NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI
A-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai
HS:Biết được các sai lầm cần tránh
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra
Tiết 1,2:
I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a 0)(1)
· PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xet hệ số a có hai khả năng:
a) Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m
Giả sử a = 0 <=> m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0=>
Ta biên luận tiếp
NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI A-MỤC TIÊU: HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai HS:Biết được các sai lầm cần tránh HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán. B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra Tiết 1,2: I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a 0)(1) PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Xet hệ số a có hai khả năng: Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m Giả sử a = 0 m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0 Ta biên luận tiếp Trường hợp a0 Lập biệt số = b2 –4ac hoặc ’ = b’2 –ac Biện luận théo từng trường hơp : > 0 ; = 0 ; < 0 Sau đó tóm tắt phần biên luận trên II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm: Có hai khả năng xẩy ra : a = 0, b 0 a 0 , III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt: IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm: V BÀI TOÁN 5: Điều kiên hai nghiệm cùng dấu Điều kiện để hai nghiêm điều dương: 3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm: Điều kiện để hai nghiêm trái dấu: P< 0 hoặc a và c trái dấu VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia: Ta thay x = x1 vào (1) Giải tìm m Hoặc dựa vào S ;P tìm m VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Điều kiên chung :Theo Định lý Vi et ta có : a)Trường hợp : Ta giải HPT => x1 ;x2 Thay các giá trị x1x2 vào x1x2 = giải tìm giá trị của tham số b)Trường hợp :x12+x22 = k (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trị thamsố m Trường hợp : x12+x22 h (x1+x2)2 –2x1x2 h Giải BPT tìm m Một số ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x2 –4x +m = 0 (1) Trước hết ta tính = b2 –4ac =..= 4-m Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm Ví dụ 2: Cho PT x2- 3x –m = 0 Tìm m để PT có nghiệm Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại HD: = b2 –4ac = 9 +4m Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m 0 PT có nghiêm là –2 Do đó (-)2 +3(-2) – m = 0 Giải PTb tìm giá trị của m Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x1 và x2 thõa mãn: Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị 2x1+ 3x2 = 13 HD:Tính = m2 +14m +1 PT có hai nghiệm m2 +14m +1 0 Giải BPT xác định m Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức; Giải HPT tìm m Giải Tương tự như câu a Ví dụ 4: Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức x12+x22 = 10 HD: = a2-4a –28 PT có hai nghiệm a2-4a –28 0 Biến đổi x12+x22 = 10 (x1+x2)2 –2x1x2 = 10 Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m Ví dụ 5: Cho PT x2+ax +1 = 0 Tìm các giá trị của a để PT có hai nghiệm thoã mãn Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP: Bài 1: (TN 1996) Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai: . Giải các phương trình: a/ b/ Bài 2: (TN 2001) Cho phương trình bậc hai: với m là tham số. Giải phương trình với m = 8. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0. Bài 3: (TS 10 - 1993) Cho phương trình : (1) với m là tham số. Giải phương trình (1) với m = 2. Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m. Bài 4: (TS 10 - 1996) Cho phương trình : (1) với m là tham số. Giải phương trình (1) khi m = 2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x1 và x2. Chứng minh rằng:. Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996) Giải phương trình sau: . Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: . HD: 1) Tập xác định Biến đổi phương trình: , từ đó có cách giải phương trình đưa đến 2 nghiệm . 2) Tập xác định . Đặt , ta có , ta loại nghiệm . Với Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997) Cho phương trình: (1) Giải phương trình (1) khi m = 1. Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng và hai cạnh góc vuông có độ dài x1 và x2 là hai nghiệm của (1). HD: Với 3) chú ý điều kiện ... Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997) Giải phương trình: HD: Phương trình: , ta đặt , đưa về dạng , biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t ... Một số phương trình tham khảo: Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: ; c, d là hai nghiệm của phương trình: . Chứng minh hệ thức: . HD: Aùp dụng định lý Víét ta có hệ , sử dụng để biến đổi VT bằng VP ... Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998) Giải phương trình: . HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phương trình tích. Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004) Cho phương trình: Giải phương trình trên khi k = -1. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm. Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004) Cho phương trình: (ẩn x). Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Xác định các hệ số p, q biết x1, x2 thỏa: và Đặt . Chứng minh rằng: với Giả sử x1, x2 là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x1, x2 . Bài giải: 1. Vì là các nghiệm của phương trình nên ta có : , với 2. Theo định lý Víet ta có , kết hợp với giả thiết ta tìm được 3. Ta có . Bài toán quy về việc tìm nghiệm nguyên của phương trình (*) . Do 199 là số nguyên tố nên: Bài tập tương tự: Gọi là 2 nghiệm của phương trình Đặt , với Chứng minh rằng . Aùp dụng tính HD: Đặt . Vậy là 2 nghiệm của phương trình Aùp dụng (*) cho (2) ta có Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997) Giải phương trình: HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình. . Từ (1), (2) và (3) ta có Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: . HD: Từ , hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm. Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997) Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình với một nghiệm nào đó của phương trình là nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng: . Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001) Cho phương trình với a là tham số. Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3?. Tính nghiệm còn lại. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: . Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1998_1999) Cho phương trình ẩn x: Với giá trị nào của a thì (1) là phương trình bậc hai. Giải phương trình (1) khi . Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b. Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1999_2000) Cho phương trình Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm. Gọi là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của: Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001) Cho phương trình (a, b là tham số): Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm. Tìm giá trị của a, b để phương trình có một nghiệm kép là: . Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2001_2002) Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình trái dấu? Giải phương trình , biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74. Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2002_2003) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: , m là tham số. Xác định m sao cho . Chứng minh rằng: . Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2003_2004) Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và . Chứng minh rằng nếu phương trình và phương trình có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thỏa mãn phương trình . HD: (Sử dụng định lý Viét). Gọi là nghiệm chung của (1) và (2), ta có , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta được , vậy nghiệm chung của (1) và (2) là . Gọi và lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo định lý Víet ta có . Hay a và b là nghiệm của (3). Đây là điều cần chứng minh. Bài 21: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình và có nghiệm chung thì HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm có nghiệm. Đặt , ta có hệ Nếu : Giải hệ phương trình này ta có nghiệm . Do Suy ra , khai triển và biến đổi ta có (*). Nếu ta có hệ . Hệ này có nghiệm khi , khi đó rõ ràng (*) cũng đúng. Vậy (*) đã được chứng minh. Bài tập về điều kiên có nghiệm chung: Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung: HD: Nếu là nghiệm chung thì , dễ thấy (từ (2)). Nhân vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế , thay vào (1) và (2) rút ra . Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004) Giải phương trình (HD: ) Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004) Giải phương trình: . (Xem bài giải của bài 14 và 14’). Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có hai nghiệm thõa mãn: . Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm, thì phương trình: cũng có nghiệm. HD: Với (1) có nghiệm ta có . Kết hợp với (3) khi đó (2) có . Vậy (2) có nghiệm. Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai: và có các hệ số thỏa mãn điều kiện thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm. HD: Từ , nên . Do đó 1 trong 2 số là không âm nên ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm. Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: (HD: ) Bài 27*: Cho a, b là 2 số sao cho .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình sau đây có nghiệm: HD: Từ (1) suy ra: . Do đó ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm. Bài 28*: Phương trình có đúng một nghiệm dương là chứng minh rằng phương trình cũng có đúng một nghiệm dương và . HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình). Giả sử là nghiệm của (1), khi đó ta có , chia 2 vế của phương trình cho ta được , nghĩa là (2) nhận làm nghiệm. Khi đó Bài 29: Giả sử phương trình có 2 nghiệm dương . Chứng minh rằng phương trình cũng có 2 nghiệm dương . Chứng minh HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho và , ta có: , nghĩa là (2) nhận và làm 2 nghiệm dương của nó. Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm ta có kết quả. Bài 30: Cho phương trình bậc hai: Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng. Đặt a/ Chứng minh . b/ Tìm m sao cho . c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. Bài 31**: Giải các phương trình sau: HD: 1) Rõ ràng không thỏa (1). Nên . Đặt , ta có phương trình , ... 2) Với . Giải tiếp .... 3) (với ), ... 4) Đưa về phương trình tích 5) Đặt ẩn phụ 6) Khai triển rút gọn , chia 2 vế cho rồi đặt , ta đưa về phương trình . 7) Vì: Nên 8) Điều kiện . Ta có Nên 9) Tập xác định: Nhóm hợp lý các phân thức ta được: , với , phương trình , , phương trình vô nghiệm. 10) Đặt , được . Vậy nghiệm của phương trình (10) là Bài 32: Định m để phương trình: có nghiệm và thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m. Bài 33: Cho phương trình Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thõa mãn hệ thức . Tìm hệt thức liên hệ giữa mà không phụ thuộc vào m. Bài 34: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 35: Cho phương trình có các nghiệm . Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức: . (ĐS ) Bài 36**: Cho tam thức bậc hai . Biết rằng vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình vô nghiệm. HD: Vì (2) vô nghiệm nên hoặc * Nếu , hay (*) vô nghiệm. * Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm. Vậy (*) vô nghiệm. Bài 37*: Chứng minh rằng nếu phương trình , có nghiệm dương là thì . Chứng minh rằng nếu phương trình , có nghiệm dương là thì . Chứng minh nếu phương trình có nghiệm . Chứng minh HD: Ta có (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì , không thỏa (1). Ta có (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì , không thỏa (2). Ta có . Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: . Vậy -------{-------
Tài liệu đính kèm: