Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

 Chương 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
 Bài 1. QUAN HỆ GIỮA GĨC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN
 TRONG MỘT TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định lí 1:
 ▪ Trong một tam giác, gĩc đối diện với cạnh lớn hơn là gĩc lớn hơn.
 ▪ Trong DABC , nếu AC AB thì Bµ Cµ .
2. Định lí 2:
 ▪ Trong một tam giác, cạnh đối diện với gĩc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
 ▪ Trong DABC , nếu Bµ Cµ thì AC AB .
3. Nhận xét.
 ▪ Trong DABC , Bµ > Cµ Û AC > AB .
 ▪ Trong tam giác tù (hoặc tam giác vuơng), gĩc tù (hoặc gĩc vuơng) là gĩc lớn nhất nên cạnh 
 đối diện với gĩc tù (hoặc gĩc vuơng) là cạnh lớn nhất.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh các gĩc trong một tam giác
 ▪ Bước 1. Xác định tam giác cĩ các gĩc theo yêu cầu của đề bài.
 ▪ Bước 2. Xác định các cạnh đối diện với các gĩc đĩ.
 ▪ Bước 3. So sánh các cạnh đối diện đĩ.
 ▪ Bước 4. Kết luận.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cĩ AB 10 cm, BC 5 cm, AC 7 cm. Hãy so sánh các 
gĩc của tam giác ABC .
Lời giải
Từ đề bài, xét VABC cĩ BC AC AB . Do đĩ, 
 Aˆ Bˆ Cˆ .
Ví dụ 2. Cho tam giác DEF cĩ DE 3 cm, EF 6 cm, 
 DF 8 cm. Hãy so sánh 
các gĩc của tam giác ABC .
Lời giải Từ đề bài, xét VDEF cĩ DE EF DF . Do đĩ, Fˆ Dˆ Eˆ .
Ví dụ 3. Cho tam giác MNP vuơng tại M cĩ MN 3 cm, NP 5 cm. Hãy so sánh gĩc MNP 
với gĩc MPN .
Lời giải
Vì VMNP vuơng tại M nên theo định lí Pytago, ta tính được MP 4 cm.
Suy ra MP MN , do đĩ M· NP M· PN .
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A cĩ AB 5 cm, BC 8 cm. Hãy so sánh gĩc A· BC với 
gĩc B· AC .
Lời giải
Cách 1. Vì VABC cân tại A nên AC AB 5 cm.
Do đĩ, AC BC nên A· BC B· AC .
Cách 2. Từ đề bài, ta dễ dàng suy ra được AB BC nên B· CA B· AC .
Mà VABC cân tại A nên B· CA A· BC . Do 
đĩ A· BC B· AC . 
Dạng 2: so sánh các cạnh trong một tam giác
Để so sánh các cạnh trong một tam giác, ta thường làm như sau:
 ▪ Bước 1. Xác định tam giác cĩ các cạnh theo yêu cầu của đề bài.
 ▪ Bước 2. Xác định các gĩc đối diện với các cạnh đĩ.
 ▪ Bước 3. So sánh các gĩc đối diện đĩ.
 ▪ Bước 4. Kết luận.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cĩ Aˆ 40, Bˆ 60 .
a) Tính số đo gĩc Cˆ . b) So sánh các cạnh của tam giác ABC .
Lời giải
a) Vì tổng ba gĩc trong một tam giác bằng 180 nên ta tính được Cˆ 80 .
b) Xét VABC cĩ Aˆ Bˆ Cˆ . Vậy BC AC AB .
Ví dụ 6. Cho tam giác MNE cĩ Mˆ 50, Nˆ 70 .
a) Tính số đo gĩc E . b) So sánh các cạnh của tam giác MNE .
Lời giải a) Vì tổng ba gĩc trong một tam giác bằng 180 nên ta tính được Eˆ 60 .
b) Xét VMNE cĩ Mˆ Eˆ Nˆ vì (50 60 70 ). Vậy NE MN ME .
Ví dụ 7. Cho tam giác DEF cân tại D cĩ gĩc ngồi tại đỉnh E bằng 140 . Hãy so sánh các cạnh 
của tam giác DEF .
Lời giải
Từ giả thiết, tính được D· EF D· FE 40 . Do 
đĩ, E· DF 100 .
Xét VDEF cĩ D· EF D· FE E· DF . 
Do đĩ, DF DE FE .
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC cân tại A cĩ Bˆ 50 . Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC .
Lời giải
Vì VABC cân tại A nên suy ra AB AC và Bˆ Cˆ 50 .
Xét VABC cĩ Aˆ Bˆ Cˆ 180 mà Bˆ Cˆ 50 nên suy ra 
 Aˆ 80 .
Xét VABC cĩ Bˆ Cˆ Aˆ . 
Do đĩ, AB AC BC .
Dạng 3: so sánh hai gĩc khơng cùng nằm trong một tam giác
Để so sánh hai gĩc khơng cùng trong một tam giác, ta thường cĩ các cách sau:
 ▪ Cách 1. Sử dụng cặp gĩc trung gian (cĩ thể là cặp gĩc bù hoặc phụ với cặp gĩc cần so 
 sánh tương ứng).
 ▪ Cách 2. Sử dụng gĩc thứ ba sao cho gĩc này bằng một trong hai gĩc cần so sánh và cùng 
 nằm trong một tam giác với gĩc cịn lại.
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC cĩ AB 3 cm, AC 4 cm.
a) So sánh gĩc B với gĩc C .
b) Hạ AH vuơng gĩc với BC tại H . So sánh gĩc BAH và gĩc CAH .
Lời giải
a) Xét VABC cĩ AB AC vì (3 cm < 4 cm) nên Cˆ Bˆ . b) Ta cĩ B· AH Bˆ C· AH Cˆ 90 . 
Mà Bˆ Cˆ nên B· AH C· AH .
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC cĩ AB 5 cm, AC 3 cm.
a) So sánh gĩc B với gĩc C .
b) So sánh hai gĩc ngồi tại các đỉnh B và C của tam giác ABC . 
Lời giải
a) Xét VABC cĩ AB AC nên Cˆ Bˆ . Gọi A· Bx là 
gĩc ngồi đỉnh B và A· Cy là gĩc ngồi đỉnh C .
Ta cĩ A· Bx A· BC A· Cy A· CB 180 (hai gĩc kề 
bù), mặt khác A· BC A· CB nên A· Bx A· Cy .
Dạng 4: so sánh hai cạnh khơng cùng nằm trong một tam giác
Để so sánh hai cạnh khơng cùng trong một tam giác, ta thường sử dụng một cạnh thứ ba sao cho 
cạnh này bằng một trong hai cạnh cần so sánh và cùng nằm trong một tam giác với cạnh cịn lại.
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC cĩ AB AC . Tia phân giác của gĩc A cắt BC ở D . Trên cạnh 
 AC lấy điểm E sao cho AB AE .
a) Chứng minh BD DE . b) So sánh BD và DC .
Lời giải
a) Ta chứng minh được VABD VAED (c.g.c).
Do đĩ, BD DE . 
Từ câu a , ta cĩ D· EA Bˆ mà 
 D· EC D· EA Cˆ Bˆ B· AC ( 180 ) nên D· EC Cˆ B· AC .
Từ đĩ D· EC Cˆ .
Xét VDEC , suy ra DE DC . 
Kết hợp với câu a , vậy BD DC .
Ví dụ 12. Cho tam giác ABC vuơng tại A . Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở M . Kẻ MH 
vuơng gĩc với BC tại H .
a) Chứng minh AM MH . b) So sánh AM và MC . Lời giải
a) Xét VABM và VHBM cĩ 
 B· AM B· HM 90
 C?nhBM chung
 A· BM H· BM
 VABM VHBM (cạnh huyền - gĩc nhọn).
Suy ra AM HM .
b) Trong VMHC vuơng tại H nên cạnh MC là cạnh lớn nhất suy ra MC MH , mà MH MA 
do đĩ MA MC .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC cĩ Aˆ 90 , lấy điểm M thuộc cạnh AB .
a) So sánh AC và MC .
b) Chứng minh tam giác BMC là tam giác tù.
c) Chứng minh AC MC BC .
Lời giải
a) Xét VMAC tù tại A nên MC là cạnh lớn nhất.
Do đĩ, AC MC .
b) Xét VMAC cĩ B· MC là gĩc ngồi tại đỉnh M nên B· MC Aˆ 90 . Do đĩ, gĩc BMC là gĩc 
tù.
Vậy VBMC là tam giác tù tại M .
c) Từ câu b , ta suy ra BC là cạnh lớn nhất của VBMC nên MC BC . Kết hợp với câu a , ta cĩ 
 AC MC BC .
Bài 2. Cho tam giác MNP cĩ Nˆ 90 . Trên tia đối của tia PN lấy điểm Q .
a) So sánh MN và MP .
b) Chứng minh tam giác MPQ là tam giác tù.
c) Chứng minh MN MP MQ .
Lời giải
a) Xét VMNP tù tại N nên MP là cạnh lớn nhất. Do đĩ MN MP .
b) Xét VMNP cĩ M· PQ là gĩc ngồi tại đỉnh P nên M· PQ Nˆ 90 . Do đĩ, gĩc MPQ
là gĩc tù.
Vậy VMPQ là tam giác tù tại P .
c) Từ câu b , ta suy ra MQ là cạnh lớn nhất của VMPQ nên MP MQ . Kết hợp với câu a , ta cĩ 
 MN MP MQ .
Bài 3. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AC 2AB . Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho 
 AB AE . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho EB ED .
a) Chứng minh VABE VCDE . b) So sánh A· BE và C· BE .
Lời giải
a) Dễ dàng chứng minh được VABE VCDE (c.g.c).
b) Từ câu a , ta suy ra A· BE Dˆ và AB CD .
Vì VABC vuơng tại A nên AB BC (cạnh huyền là cạnh lớn 
nhất). Do đĩ
CD BC . Suy ra Dˆ C· BE . Vậy A· BE C· BE .
Bài 4. Cho tam giác ABC cĩ AB AC . Gọi M là trung điểm của BC . Trên tia 
đối của tia MA lấy điểm N sao cho MA MN .
a) Chứng minh VBAM VNCM . b) So sánh B· AM và M· AC .
Lời giải
a) Xét VAMB và VNMC cĩ
 MA MN (gt)
 · ·
 AMB NMC (đối đỉnh) 
 MB MC (gt)
 VBAM VCMN (c.g.c).
Vì VBAM VCMN AB NC (hai cạnh tương ứng).
Xét VACN cĩ AC CN AB nên A· NC C· AN suy ra 
 B· AM M· AC . Bài 5. Cho tam giác ABC cĩ AB 2 cm, BC 5 cm, AC 6 cm. Hãy so sánh các gĩc của 
tam giác ABC .
Lời giải
Xét VABC cĩ AB BC AC (gt) suy ra Cˆ Aˆ Bˆ .
Bài 6. Cho tam giác PQR vuơng tại P cĩ PQ 8 cm, QR 10 cm. Hãy so sánh gĩc PQR với 
gĩc PRQ .
Lời giải
Xét VPQR vuơng tại P , áp dụng định lí Py-ta-go ta cĩ
QR2 PQ 2 PR2 PR2 102 82 62 PQ 6 (cm).
Xét VPQR cĩ PR PQ vì 6 cm < 8 cm, suy ra P· QR P· RQ. 
Bài 7. Cho tam giác DEF cĩ Dˆ 100 , Eˆ 30 .
a) Tính số đo gĩc F . b) So sánh các cạnh của tam giácDEF .
Lời giải
a) Xét tam giác DEF cĩ Dˆ Eˆ Fˆ 180 Fˆ 180 (100 30 ) 50 .
b) Xét VABC ta cĩ Eˆ Fˆ Dˆ nên suy ra DF DE EF .
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A cĩ Aˆ 50 . Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC .
Lời giải
Vì VABC cân tại A (giả thiết) nên suy ra AB AC và 
 180 Aˆ 180 50
 Bˆ Cˆ 65 .
 2 2
Xét VABC cĩ Bˆ Cˆ Aˆ . Do đĩ, AB AC BC .
Bài 9. Cho tam giác ABC vuơng tại A , lấy đểm D nằm giữa A và C .
a) So sánh BA và BD .
b) Chứng minh tam giác BDC là tam giác tù.
c) Chứng minh BA BD BC .
Lời giải
a) Xét tam giác ABD vuơng tại A , cĩ cạnh BC là cạnh lớn nhất, suy ra BA BD . Xét tam giác BDC cĩ B· DC Aˆ 90 nên gĩc B· DC là gĩc tù. Do 
đĩ tam giác BDC là tam giác tù.
Xét tam giác BCD cĩ B· DC 90 nên cạnh BC là cạnh lớn nhất, 
suy ra BC BD . (1)
Mặt khác BA BD (chứng minh trên) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BA BD BC .
Bài 10. Cho tam giác MNP nhọn cĩ MN MP , đường cao MH . So sánh gĩc NMH và gĩc 
 PMH .
Lời giải
Xét VMNP cĩ MN MP (giả thiết) nên M· PN M· NP .
Ta cĩ N· MH M· NH P· MH M· PH 90 . 
Mà M· NH M· PH nên N· MH P· MH .
Bài 11. Tam giác ABC cĩ AB 5 cm, BC 6 cm và AC 7 cm. Hãy so sánh các gĩc ngồi 
của tam giác đĩ.
Lời giải
Xét tam giác ABC cĩ AB BC AC suy ra Cˆ Aˆ Bˆ (1)
 µ µ µ
Gọi A1 , B1 , C1 , lần lượt là các gĩc ngồi đỉnh A , đỉnh B 
và đỉnh C của VABC .
 ˆ µ ˆ µ ˆ µ 
Ta cĩ A A1 B B1 C C1 180 .
 µ µ µ
Kết hợp với (1) ta suy ra C1 A1 B1 .
Bài 12. Tam giác ABC cĩ AB AC . Qua B và C kẻ các đường thẳng song song với 
cạnh đối diện và chúng cắt nhau tại D .
a) Chứng minh VABC VDCB . b) So sánh A· BC và D· BC .
Lời giải
a) Vì AB PCD A· BC D· CB ( 2 gĩc so le trong).
Vì BD P AC A· CB D· BC ( 2 gĩc so le trong).
Xét VABC và VDCB cĩ A· BC D· CB
 BC là cạnh chung
 A· CB D· BC
 VABC VDCB (g.c.g).
b) Xét VABC cĩ AB AC suy ra A· CB A· BC , mà A· CB D· BC 
nên suy ra A· BC D· BC .
Bài 13. Cho tam giác ABC vuơng tại A . Tia phân giác của gĩc C cắt AB ở E . 
a) Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho CA CI .
b) Chứng minh EA EI . c) So sánh EA và EB .
Lời giải
a) Xét VCAE và VCIE cĩ
 CE là cạnh chung
 · ·
 ACE ICE (gt) VCAE VCIE (c.g.c), suy ra EA EI .
 CA CI (gt)
b) Vì VCAE VCIE (c.g.c) suy ra C· AE C· IE mà C· AE 90 suy ra 
 A· IE 90 nên tam giác BEI vuơng tại I . 
Xét VBEI vuơng tại I nên cạnh BE là cạnh lớn nhất 
suy ra EI BE , mà EI EA nên suy ra EA EB .