Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 7: Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Đường trung trực của một đoạn thẳng
 ▪ Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuơng gĩc với 
 đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nĩ.
 ▪ Ta cĩ d ^ AB tại H và HA = HB thì d là đường trung trực của 
 đoạn thẳng AB. Khi đĩ, A là điểm đối xứng với điểm A qua đường 
 thẳng d.
2. Định lý 1 (định lý thuận)
 ▪ Những điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của 
 đoạn thẳng ấy.
 ▪ Trên hình vẽ: M Ỵ d Þ MA = MB .
3. Định lý 2 (định lý đảo)
 ▪ Những điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của 
 đoạn thẳng đĩ.
 ▪ Từ hình vẽ: MA = MB Þ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
4. Tập hợp điểm
 ▪ Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn 
 thẳng đĩ.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng
 ▪ Vận dụng định lý “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai 
 mút của đoạn thẳng đĩ”.
Ví dụ 1. Cho VABC nhọn cĩ AH là đường cao, AM là trung tuyến. Trên tia đối của tia HA lấy 
điểm E sao cho HE HA . Chứng minh rằng AB BE .
Lời giải
Xét VAHB và VEHB cĩ 
 A· HB E· HB 90
 AH EH
 BH chung 
 VAHB VEHB (c-g-c) AB BE . Toán 7 Tài liệu dạy học
Ví dụ 2. Cho VABC AB AC cĩ AH là đường cao, AM là trung tuyến. Trên tia đối của tia 
 HA lấy điểm E sao cho HE HA . Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI MA . 
Chứng minh rằng BE CI .
Lời giải
Xét VAHB và VEHB cĩ 
 A· HB E· HB 90
 AH EH VAHB VEHB (c g c)
 BH chung 
 AB BE (1) .
Xét VAMB và VCMI cĩ 
 A· MB C· MI (d?i d?nh)
 MA MI VAMB VCMI (c g c)
 MB MC
 AB CI (2) .
Từ (1) và (2) suy ra AB CI .
Dạng 2: Tính số đo gĩc
 · 
Ví dụ 3. Cho VABC cân tại A , cĩ gĩc BAC 70 . Gọi M là trung điểm của BC . Lấy điểm N 
sao cho N là điểm đối xứng của M qua AB . Lấy điểm D sao cho D là điểm đối xứng của B 
qua AN . Tính số đo gĩc C· AD .
Lời giải
Xét VABC cân tại A cĩ M là trung điểm BC 
 AM là phân giác gĩc BAC .
 C· AM B· AM 35 .
Ta cĩ N và M đối xứng nhau qua AB , suy ra AB là 
đường trung trực của MN
 AM AN và BN BM . Toán 7 Tài liệu dạy học
 AN AM
Xét VANB và VAMB cĩ AB chung VANB VAMB (c c c)
 BN BM
 N· AB B· AM 35 .
Ta cĩ D và B đối xứng nhau qua AN , suy ra AN là đường trung trực của BD 
 AD AB và ND NB .
 AD AB
Xét VAND và VANB cĩ AN chung VAND VANB (c c c)
 ND NB
 D· AN N· AB 35 .
Ta cĩ C· AD D· AN N· AB B· AM M· AC 140.
Dạng 3: Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng
 ▪ Nếu MA = MB thì điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ 4. Cho VABC cân tại A . Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I . Gọi M là trung 
điểm cạnh BC . Chứng minh ba điểm A , I , M thẳng hàng.
Lời giải
Ta cĩ VABC cân tại A AB AC suy ra A nằm trên đường trung 
trực của BC .
 M là trung điểm BC MB MC , suy ra M nằm trên đường 
trung trực của BC .
 AB AC
 · ·
Xét VAIB và VAIC cĩ BAI CAI VAIB VAIC (c-g-c).
 AI chung
 IB IC , suy ra I nằm trên đường trung trực của BC . 
Vậy I , A , M đều nằm trên đường trung trực của BC , do đĩ thẳng hàng.
Dạng 4: Chứng minh đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng
 ▪ Dựa vào định lý đường trung trực của đoạn thẳng. Toán 7 Tài liệu dạy học
Ví dụ 5. Cho tam giác VABC vuơng tại A , BE là phân giác của Bˆ E AC . Kẻ EH vuơng 
gĩc với BC H BC . Gọi K là giao điểm của AB và HE . Chứng minh
a) BE là đường trung trực của AH ; b) BE là đường trung trực của CK .
Lời giải
a) Xét VABE vuơng tại A và VHBE vuơng tại H cĩ 
 · ·
 ABE HBE (góc nhọn)
 BE (cạnh huyền chung)
 VABE VHBE (cạnh huyền - gĩc nhọn)
 EA EH và BA BH .
Vậy BE là đường trung trực của AH .
Xét VABC và VHBK cĩ 
 A· BC H· BK
 BA NH (cmt)
 B· AC B· HK 90
 VABC VHBK .
Suy ra BK BC và AC HK . 
Ta cĩ AC HK AE EC HE EK , mà AE HE suy ra EC EK .
Vậy BE là đường trung trực của CK .
Dạng 5: Sử dụng tính chất đường trung trực để chứng minh các kiến thức liên quan
 ▪ Từ định nghĩa, định lý đường trung trực, ta suy ra các tính chất về cạnh và gĩc. Từ đĩ sử 
 dụng chứng minh các bài tốn liên quan.
Ví dụ 6. Cho tam giác VABC , đường phân giác AI I BC . Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H . 
Từ H kẻ đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài tại E và cắt AC taị F . Chứng minh
a) A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EF ;
b) Đường trung trực của đoạn EF vuơng gĩc với AI .
Lời giải Toán 7 Tài liệu dạy học
a) Ta cĩ EH P AI và AI là phân giác B· AC , do đĩ
 F· EA I·AB C· AI A· FE .
Vậy VAEF cân ở A suy ra AE AF .
 A nằm trên đường trung trực đoạn EF . 
Gọi d là đường trung trực của đoạn EF , ta cĩ d  EF . Mà EF P AI
, suy ra d  AI .
Dạng 6: Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất
 ▪ Vận dụng tính chất đường trung trực để thay thế một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng 
 khác cĩ độ dài bằng nĩ.
 ▪ Dùng quy tắc 3 điểm: với A, B, M bất kì ta cĩ MA + MB ³ AB . Dấu “=” xảy ra khi 
 điểm M thuộc đoạn AB.
Ví dụ 7. Cho gĩc nhọn x·Oy cĩ điểm A cố định nằm trong gĩc đĩ. Xác định vị trí điểm B Ox , 
điểm C Oy sao cho chu vi VABC nhỏ nhất.
Lời giải
Lấy điểm I sao cho Ox là đường trung trực của AI , lấy điểm J sao 
cho Oy là đường trung trực của AJ .
Do điểm A cố định nên I , J cố định, khi đĩ IJ cĩ độ dài khơng đổi.
Ta cĩ IJ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C và AI IB , AC CJ .
Vậy chu vi VABC AB BC CA IB BC JC IJ (cĩ độ dài 
ngắn nhất).
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB . Cho đoạn MA cĩ độ dài 4 
cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu ?
Lời giải
Ta cĩ M nằm trên đường trung trực của đoạn AB 
 MA MB .
Mà MA 4 MB 4 .
Bài 2. Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB . Cho đoạn MA cĩ độ dài 5 
cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu ? Toán 7 Tài liệu dạy học
Lời giải
 Ta cĩ M nằm trên đường trung trực của đoạn AB 
 MA MB .
 Mà MA 5 MB 5.
Bài 3. Cho gĩc x·Oy 60 . Điểm A nằm trong gĩc x·Oy . Vẽ điểm B 
sao cho Ox là đường trung trực của AB . Vể điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC . 
Tính số đo gĩc B· OC .
Lời giải
Gọi I , J lần lượt là trung điểm AC và AB , ta cĩ I , J lần lượt 
nằm trên Oy , Ox .
Ta cĩ Ox là đường trung trực của AB OB OA VAOB cân ở 
O . 
Ta cĩ Oy là đường trung trực của AC OA OC VAOC cân ở 
O . 
Xét tam giác OAB cân ở O cĩ J là trung điểm AB 
 OJ là phân giác A· OB B· OJ J·OA .
Xét tam giác OAC cân ở O cĩ I là trung điểm AC 
 OI là phân giác A· OC .
Ta cĩ B· OC B· OJ J·OA A· OI I·OC 2 J·OA O· AI 2J·AI 2  60 120
Bài 4. Cho các tam giác cân ABC , DBC , EBC cĩ chung đáy BC . Chứng minh ba điểm A , D , 
 E thẳng hàng.
Lời giải
Ta cĩ VABC cân cĩ đáy BC nên VABC cân ở A , suy ra 
 AB AC . Do đĩ A nằm trên đường trung trực của BC .
 VDBC cân cĩ đáy BC nên VDBC cân ở A , suy ra DB DC . Do 
đĩ D nằm trên đường trung trực của BC .
 VEBC cân cĩ đáy BC nên VEBC cân ở E , suy ra EB EC . Do 
đĩ E nằm trên đường trung trực của BC .
Vậy A , D , E cùng nằm trên đường trung trực của BC , do đĩ thẳng 
hàng. Toán 7 Tài liệu dạy học
Bài 5. Cho gĩc nhọn xOy , trên Ox lấy điểm A , trên Oy lấy điểm B sao cho OA OB . Đường 
trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tại I . Chứng minh
a) OI là đường trung trực của đoạn AB ;
b) OI là tia phân giác của gĩc xOy .
Lời giải
a) Xét VNOI vuơng tại N và VMOI vuơng tại M cĩ
 OI chung
 1 1 VNOI VMOI .
 ON OM OA OB
 2 2
 ON OM và IN IM . Do đĩ OI là đường trung 
trực của MN .
Ta cĩ VNOI VMOI 
 1 1
 N· OI M· OI M· ON x·Oy .
 2 2
Do đĩ OI là phân giác của gĩc xOy .
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A cĩ Aˆ 40 . Đường trung trực của AB cắt BC tại D .
a) Tính C· AD ;
b) Trên tia đối của tia AD lấy điểm M sao cho AM CD . Chứng minh VBMD là tam giác cân 
tại M .
Lời giải
 A· ND B· ND 90
a) Xét VAND và VBND cĩ AN BN
 ND chung
 VAND VBND AD BD .
 VADB cân ở D .
 B· AD A· BD A· BC 180 40 : 2 70 .
Ta cĩ C· AD B· AD B· AC 70 40 30 .
b) Ta cĩ M· AB 180 B· AD 180 70 110 . Toán 7 Tài liệu dạy học
Ta cĩ A· CD 180 A· BD 180 70 110 .
 · ·
 MAB ACD . Vậy xét VMAB và VDCA ta cĩ
 MA CD
 · ·
 MAB ACD VMAB VDCA (c g c)
 AB AC
 MB BD . Vậy VMBD cân ở B .
Bài 7. Cho đường thẳng d và hai điểm A , B nằm về một phía của d sao cho AB khơng vuơng 
gĩc với d . Hãy tìm trên d một điểm M sao cho | MA MB | cĩ giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Ta cĩ | MA MB | 0 với mọi điểm M tùy ý và | MA MB | 0 
chỉ với các điểm M mà MA MB , tức là chỉ với các điểm M nằm 
trên đường trung trực của AB .
Mặt khác, điểm M phải thuộc d và do AB khơng vuơng gĩc với d 
nên M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của 
đoạn thẳng AB .
Vậy khi M là giao điểm của d và đường trung trực của AB thì 
| MA MB | đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0 .
Bài 8. Cho VABC nhọn, H là một điểm thuộc cạnh BC . Vẽ HD  AB D AB . Trên tia đối 
của tia DH , lấy điểm M sao cho DM DH . Vẽ HE  AC E AC . Trên tia đối của tia EH 
lấy điểm N sao cho EN EH . Chứng minh điểm A thuộc đường trung trực của đoạn MN .
Lời giải
 Xét VADM và VADH cĩ
 A· DM A· DH
 AD chung
 DM DH
 VADM VADH AM AH (1) .
 Xét VAEH và VAEN cĩ Toán 7 Tài liệu dạy học
 A· EH A· EN
 AE chung
 EH EN
 VAEH VAEN AH AN (2) .
 Từ (1) và (2) ta được AM AN , vậy A nằm trên đường trung trực của MN .
Bài 9. Cho VABC vuơng tại A , Bˆ 28 . Đường trung trực của cạnh BC cắt AB tại điểm M . 
Tính số đo gĩc M· CA .
Lời giải
 Gọi I là trung điểm BC , ta cĩ MI chính là đoạn 
thẳng nằm trên đường trung trực của BC .
 Ta cĩ MB MC do đĩ VMBC cân ở M 
 M· CB M· BC 28 .
 Do VABC vuơng ở A nên
 A· CB 90 A· BC 62 .
 Suy ra M· CA A· CB M· CB 62 28 34 .
Bài 10. Đường trung trực của cạnh BC trong VABC cắt cạnh AC tại D . Hãy tìm:
a) AD và CD nếu BD 5 cm; AC 8 cm;
b) AC nếu BD 11 cm; AD 3 cm. 
Lời giải
a) Ta cĩ D nằm trên đường trung trực của BC , suy ra 
 DC DB 5 cm và AD AC DC 8 5 3 cm.
b) Ta cĩ D nằm trên đường trung trực của BC , suy ra 
 DC DB 11 cm và AC AD DC 3 11 14 cm.
Bài 11. Trong VABC , hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm D nằm 
trên cạnh BC . Chứng minh rằng
a) D là trung điểm của cạnh BC ; b) Aˆ Bˆ Cˆ . 
Lời giải
a) Do D nằm trên đường trung trực của AB nên DA DB . (1) Toán 7 Tài liệu dạy học
Do D nằm trên đường trung trực của AC nên 
 DA DC . (2)
Từ (1) và (2) suy ra DB DC . Vậy D là trung điểm 
 BC .
b) Ta cĩ VABD cân ở B , suy ra 
 D· AB D· BA C· BA .
Tương tự ta cĩ VADC cân ở D , suy ra D· AJ D· CJ B· CA .
Do đĩ Aˆ D· AB D· AC A· BC A· CB Cˆ Bˆ .
Bài 12. Cho tam giác ABC vuơng tại A . Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho B· Ax 45 (B· Ax 
nằm ngồi tam giác ABC ). Từ B , C kẻ BK  xy , CI  xy và cho M là trung điểm cạnh 
huyền BC . Chứng minh
a) MI , MK lần lượt là trung trực của đoạn AC , AB ;
b) I·MK 90 . 
Lời giải
 · 
 • Xét VKAB vuơng ở K cĩ KAB 45 
 K· BA 45 .
 VKAB cân ở K , suy ra KA KB .
Ta cĩ KA KB và MA MB (do MA là 
trung tuyến ứng với cạnh huyền trong VABC ), 
suy ra KM là đường trung trực của AB .
 • Ta cĩ C· AI 180 K· AB B· AC 45 .
 ·  · 
Xét VIAC vuơng ở I cĩ IAC 45 ICA 45 .
 VIAC cân ở K , suy ra IA IC .
Ta cĩ IA IC và MA MC (do MA là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong VABC ), suy ra 
 IM là đường trung trực của AC .
 1 1 1
Ta cĩ I·MK I·MA A· MK C· MA A· MB 180 90 .
 2 2 2
Bài 13. Cho tam giác ABC cĩ gĩc A tù. Tia phân giác của gĩc B và gĩc C cắt nhau tại O . Lấy 
điểm E trên cạnh AB . Từ E kẻ EP  BO P BC . Từ P kẻ PF  OC F AC . Chứng 
minh OB , OC lần lượt là trung trực của đoạn thẳng EP và FP .