Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

 Bài 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.
 BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 ▪ Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ 
 dài của hai cạnh còn lại.
 ▪ Trong tam giác ABC, ta có AB - AC < BC < AB + AC .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Nhận biết ba độ dài có tạo thành một tam giác hay không?
Sử dụng bất đẳng thức tam giác:
 ▪ Hiệu của hai cạnh bất kì (cạnh có độ dài lớn trừ cạnh có độ dài nhỏ) bao giờ cũng nhỏ 
 hơn cạnh thứ ba.
 ▪ Độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
 Lưu ý: ta chỉ cần kiểm tra một trường hợp bằng cách so sánh độ dài cạnh lớn nhất với tổng 
 độ dài hai cạnh còn lại.
Ví dụ 1. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây có 
thể tạo thành một tam giác hay không?
a) 3 cm, 4 cm, 6 cm. b) 2 m, 4 m, 8 m. c) 1cm, 3 cm, 4 cm.
Lời giải
a) Ta có 6 3 4 nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác.
b) Không vì 8 2 4 .
c) Không vì 4 1 3 .
Ví dụ 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ 
dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác.
a) 3 cm, 3 cm, 7 cm. b) 6 m, 10m, 8 m. c) 2 m, 6 m, 8 m.
Lời giải
a) Không vì 7 3 3.
b) Ta có 10 6 8 nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác.
c) Không vì 8 6 2 .
Dạng 2: Tìm độ dài cạnh của một tam giác khi biết độ dài hai cạnh còn lại ▪ Dựa vào bất đẳng thức tam giác và điều kiện của đề bài để xác định độ dài cạnh cần tính 
 thỏa mãn những giá trị nào.
Ví dụ 3. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng 
số đo của cạnh đó theo cm là một số tự nhiên lẻ.
Lời giải
Giả sử VABC có AB 7 cm, AC 2 cm. 
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB AC BC AB AC . 
Suy ra 5 BC 9 . Mà BC có độ dài theo cm là một số tự nhiên lẻ. 
Do đó, BC 7 cm.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có AB 4 cm, AC 1 cm. Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ 
dài này là một số nguyên (cm).
Lời giải
Ta có AB 4 cm, AC 1 cm. 
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB AC BC AB AC . 
Suy ra 3 BC 5 . Mà BC có độ dài theo cm là một số nguyên. 
Do đó, BC 4 cm.
Dạng 3: Tính chu vi tam giác cân
 ▪ Vận dụng bất đẳng thức tam giác và tính chất của tam giác cân để xác định độ dài của 
 cạnh bên hoặc cạnh đáy.
 Trong tam giác cân:
 ▪ Hai cạnh bên bằng nhau;
 ▪ Hai góc ở đáy bằng nhau.
Ví dụ 5. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 4 m và 8 m.
Lời giải
Giả sử VABC có AB 4 m, AC 8 m. 
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có | AB AC | BC AB AC . 
Do đó, 4 BC 12 . 
Mà VABC cân nên suy ra BC 8 m. 
Vậy chu vi tam giác ABC là 20 m.
Ví dụ 6. Tính chu vi của một tam giác cân có hai cạnh bằng 3 cm và 7 cm. Lời giải
Giả sử VABC có AB 3 cm, AC 7 cm. 
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có | AB AC | BC AB AC . 
Do đó, 4 BC 10 . 
Mà VABC cân nên suy ra BC 7 cm. 
Vậy chu vi tam giác ABC là 17 cm.
Dạng 4: Chứng minh các bất đẳng thức tam giác về độ dài
 ▪ Sử dụng bất đẳng thức tam giác và biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh.
a) Cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
 a < b Û a + c < b + c .
b) Cộng cùng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
 ì
 ï a < b
 í Þ a + c < b + d
 ï c < d
 îï
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy điểm M .
a) So sánh MA với AB BM .
b) Chứng minh rằng MA MC BA BC .
c) Lấy điểm D thuộc cạnh AM . Chứng minh rằng DA DC MA MC , từ đó suy ra 
 DA DC BA BC .
Lời giải
a) Xét tam giác BAM , theo bất đẳng thức tam giác, ta có
 MA AB BM .
b) Từ câu a) ta suy ra MA MC AB BM MC. Do đó, 
 MA MC BA BC .
c) Tương tự câu a), ta có DC MD MC. Từ đó, suy ra 
 DA DC MA MC . 
Kết hợp với câu b), ta có DA DC BA BC .
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm N .
a) So sánh NB với NC CB .
b) Chứng minh rằng NA NB CA CB . c) Trên tia đối của tia CB lấy một điểm E bất kì. Chứng minh rằng CA CB EA EB , từ đó 
suy ra NA NB EA EB .
Lời giải
a) Xét tam giác BNC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có 
 NB BC CN.
b) Từ câu a) ta suy ra NB NA BC CN NA. Do đó, 
 NB NA CA CB .
c) Tương tự câu a), ta có CA CE EA.Từ đó, suy ra 
CA CB EA EB .
Kết hợp với câu b), ta có NA NB EA EB .
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC , điểm D nằm giữa B và C .
a) So sánh AD với AB BD .
b) Chứng minh rằng 2AD AB AC BC .
c) Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC .
Lời giải
a) Xét VABD , theo bất đẳng thức tam giác có AD AB BD (1)
Tương tự câu a), ta có AD AC CD (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra 2AD AB AC BC.Từ câu b) suy ra 
 AB AC BC
 AD . 
 2
Vậy AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho điểm M nằm trong tam giác ABC .
a) So sánh AB với MA MB .
b) Chứng minh rằng AB AC BC 2(MA MB MC) .
c) Chứng minh rằng MA MB MC lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC .
Lời giải
a) Xét VABM , theo bất đẳng thức tam giác ta có 
 AB MA MB. (1)
b) Tương tự câu a), ta có AC MA MC. (2)
 BC MB MC. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
 AB AC BC 2(MA MB MC).
 AB AC BC
c) Từ câu b), suy ra MA MB MC .
 2
Vậy MA MB MC lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC .
Bài 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây có thể 
tạo thành một tam giác hay không?
a) 5 dm, 7 dm, 8 dm. b) 4 m, 10m, 4 m. c) 3 cm, 4 cm, 7 cm.
Lời giải
a) Ta có 8 5 7 nên bộ ba này có thể là ba cạnh của một tam giác.
b) Không vì 10 4 4 .
c) Không vì 7 3 4 .
Bài 3. Cho tam giác MNP có MN 2 cm, MP 5 cm. Hãy tìm độ dài cạnh NP biết rằng độ 
dài này là một số nguyên tố (theo cm).
Lời giải
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có MP MN NP MP MN . Suy ra 3 NP 7 . 
Mà NP có độ dài là một số nguyên tố. Do đó, NP 5 cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân có AB 5 cm, AC 11 cm. Hãy tính chu vi tam giác ABC .
Lời giải
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có | AC AB | BC AC AB . 
Do đó, 6 BC 16 . 
Mà VABC cân nên suy ra BC 11 cm. 
Vậy chu vi tam giác ABC là 27 cm.
Bài 5. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường 
thẳng BM và cạnh AC .
a) So sánh MA với MI IA .
b) Chứng minh rằng MA MB IB IA . c) Chứng minh rằng IB IA CA CB .
d) Chứng minh rằng MA MB CA CB .
Lời giải
a) Xét VAMI , theo bất đẳng thức tam giác, ta có MA MI IA.
b) Từ câu a), suy raMA MB MI IA MB.
Do đó, MA MB IA IB .
c) Xét VIBC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có IB BC CI .
Do đó, IA IB CA CB .
d) Từ câu a) kết hợp câu b) ta được MA MB CA CB
Bài 6. Cho điểm K nằm trong tam giác ABC . Gọi M là giao điểm của tia AK với cạnh BC .
a) Chứng minh rằng KA KB MA MB CA CB .
b) So sánh KB KC với AB AC .
c) Chứng minh rằng KA KB KC nhỏ hơn chu vi tam giác ABC .
Lời giải
a) Chứng minh tương tự bài tập 5 ta được
 KA KB MA MB CA CB.
b) Gọi N là giao điểm của tia BK với AC . 
Tương tự câu a), ta có
 KB KC NB NC AB AC.
Do đó, KB KC AB AC . (1)
c) Gọi P là giao điểm của tia CK với AB . 
Ta có, KA KC PA PC BA BC . 
Do đó, KA KC BA BC . (2) 
Từ câu a), suy ra KA KB CA CB . (3) 
Từ (1), (2) và (3), ta thấy
 2(KA KB KC) 2(AB AC BC).
Vậy tổng KA KB KC nhỏ hơn chu vi tam giác ABC .