Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định lý 1
 ▪ Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy, đồng thời là đường 
 trung tuyến với cạnh này.
 ▪ Trong hình vẽ bên: DABC cân tại A cĩ AH là đường trung trực của 
 BC thì AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
2. Định lý 2
 ▪ Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm . 
 Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đĩ và được gọi là tâm 
 đường trịn ngoại tiếp tam giác (đường trịn đi qua các đỉnh 
 của tam giác).
 ▪ Trong hình vẽ bên: điểm O là giao điểm của các đường trung 
 trực của DABC . Do đĩ OA = OB = OC .
 ▪ Hệ quả: Nếu một tam giác cĩ một đường vừa là đường trung 
 trực, vừa là đường trung tuyến (hoặc đường phân giác) thì tam giác đĩ là tam giác cân.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau
 ▪ Cách 1: Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba.
 ▪ Cách 2: Chứng minh dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng.
 ▪ Cách 3: Chứng minh dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
 ▪ Cách 4: Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh của hai tam giác bằng nhau.
 ▪ Cách 5: Chứng minh hai đoạn thẳng là hai hình chiếu của một điểm nằm trên tia phân 
 giác của một gĩc xuống hai cạnh của gĩc đĩ.
Ví dụ 1. Cho VABC cân tại A . Đường trung trực của cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm D . 
Chứng minh rằng DB DC .
Lời giải
Gọi M là trung điểm BC . Do VABC cân tại A nên AM là đường trung 
trực của BC .
Do D là giao điểm của hai đường trung trực CI và BK nên D cũng nằm 
trên AM .
Do đĩ DB DC .
Ví dụ 2. Cho VABC cân tại A , đường trung tuyến AM . Đường trung trực của AC cắt đường 
thẳng AM tại D . Chứng minh rằng DA DB . Toán 7 Tài liệu dạy học
Lời giải
Ta cĩ D nằm trên đường trung trực của AC nên DA DC (1) .
Mà ta VABC cân ở A , trung tuyến AM chính là đường cao, do đĩ là 
đường trung trực của BC . Do đĩ DB DC (2) .
Từ (1) , (2) suy ra DA DB .
Dạng 2: Tính số đo gĩc
 ▪ Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng để suy ra các gĩc bằng nhau rồi từ đĩ 
 cĩ thể áp dụng định lý Tổng 3 gĩc trong một tam giác hoặc tính chất của tam giác cân để 
 tính số đo gĩc.
Ví dụ 3. Cho VABC cĩ Aˆ 60 . Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở 
 E và F . Tính E· AF .
Lời giải
Trước hết, do E nằm trên đường trung trực của AB nên 
 · ·
 VEAB cân ở E BAE ABE . 
 · ·
Tương tự, ta cĩ VFAC cân ở F FAC FCA .
Ta cĩ B· CA F· CA F· AB B· AC
 F· AB B· CA B· AC .
Khi đĩ E· AF B· AE F· AB A· BC B· CA B· AC .
 E· AF 180 2B· AC 180 120 60 .
Ví dụ 4. Cho VABC cĩ Aˆ 110 . Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở 
 E và F . Tính E· AF .
Lời giải
Ta cĩ E nằm trên đường trung trực của AB nên VEAB cân 
ở E E· AB E· BA .
Tương tự F nằm trên đường trung trực của AC nên VFAC 
cân ở F F· AC F· CA .
Ta cĩ E· AF B· AC B· AE C· AF B· AC E· BA F· CA
 110 70 40 . Toán 7 Tài liệu dạy học
Dạng 3: Chứng minh định lý
 ▪ Dựa vào định nghĩa, tính chất của đường trung trực của đoạn thẳng và giao điểm của ba 
 đường trung trực để chứng minh các định lý hình học.
Ví dụ 5. Nếu tam giác cĩ một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một 
cạnh thì tam giác đĩ là tam giác cân.
Lời giải
Xét VABC cĩ AH vừa là đường cao, vừa là đường trung trực ứng với cạnh 
 BC .
 A· HB A· HC 90
Xét VABH và ACH cĩ AH chung
 BH CH
 VABH VACH AB AC .
Vậy VABC cân ở A .
Ví dụ 6. Chứng minh rằng ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này 
cách đều ba đỉnh của tam giác đĩ.
Lời giải
 Ta cĩ O nằm trên đường trung trực của AB nên OA OB .
 Tương tự ta cĩ O nằm trên đường trung trực của AC và BC nên 
OA OC và OB OC .
 Suy ra OA OB OC , do đĩ O cách đều ba đỉnh của tam giác.
Dạng 4: Dựng hình
 ▪ Bước 1: đọc kĩ đề bài. Dựa vào các định nghĩa, tính chất của các hình hoặc đoạn thẳng, 
 đường thẳng để dựng hình theo yêu cầu.
 ▪ Bước 2: Sau khi dựng hình xong. Chứng minh cách dựng hình là đúng.
Ví dụ 7. Vẽ đường trịn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau
a) Aˆ , Bˆ , Cˆ đều nhọn. b) Aˆ 90 .
Lời giải
a) Trường hợp ba gĩc nhọn:
Dựng hai đường trung trực của AB và BC cắt nhau tại O , điểm O 
chính là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC . Toán 7 Tài liệu dạy học
Thật vậy O là giao điểm của hai đường trung trực nên theo tính chất thì ta cĩ OA OB OC .
b) Trường hợp gĩc A vuơng
Gọi O là trung điểm của BC thì ta cĩ O chính là tâm đường trịn 
ngoại tiếp VABC .
Thật vậy, do trong tam giác ABC vuơng ở A , AO là trung tuyến sẽ 
 1
bằng nửa cạnh huyền, tức là OA OB OC BC .
 2
Ví dụ 8. Vẽ đường trịn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong 
trường hợp Aˆ 90 .
Lời giải
Với Aˆ 90 , tương tự khi VABC nhọn, ta dựng hai đường trung trực 
của AB và BC . Tâm O của đường trịn ngoại tiếp tam giác chính là 
giao của hai đường trung trực này.
Dạng 5: Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng hoặc của tam giác để chứng 
minh các tính chất hình học khác
 ▪
Ví dụ 9. Cho VABC đều. Trên các cạnh AB , BC , CA lần lượt lấy ba điểm M , N , P sao cho 
 AM BN CP . Chứng minh tam giác MNP đều.
Lời giải
Ta cĩ VABC đều nên AB BC AC .
Do AM BN CP MB NC PA .
 M· AP N· BM
Xét VAMP và VBNM cĩ AM BN
 AP BM
 VAMP VBNM , suy ra MP MN .\hfill(1)
Tương tự ta cĩ VAMP VCPN , suy ra MP PN .\hfill(2)
Từ (1) , (2) ta được MN NP PM , do đĩ VMNP đều. Toán 7 Tài liệu dạy học
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC , hai đường cao BD và CE . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng 
minh M thuộc trung trực của DE .
Lời giải
 Ta cĩ EM là đường trung tuyến trong VEBC vuơng ở E , do đĩ 
 1
 EM BC .\hfill(1)
 2
 Tương tự ta cĩ ED là đường trung tuyến trong VDBC vuơng ở 
 1
 D , do đĩ DM BC .\hfill(2)
 2
 Từ (1) , (2) suy ra ME MD , do đĩ M nằm trên đường trung 
 trực của ED .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuơng là trung điểm của cạnh huyền tam giác đĩ.
b) Trong tam giác vuơng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Lời giải
a) Ta cĩ K cách đều ba đỉnh nên KA KB KC .
 Với KA KB ta cĩ VKAB cân ở K 
 A· KB 180 2  K· AB .
 Với KA KC ta cĩ VKAC cân ở K
 A· KC 180 2  K· AC . Do đĩ
 A· KB A· KC 180 2  K· AB 180 2  K· AC
 360 2  B· AC 180.
 Vậy B , K , C thẳng hàng. Mà KB KC nên suy ra K là trung điểm BC .
Với K là trung điểm BC , kẻ KM  AB cắt AB tại M và kẻ KN  AC , cắt AC tại N .
 Ta cĩ 
 K· BM C· BA 90 B· CA 90 K· CN N· KC . 
Do đĩ, xét VMBK vuơng ở M và VNKC vuơng ở N 
 · ·
 MBK NKC
cĩ VMBK VNKC
 KB KC
 Toán 7 Tài liệu dạy học
 BM NK và MK NC . (1)
 Tương tự ta cĩ M· AK 90 K· AN K· AN . Do đĩ xét VAMK vuơng ở M và VKNA vuơng ở 
 · ·
 MAK NKA
 N cĩ VAMK VKNA
 AK chung
 AM NK và MK AN . (2)
 Từ (1) , (2) suy ra MB MA và NA NC .
 Ta cĩ MK qua trung điểm M của AB và vuơng gĩc tại M , do đĩ MK là đường trung trực của 
 AB KB KA . (3)
 Tương tự ta cĩ NK qua trung điểm N của AC và vuơng gĩc tại N , do đĩ NK là đường trung 
trực của AC KC KA . (4)
 Từ (3) , (4) suy ra KA KB KC .
Bài 2. Cho VABC . Nêu cách dựng điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC .
Lời giải
 Điểm O cách đều ba đỉnh của VABC , tức là OA OB OC , như 
vậy O là giao ba đường trung trực của ba cạnh tam giác.
 Để dựng hình ta chọn ra hai cạnh của tam giác và dựng hai đường 
trung trực của hai cạnh, khi đĩ O chính là giao của hai đường trung 
trực này.
Bài 3. Cho VABC cân tại A , O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và BC (
O nằm trong tam giác). Trên tia đối của tia BA và CA ta lấy hai điểm M , N sao cho BM CN .
a) Chứng minh O· AB O· AC .
b) Chứng minh VAOM VAON .
c) Hai đường trung trực của OM , ON cắt nhau tại I . Chứng minh OI là tia phân giác của M· ON
.
Lời giải
Ta cĩ O là giao điểm của hai đường trung trực, do đĩ OA cũng 
là đường trung trực của VABC , mà VABC cân ở A nên OA 
vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác.
 O· AB O· AC .
Ta cĩ AM AB BM và AN AC CN . Toán 7 Tài liệu dạy học
Mà AB AC và BM CN nên suy ra AM AN . 
 O· AM O· AN
Xét VAOM và VAON cĩ OA chung VAOM VAON (c g c)
 AM AN
c) Do VAOM VAON nên suy ra OM ON . Vậy VOMN cân ở O , và O nằm trên đường trung 
trực của MN . (1)
Trong tam giác OMN cĩ I là giao điểm của hai đường trung trực của OM và ON , do đĩ I cũng 
năm trên đường trung trực của MN . (2)
Từ (1) và (2) suy ra OI là đường trung trực trong VOMN cân ở O , do đĩ OI cũng là phân giác 
 M· ON .
Bài 4. Cho VABC cân tại A . Đường trung trực của cạnh AB cắt đường cao AH tại I . Lấy điểm 
 D thuộc cạnh AB , điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD CE . Chứng minh rằng
a) IA IC ; b) ID IE . 
Lời giải
a) Ta cĩ VABC cĩ đường cao AH nên AH cũng là đường trung trực của VABC .
b) Ta cĩ I là giao điểm của hai đường trung trực của AB và của BC trong VABC nên suy ra 
 IA IB và IB IC .
 IA IC . 
b) Do IA IC VAIC cân ở I 
 I·CA I·AC . 
Ta cĩ AH cũng là đường phân giác của VABC I·AB I·AC .
 IA IC
Vậy ta cĩ AD CE VAID VCIE (c g c) ID IE.
 I·AB I·AC
Bài 5. Cho VABC cĩ gĩc A là gĩc tù. Các đường trung trực của AB , AC cắt nhau tại O và lần 
lượt cắt BC tại M , N . Chứng minh rằng AO là tia phân giác của gĩc M· AN .
Lời giải
Do O , M thuộc đường trung trực của AB Toán 7 Tài liệu dạy học
 MA MB
 OA OBOM chung
 VMOA VMOB (c g c)
 M· BO M· AO . (1)
Do O , N thuộc đường trung trực của AC nên 
 NA NC
 OA OC
 ON chung
 VNOA VNOC (c g c) .
 N· OA N· OC . (2)
Ta cĩ O nằm trên đường trung trực của AB nên OA OB , O nằm trên đường trung trực của 
 AC nên AO OC .
 OB OC , vậy VOBC cân ở O , do đĩ M· BO N· CO . (3)
Từ (1) , (2) , (3) suy ra M· AO N· AO , do đĩ AO là phân giác M· AN .