Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

 Bài 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Đường trung tuyến của tam giác
 ▪ Đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện được 
 gọi là đường trung tuyến của tam giác.
 ▪ Trong tam giác ABC. Đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung 
 điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến của tam 
 giác ABC.
 ▪ Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
 ▪ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. 
 2
 Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung 
 3
 tuyến đi qua đỉnh ấy.
 ▪ Trong hình vẽ bên: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
 GA GB GC 2
 = = = 
 AD BE CF 3
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính tỉ số độ dài của các đoạn thẳng
Ví dụ 1. Cho hình vẽ bên, hãy điền số thích hợp vào chổ trống 
trong các đẳng thức sau:
a) MG = MR ; b) GR = MR ;
c) GR = MG ; d) NS = NG ;
e) NS = GS ; f) NG = GS .
Lời giải
a) MG = MR ; b) GR = MR ; c) GR = MG ;
d) NS = NG ; e) NS = GS ; f) NG = GS .
Ví dụ 2. Cho hình vẽ bên, hãy điền số thích hợp vào chổ trống 
trong các đẳng thức sau:
a) GK CK ; b) AG GM ;
c) GK CG ; d) AM AG ;
e) AM GM . Lời giải
 1 1
a) GK CK ; b) AG 2GM ; c) GK CG ;
 3 2
 3
d) AM AG ; e) AM 3GM .
 2
Dạng 2: Chứng minh mối liên hệ giữa các đoạn thẳng theo yêu cầu bài toán
Ta thường dùng các kiến thức sau:
 ▪ Xét các tỉ số liên quan đến trọng tâm của tam giác.
 ▪ Tam giác bằng nhau.
 ▪ Bất đẳng thức tam giác.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AD , BE , CF cắt nhau tại G . Trên tia đối 
của tia EB lấy điểm H sao cho EG EH . Gọi I là trung điểm của AH . Chứng minh rằng:
 3
a) Các đường trung tuyến của tam giác ABC bằng các cạnh của tam giác AGH .
 2
b) IG AF .
c) Các cạnh của tam giác ABC gấp đôi các đường trung tuyến của tam giác AGH .
Lời giải
a) Từ đề bài, ta thấy G là trọng tâm của VABC nên 
 BE 3GE 
 3
Suy ra BE GH . (1) 
 2
 3
Mặt khác, AD AG . (2) 
 2
Lại có, VAEH VCEG (c.g.c) 
 3
Suy ra AH CG CF . (3) 
 2
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
 1 1
b) A· HE E· GC F· GB và IH AH GC GF . 
 2 2
 Chứng minh VIHG VFGB (c.g.c) 
Từ đó suy ra IG FB AF .
c) Từ câu b), ta có AB 2IG . (4) Mặt khác, CA 2EA . (5) 
Gọi K là trung điểm của AG , chứng minh VHKG VBDG (c.g.c) 
Từ đó suy ra BD HK hay BC 2HK . (6) 
Từ (4), (5) và (6) suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G .
 BD CE
a) Tính tỉ số và .
 BG CG
 3
b) Chứng minh rằng BD CE BC .
 2
Lời giải
a) Từ giả thiết, dễ thấy G là trọng tâm của tam giác ABC 
 BD CE 2
nên .
 BG CG 3
b) Xét tam giác ABC , theo bất đẳng thức tam giác ta có 
 BG GC BC . 
 2 2
Từ câu a), suy ra BG BD , CG CE nên có được
 3 3
 2
 (BD CE) BC.
 3
 3
Vậy BD CE BC .
 2
Dạng 3: Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
 ▪ Cách 1: Chứng minh điểm cần chứng minh là giao điểm của ít nhất hai đường trung 
 tuyến trong một tam giác.
 ▪ Cách 2: Chứng minh điểm cần chứng minh thuộc một đường trung tuyến của tam giác và 
 thỏa mãn các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân tại A , kẻ đường trung tuyến AH . Trên tia đối của tia HA lấy 
điểm D sao cho HD HA . Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE BC .
a) Chứng minh B là trọng tâm của VAED .
b) Đường thẳng AB cắt DE tại M . Chứng minh M là trung điểm của DE .
c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AE . Chứng minh ba điểm N , B , D thẳng hàng. Lời giải
 EB 2
a) Ta có EB BC 2BH nên . 
 EH 3
 EB 2
Xét VAED có EH là trung tuyến và nên 
 EH 3
suy ra B là trọng tâm của VAED .
b) Vì B là trọng tâm của VAED nên AB là đường 
trung tuyến của VAED . 
Do đó, AB đi qua trung điểm của DE hay M là 
trung điểm của DE .
c) Ta có DN là đường trung tuyến của VAED , 
Mà B là trọng tâm của VAED . 
Do đó, B DN hay ba điểm N , B , D thẳng hàng.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD BA . Trên cạnh 
 1
 BC lấy điểm E sao cho BE BC .
 3
a) Chứng minh E là trọng tâm của tam giác ADC .
b) Gọi K là giao điểm của AE và CD . Chứng minh DK KC .
c) Lấy I là trung điểm của AC . Chứng minh ba điểm D , E , I thẳng hàng.
Lời giải
a) Trong tam giác ADC có CB là đường trung tuyến và 
 2
CE CB nên E là trọng tâm của tam giác ADC .
 3
b) Vì E là trọng tâm của tam giác ADC nên AK (AE kéo 
dài) cũng là đường trung tuyến của tam giác ADC , suy ra 
 KD KC .
c) Tương tự câu b), ta cũng có DI là đường trung tuyến đi qua 
trọng tâm E của tam giác ADC . 
Do đó, ba điểm D , E , I thẳng hàng.
Dạng 4: Đường trung tuyến trong các tam giác đặc biệt
Chú ý tính chất của tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều. Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD , CE cắt nhau tại G . Biết rằng 
 BD CE .
a) Tam giác GBC là tam giác gì? Vì sao?
b) Chứng minh VDBC VECB .
c) Chứng minh tam giác ABC cân.
Lời giải
a) Trong VABC có BD và CE là hai đường trung tuyến, ta có
 2 2
 BG BD;CG CE.Lại có, BD CE suy ra BG CG . 
 3 3
Do đó, VGBC cân tại G .
b) Xét VDBC và VECB có 
 ▪ BD CE (giả thiết), 
 ▪ D· BC E· CB (suy ra từ a)), 
 ▪ BC là cạnh chung. 
Do đó, VDBC VECB (c.g.c). 
c) Từ câu b), suy ra A· BC A· CB 
Do đó, tam giác ABC cân tại A .
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy 
điểm D sao cho MD MA .
a) Tính số đo góc ABD .
b) Chứng minh VABC ∽ VBAD .
c) So sánh độ dài AM và BC , từ đó hãy phát biểu tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh 
huyền trong tam giác vuông.
Lời giải
a) Chứng minh VBMD VCMA (c.g.c). 
Suy ra AC BD và D· BC Cˆ nên AC P BD . 
Mà AC  AB nên BD  AB . 
Vậy A· BD 90 .
b) Dựa vào câu a), ta chứng minh được VABC VBAD (c.g.c). c) Từ câu b), suy ra BC AD . 
 AD BC
Mà AM nên AM .
 2 2
Chú ý: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AM , BN , CP đồng quy tại G . Vẽ điểm D 
sao cho G là trung điểm của AD . Chứng minh rằng:
 2
a) Các cạnh của tam giác BGD bằng các đường trung tuyến của tam giác ABC .
 3
b) Các đường trung tuyến BM , DF , GE của tam giác BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác 
 ABC .
Lời giải
a) Từ đề bài, ta thấy G là trọng tâm của VABC nên 
 2
 BG BN . (1) 
 3
 2
Mặt khác, GD AG AM . (2) 
 3
 AG GD
Vì GM nên GM MD . 
 2 2
Chứng minh rằng VBMD VCMG (c.g.c) 
 2
Suy ra BD CG CP . (3) 
 3
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
 BC
b) Ta có BM . (4) 
 2
Dễ thấy BF FG GN . 
Từ đó chứng minh được VFGD VNGA (c.g.c). 
 AC
Nên suy ra DF AN . (5) 
 2
Từ câu a), ta có BD GC và BD PGC , 
Suy ra P· GB E· BG và BE PG . Vậy VPGB VEBG (c.g.c). 
 AB
Do đó, GE PB . (6) 
 2
Từ (4), (5) và (6) suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2. Tam giác ABC có AC 6 cm, các đường trung tuyến AM và CE . Chứng minh rằng 
 AM CE 9 cm.
Lời giải
Gọi G là giao điểm của AM và CE . 
Từ giả thiết, dễ thấy G là trọng tâm của tam giác ABC 
 AM CE 2
nên . (*)
 AG CG 3
Xét VAGC , theo bất đẳng thức tam giác ta có 
 AG CG AC . 
 2 2
Từ (*) suy ra AG AM ; CG CE , nên có được 
 3 3
 2
 (AM CE) AC.
 3
 3
Vậy AM CE AC 9 điều phải chứng minh.
 2
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Các đường trung tuyến BD , CE cắt nhau tại G .
a) Chứng minh VABD ∽ VACE , từ đó suy ra BD CE .
b) Tam giác GBC là tam giác gì? Vì sao?
Lời giải
a) Chứng minh được VABD VACE (c.g.c). Suy ra BD CE .
Từ giả thiết, ta thấy G là trọng tâm của VABC nên 
 2 2
GC CE;GB BD.Kết hợp với câu a), suy ra GC GB . 
 3 3
Do đó, VGBC cân tại G .
Bài 4. Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB 3 cm, AC 4 cm. Tính khoảng 
cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC .
Lời giải
Vì VABC vuông tại A nên áp dụng định lí Py-ta-go, ta có BC AB 2 AC 2 5cm.Gọi M là trung điểm của BC , theo 
tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có
 BC
 AM 2,5cm.Mặt khác, vì G là trọng tâm của VABC 
 2
nên ta tính được
 2 5
 AG AM cm .
 3 3
Bài 5. Dựa vào hình vẽ bên, biết EA EB , DA DC . Hãy 
điền số thích hợp vào chỗ trống:
a) AG AM ; b) BG BD ;
c) GD BD ; d) GE GC ;
e) AM GM ; f) MB BC .
Lời giải
Ta có
 2 2 1
a) AG AM ; b) BG BD ; c) GD BD ;
 3 3 3
 1 1
d) GE GC ; e) AM 3GM ; f) MB BC .
 2 2
Bài 6. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Trên tia AG lấy điểm G sao cho G là trung điểm 
của AG . Hãy so sánh:
a) Các cạnh của VBGG với các đường trung tuyến của VABC .
b) Các đường trung tuyến của VBGG với các cạnh của VABC .
Lời giải
a) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm BC , AC và AB . 
 3 2
Trong tam giác ABC có AM là đường trung tuyến AM AG GG . (1)
 2 3
 3
Chứng minh tương tự, ta cũng có BN BG (2) 
 2
Chứng minh được VMBG VMCG (c.g.c) 2 3
Suy ra BG CG CP hay CP BG (3) 
 3 2
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
b) Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BG và BG . 
 1
Vì M là trung điểm BC nên BM BC (4) 
 2
Chứng minh được VGNA VGEG (c.g.c) 
 1
Suy ra G E AN AC (5) 
 2
Từ câu a), ta đã chứng minh được CG BG và GC P BG , 
Suy ra PG BF và A· GB G· BF , 
Do đó, VPGB VFBG (c.g.c), 
 1
Suy ra GF BP AB (6)
 2
Từ (4), (5) và (6) suy ra điều phải chứng minh.
Bài 7. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AM , BD , CE đồng quy tại G .
 AB AC BC
a) Chứng minh GA GB GC .
 2
b) Chứng minh 4(AM BD CE) 3(AB AC BC) .
Lời giải
a) Xét VGBC có BG GC BC (bất đẳng thức 
tam giác). 
Tương tự, ta có GA GB AB và 
GA GC AC . 
Do đó 2(GA GB GC) AB AC BC .
 AB AC BC
Vậy GA GB GC . (*)
 2
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
 2 2 2
 GA AM ; GB BD ; GC CE .
 3 3 3 Thay vào (*), ta có 4(AM BD CE) 3(AB AC BC) .
Bài 8. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng. Gọi E , F lần 
lượt là trung điểm của DA , BD . Lấy I , J theo thứ tự là giao điểm của CE , CF với AB . Chứng 
minh:
a) I là trọng tâm của tam giác CAD .
b) J là trọng tâm của tam giác CBD .
 1
c) AI IJ JB AB .
 3
Lời giải
a) Xét VACD có AO , CE là hai đường trung tuyến cắt nhau 
tại I . 
Do đó, I là trọng tâm của VACD .
b) Tương tự câu a).
 2
c) Từ câu a), suy ra AI AO . 
 3
 2 AB 1
Tương tự, JB OB mà OA OB nên AI JB AB . 
 3 2 3
 1
Do đó, ta tính được IJ AB . 
 3
 1
Vậy AI IJ JB AB .
 3
Bài 9. Chứng minh định lý: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với cạnh bên thì 
bằng nhau.
Lời giải
Cho tam giác cân ABC tại A , có BM và CN là hai đường trung 
tuyến. 
Xét VMBC và VNCB có 
 ▪ CM BN (suy ra từ giả thiết) 
 ▪ A· BC A· CB (VABC cân) 
 ▪ BC là cạnh chung. 
Do đó, VMBC VNCB (c.g.c).
Suy ra BM CN điều phải chứng minh.