· KE (DE P AH )
 ▪ EK là cạnh chung
Do đĩ VKDE VEHK (c-g-c). Suy ra HE DK (cặp cạnh tương ứng). Kết hợp câu a) ta được 
 VAHE vuơng cân tại H .
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A(Aˆ 90 ) , vẽ BD  AC tại D , CE  AB tại E . Gọi M là 
giao điểm của BD và CE . Chứng minh:
a) VDBA VECA ; b) VEBC VDCB ; c) VEAM VDAM .
Lời giải Toán 7 Tài liệu dạy học
a) Xét VDBA và VECA , cĩ
 ▪ AB AC (VABC cân tại A )
 ▪ A· DB C· EA 90
 ▪ B· AC là gĩc chung
Do đĩ VDBA VECA (ch-gn).
b) Xét VEBC và VDCB , cĩ
 ▪ B· EC B· DC 90
 ▪ BC là cạnh chung
 ▪ C· BE D· CB (VABC cân tại A )
Do đĩ VEBC VDCB (ch-gn).
c) Do VDBA VECA (cmt) nên AE AD (cặp cạnh tương ứng). Lại cĩ AM là cạnh chung nên 
hai tam giác vuơng EAM và DAM bằng nhau (ch-cgv). 
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB 
lấy điểm E sao cho BD CE . Kẻ BH  AD tại H , CK  AE tại K . Chứng minh:
a) VBHD VCKE ; b) VAHB VAKC ; c) BC P HK .
Lời giải
a) Cĩ A· BC A· CB (VABC cân tại A ) nên A· BD A· CE .
Xét VABD và VACE , cĩ
 ▪ AB AC (VABC cân tại A )
 ▪ BD CE (giả thiết)
 ▪ A· BD A· CE (chứng minh trên)
Nên VABD VACE (c-g-c), suy ra Dˆ Eˆ (cặp gĩc tương ứng).
b) Xét VNHD và VCKE , cĩ
 ▪ BD CE (giả thiết)
 ▪ Dˆ Eˆ (chứng minh trên)
 ▪ B· HD C· KE 90
Do đĩ VBHD VCKE (ch-cgv).
Từ VBHD VCKE (câu a)) suy ra BH CK (cặp cạnh tương ứng).
Xét VAHB và VAKC , cĩ
 B· HA A· KC 90 Toán 7 Tài liệu dạy học
 AB AC (VABC cân tại A )
 BH CK (chứng minh trên)
Do đĩ VAHB VAKC (ch-cgv).
c) Từ VABD VACE (chứng minh trên) suy ra AD AE hay VADE cân tại A . Do đĩ, 
 180 D· AE
 A· DE . (1)
 2
Từ VAHB VAKC (chứng minh trên) suy ra AH AK hay VAHK cân tại A . Do đĩ, 
 180 H· AK
 A· HK . (2)
 2
Từ (1) và (2) suy ra A· DE A· HK mà hai gĩc này ở vị trí đồng vị nên BC P HK .
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A . Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại B cắt đường thẳng 
vuơng gĩc với AC tại C ở D . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh:
a) VDAB VDAC ; b) Tam giác DBC cân; c) A,M ,D thẳng hàng.
Lời giải
a) Xét VDAB và VDAC , cĩ
 ▪ D· BA A· CD 90
 ▪ AB AC (VABC cân tại A )
 ▪ AD là cạnh chung 
Do đĩ VDAB VDAC (ch-cgv).
b) Từ VDAB VDAC (chứng minh trên), suy ra DB DC hay VDBC cân tại D . 
c) Dễ thấy VABM VACM (c-c-c) nên A· MB A· MC mà hai gĩc này ở vị trí kề bù nên 
 180
 A· MB A· MC .
 2
Chứng minh tương tự B· MD C· MD 90 . Hay ta cĩ AM và DM cùng vuơng gĩc với BC nên 
 A,M ,D thẳng hàng.
Bài 6. Cho tam giác BAC vuơng cân tại A , M là trung điểm cạnh BC , E là điểm nằm giữa M 
và C . Vẽ BH  AE tại H , CK  AE tại K . Chứng minh:
a) BH AK ; b) VMBH VMAK ;
c) Tam giác MHK là tam giác vuơng cân.
Lời giải Toán 7 Tài liệu dạy học
a) Ta cĩ B· AH K· AC 90 và A· CK K· AC 90 nên 
 B· AH A· CK .
Xét VABH và VCKA , cĩ
 A· HB C· KA 90
 AB AC (VABC vuơng cân tại A )
 B· AH A· CK (chứng minh trên)
Do đĩ VABH VCKA (ch-gn). Từ đĩ suy ra BH AK (cặp cạnh tương ứng).
b) Dễ thấy VAMB VAMC (c-c-c) A· MB A· MC mà hai gĩc này ở vị trí kề bù nên 
 180
 A· MB A· MC .
 2
Vì VABC vuơng cân tại A nên A· BC A· CB 45 . Do đĩ VABM vuơng cân tại 
 M MA MB .
Ta cĩ M· BH B· EA 90 và M· AK B· EA 90 nên M· BH M· AK . 
Xét VMBH và VMAK , cĩ
 ▪ MA MB (chứng minh trên)
 ▪ M· BH M· AK (chứng minh trên)
 ▪ BH AK (do câu a))
Do đĩ VMBH VMAK (c-g-c).
c) Do câu b) nên MH MK (1) (cặp cạnh tương ứng) và B· HM M· KH (2) (cặp gĩc tương 
ứng).
Ta cĩ B· HM M· HK 90 . Kết hợp với (2) suy ra M· HK M· KH 90 .
Do đĩ H· MK 90 , kết hợp (1) ta được VMHK vuơng cân tại M .