Chuyên đề Những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai

Chuyên đề Những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai

NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI

A-MỤC TIÊU:

HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai

HS:Biết được các sai lầm cần tránh

HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.

B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra

Tiết 1,2:

I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a 0)(1)

· PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Xet hệ số a có hai khả năng:

a) Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m

Giả sử a = 0 <=> m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0

Ta biên luận tiếp

 

doc 11 trang Người đăng vultt Lượt xem 1164Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI
A-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai 
HS:Biết được các sai lầm cần tránh 
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra
Tiết 1,2:
I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a 0)(1)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xet hệ số a có hai khả năng:
Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m 
Giả sử a = 0 m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0
Ta biên luận tiếp
Trường hợp a0 
Lập biệt số = b2 –4ac hoặc ’ = b’2 –ac 
Biện luận théo từng trường hơp : > 0 ; = 0 ; < 0
Sau đó tóm tắt phần biên luận trên
II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:
Có hai khả năng xẩy ra :
a = 0, b 0
a 0 , 
III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:
IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:
V BÀI TOÁN 5:
Điều kiên hai nghiệm cùng dấu 
Điều kiện để hai nghiêm điều dương:
3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:
Điều kiện để hai nghiêm trái dấu:
P< 0 hoặc a và c trái dấu
VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia:
Ta thay x = x1 vào (1) Giải tìm m
Hoặc dựa vào S ;P tìm m
VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Điều kiên chung :Theo Định lý Vi et ta có :
a)Trường hợp : Ta giải HPT => x1 ;x2 Thay các giá trị x1x2 vào 
x1x2 = giải tìm giá trị của tham số
b)Trường hợp :x12+x22 = k (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trị thamsố m
Trường hợp : x12+x22 h (x1+x2)2 –2x1x2 h Giải BPT tìm m
Một số ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x2 –4x +m = 0 (1)
Trước hết ta tính = b2 –4ac =..= 4-m 
Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép
Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm
Ví dụ 2: Cho PT x2- 3x –m = 0 
Tìm m để PT có nghiệm
Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại
HD: = b2 –4ac = 9 +4m 
Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m 0
PT có nghiêm là –2 Do đó (-)2 +3(-2) – m = 0 Giải PTb tìm giá trị của m
Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x1 và x2 thõa mãn:
Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị
2x1+ 3x2 = 13
HD:Tính = m2 +14m +1 
PT có hai nghiệm m2 +14m +1 0 Giải BPT xác định m 
Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức;
Giải HPT tìm m
Giải Tương tự như câu a
Ví dụ 4: 
Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức x12+x22 = 10
HD: = a2-4a –28 PT có hai nghiệm a2-4a –28 0 
Biến đổi x12+x22 = 10 (x1+x2)2 –2x1x2 = 10
Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m 
Ví dụ 5:
Cho PT x2+ax +1 = 0 Tìm các giá trị của a để PT có hai nghiệm thoã mãn 
Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP: 
Bài 1: (TN 1996)
Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai: .
Giải các phương trình:
a/ 
b/ 
Bài 2: (TN 2001)
Cho phương trình bậc hai: với m là tham số.
Giải phương trình với m = 8.
Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0.
Bài 3: (TS 10 - 1993)
Cho phương trình : (1) với m là tham số.
Giải phương trình (1) với m = 2.
Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2.
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 4: (TS 10 - 1996)
Cho phương trình : (1) với m là tham số.
Giải phương trình (1) khi m = 2.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x1 và x2. Chứng minh rằng:.
Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996)
Giải phương trình sau: .
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: .
HD: 
1) Tập xác định 
Biến đổi phương trình: , từ đó có cách giải phương trình đưa đến 2 nghiệm .
2) Tập xác định .
Đặt , ta có , ta loại nghiệm . Với 
Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997)
Cho phương trình: (1)
Giải phương trình (1) khi m = 1.
Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng và hai cạnh góc vuông có độ dài x1 và x2 là hai nghiệm của (1).
HD: Với 3) chú ý điều kiện ...
 Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Giải phương trình: 
HD: Phương trình: , ta đặt , đưa về dạng , biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t ...
Một số phương trình tham khảo:
Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: ; c, d là hai nghiệm của phương trình: . Chứng minh hệ thức: .
HD: Aùp dụng định lý Víét ta có hệ , sử dụng để biến đổi VT bằng VP ...
Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)
Giải phương trình: .
HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phương trình tích.
Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)
Cho phương trình: 
Giải phương trình trên khi k = -1.
Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004)
Cho phương trình: (ẩn x). Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
Xác định các hệ số p, q biết x1, x2 thỏa: và 
Đặt . Chứng minh rằng: với 
Giả sử x1, x2 là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x1, x2 .
Bài giải: 
1. Vì là các nghiệm của phương trình nên ta có :
, với 
2. Theo định lý Víet ta có , kết hợp với giả thiết ta tìm được 
3. Ta có . Bài toán quy về việc tìm nghiệm nguyên của phương trình (*) . Do 199 là số nguyên tố nên:
Bài tập tương tự: Gọi là 2 nghiệm của phương trình 
Đặt , với 
Chứng minh rằng .
Aùp dụng tính 
HD: Đặt . Vậy là 2 nghiệm của phương trình 
Aùp dụng (*) cho (2) ta có 
Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997)
Giải phương trình: 
HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình. 
 . Từ (1), (2) và (3) ta có 
Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: 
.
HD: 
Từ , hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm.
Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997)
Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình với một nghiệm nào đó của phương trình là nghiệm của phương trình .
Chứng minh rằng: .
Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình với a là tham số.
Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3?. Tính nghiệm còn lại.
Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: .
Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1998_1999)
Cho phương trình ẩn x: 
Với giá trị nào của a thì (1) là phương trình bậc hai.
Giải phương trình (1) khi .
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b.
Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1999_2000)
Cho phương trình 
Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.
Gọi là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của:
Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình (a, b là tham số): 
Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm.
Tìm giá trị của a, b để phương trình có một nghiệm kép là: .
Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2001_2002)
Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình trái dấu?
Giải phương trình , biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74.
Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2002_2003)
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: , m là tham số.
Xác định m sao cho .
Chứng minh rằng: .
Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2003_2004)
Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và . Chứng minh rằng nếu phương trình và phương trình có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thỏa mãn phương trình .
HD: (Sử dụng định lý Viét).
Gọi là nghiệm chung của (1) và (2), ta có , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta được , vậy nghiệm chung của (1) và (2) là . Gọi và lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo định lý Víet ta có . Hay a và b là nghiệm của (3). Đây là điều cần chứng minh. 
Bài 21: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình và có nghiệm chung thì 
HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm có nghiệm.
Đặt , ta có hệ 
Nếu : Giải hệ phương trình này ta có nghiệm . Do 
Suy ra , khai triển và biến đổi ta có (*).
Nếu ta có hệ . Hệ này có nghiệm khi , khi đó rõ ràng (*) cũng đúng. Vậy (*) đã được chứng minh. 
Bài tập về điều kiên có nghiệm chung:
Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
HD:
Nếu là nghiệm chung thì , dễ thấy (từ (2)).
Nhân vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế , thay vào (1) và (2) rút ra .
Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004)
Giải phương trình (HD: )
Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004)
Giải phương trình: . (Xem bài giải của bài 14 và 14’).
Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có hai nghiệm thõa mãn: .
Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm, thì phương trình: cũng có nghiệm. 
HD: Với (1) có nghiệm ta có .
Kết hợp với (3) khi đó (2) có . Vậy (2) có nghiệm.
Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai: và có các hệ số thỏa mãn điều kiện thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm.
HD: 
Từ ,
 nên . Do đó 1 trong 2 số là không âm nên ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.
Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
 (HD: )
Bài 27*: Cho a, b là 2 số sao cho .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình sau đây có nghiệm: 
HD: Từ (1) suy ra:
. Do đó ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.
Bài 28*: Phương trình có đúng một nghiệm dương là chứng minh rằng phương trình cũng có đúng một nghiệm dương và .
HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình).
Giả sử là nghiệm của (1), khi đó ta có , chia 2 vế của phương trình cho ta được , nghĩa là (2) nhận làm nghiệm. Khi đó 
Bài 29: Giả sử phương trình có 2 nghiệm dương . Chứng minh rằng phương trình cũng có 2 nghiệm dương . Chứng minh 
HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho và , ta có:
 , nghĩa là (2) nhận và làm 2 nghiệm dương của nó.
Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm ta có kết quả.
Bài 30: Cho phương trình bậc hai: 
Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng.
Đặt 
a/ Chứng minh .
b/ Tìm m sao cho .
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. 
Bài 31**: Giải các phương trình sau: 
 HD: 1) Rõ ràng không thỏa (1).
Nên . Đặt , ta có phương trình , ...
2) 
Với . Giải tiếp ....
3) 
(với ), ...
4) Đưa về phương trình tích 
5) Đặt ẩn phụ 
6) Khai triển rút gọn , chia 2 vế cho rồi đặt , ta đưa về phương trình .
7) Vì: 
Nên 
8) Điều kiện . Ta có 
Nên 
9) Tập xác định: 
Nhóm hợp lý các phân thức ta được: 
, với , phương trình ,
, phương trình vô nghiệm.
10) Đặt , được .
Vậy nghiệm của phương trình (10) là 
Bài 32: Định m để phương trình: có nghiệm và thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.
Bài 33: Cho phương trình 
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thõa mãn hệ thức .
Tìm hệt thức liên hệ giữa mà không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 35: Cho phương trình có các nghiệm . Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức: . (ĐS ) 
Bài 36**: Cho tam thức bậc hai . Biết rằng vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình vô nghiệm.
HD: Vì (2) vô nghiệm nên hoặc 
* Nếu 
, hay (*) vô nghiệm.
* Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm.
Vậy (*) vô nghiệm.
Bài 37*: 
Chứng minh rằng nếu phương trình , có nghiệm dương là thì .
Chứng minh rằng nếu phương trình , có nghiệm dương là thì .
Chứng minh nếu phương trình có nghiệm . Chứng minh 
HD: 
Ta có (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì , không thỏa (1).
Ta có (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì , không thỏa (2).
Ta có . Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
. Vậy 
-------š{›-------

Tài liệu đính kèm:

  • docChuyen de NHUNG BAI TOAN LIEN QUAN DEN PT BAC HAI.doc