Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: Hàm số và đồ thị

Chuyên đề 4 : Hàm số và đồ thị
A.Lý thuyết :
I,Hàm số bậc nhất y = ax+ b (a 0)
1. Định nghĩa : Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax +b trong đó a, b là các số cho trước và a 0.
2. Tính chất : Hàm số y = ax +b đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
3. Đồ thị : 
+ Đồ thị của hàm số y = ax +b (a 0) là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ O(0;0) và điểm A(1; a).
+ Đồ thị của hàm số y = ax (a 0) là đường thẳng song song với đường thẳng y = ax và cắt trục tung tại điểm B(0; b), cắt trục hoành tại điểm A( ; 0).
4. Hệ số góc :
 * a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b ( a 0).
 * Gọi là góc tạo bởi trục Ox và đường thẳng y = ax + b ( a 0) , ta có:
 + a > 0 < 900
 + a 900
5. Sự tương giao giữa hai đường thẳng :
 Với hai đường thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) trong đó a và a’ khác 0, ta có:
 + (d ) và (d’) cắt nhau a a’
 + (d ) và (d’) song song với nhau a = a’; b b’
 + (d ) và (d’) trùng nhau a = a’; b = b’.
II,Hàm số bậc hai 
1. Tính chất : Hàm số bậc hai xác định với mọi .
+ Với a > 0 hàm số đồng biến khi x > 0,hàm số nghịch biến khi x < 0.
GTNN của hàm số là y = 0 khi x = 0
+ Với a 0.
GTLN của hàm số là y = 0 tại x = 0
2. Đồ thị : Hàm số bậc hai là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng.Đường cong đó gọi là Parapol với đỉnh O.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành,O là điểm thấp nhất.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành,O là điểm cao nhất.
A.Bài tập :
I.Cách vẽ và xác định các hệ số của (P) và (d)
*Dạng 1 : Vẽ đồ thị hàm số y = ax,y=ax+b,y=ax2.
Vẽ đồ thị các hàm số sau : 
*Dạng 2 : Vẽ đồ thị hàm số y = ax,y=ax+b và y=ax2 trên cùng một trục toạ độ.
Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một trục toạ độ:
a) 	và 	
b) 	và 	
c) 	và 	
d) 	và 	
e) 	và 	
f) 	và 	
g) 	và 	
*Dạng 3 : Xác định phương trình đường thẳng (d) y = ax,y=ax+b và parapol (P) y=ax2 trong một số trường hợp.
1) Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :
a. Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2,5) và B(-3,-4).
b. Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(2,-2) và B(1,-4).
c. Đường thẳng (d) đi qua A(3,-2) và tiếp xúc với parapol (P) y = .
2) Cho (P) y = -2x2 và đường thẳng (d) y = 3x - 2.Viết phương trình đường thẳng (d’) //(d) và tiếp xúc với (P).
3) Tìm các giá trị a,b biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2,-1) và B(,2).
4) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(-1,-4) và :
a.Có hệ số góc bằng 0,5.
b.Song song với đường thẳng y = -3x + 1.
c.Vuông góc với đường thẳng y = 5x – 3.
5) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(3,1) và :
a.Có hệ số góc bằng -2.
b.Song song với đường thẳng y = 5x +1.
c.Vuông góc với đường thẳng y = .
6) Xác định hàm số y = ax2 trong các trường hợp sau :
a.Đi qua điểm A(-1,2).
b.Đi qua điểm B(2,4).
c.Đi qua điểm C(-2,-2).
II.Sự tương giao giữa (P) và (d)
*Dạng 1 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
VD1 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = x + 6.
Giải
Hoành độ giao điểm của (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = x + 6 là nghiệm của phương trình : 
x2 = x + 6
 	x2 - x - 6 = 0
Ta có 
 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : 
 ; 
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là : 3 và -2.
VD2 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = -x2 và đường thẳng (d) y = -5x + 4.
VD3 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 3x - 4.
VD4 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = -3x2 và đường thẳng (d) y = -2x -1.
VD5 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = 3x2 và đường thẳng (d) y = 4x -1.
*Dạng 2 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
VD1 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 3x - 4.
Giải
+ Cách 1: 
Hoành độ giao điểm của (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 3x - 4 là nghiệm của phương trình : 
x2 = 3x - 4
 	x2 - 6x + 8 = 0
Ta có 
 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : 
 ; 
Thay vào ta được 
Thay vào ta được 
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là : A(4;8) ; B(2;2).
+ Cách 2 : 
Toạ độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình: 
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là : A(4;8) ; B(2;2).
VD2 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2x - 3.
VD3 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 3x - 2.
VD4 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = -2x2 và đường thẳng (d) y = 3x +1.
VD5 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = -x2 và đường thẳng (d) y = x - 2.
VD6 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = -x2 và đường thẳng (d) y = 3x + 4.
*Dạng 3 : Chứng minh vị trí tương đối của Parapol (P) và đường thẳng (d).
 	 Không cắt nhau 	 	
Chứng minh (P) và (d) 	 Cắt tại 1 điểm(tiếp xúc) 	 	
	 Cắt tại 2 điểm	
1)Chứng minh rằng Parapol (P) y = -4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 4mx +m2 khi m thay đổi.
Giải
Hoành độ giao điểm của (P) y = - 4x2 và đường thẳng (d) y = 4mx +m2 là nghiệm của phương trình :
 4x2 = 4mx - m2
 4x2 - 4mx - m2 = 0
Ta có 
Phương trình có nghiệm kép với mọi m.Do đó parapol (P) y = -4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 4mx +m2 khi m thay đổi.
2) CMR parapol (P) y = x2 luôn có điểm chung với đường thẳng (d) y = 2(m-1)x-2m + 3 khi m thay đổi.
3) Cho parabol (P): y = và đường thẳng (d): y = mx + 1.Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
4) Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1.Chứng minh rằng với mọi gi trị của m thỡ đường thẳng (d) luụn cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt.
5) Cho parabol (P) y= và đường thẳng (d): y = mx - m + 2 (m là tham số).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
*Dạng 4 : Biện luận số giao điểm của Parapol (P) và đường thẳng (d).
 	Không cắt nhau 	 	
Để (P) và (d) 	 	Cắt tại 1 điểm(tiếp xúc) 	 	
	Cắt tại 2 điểm	
1) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m+1)x - m2 -9.Tìm m để :
a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau.
c.(P) và (d) không cắt nhau.
Giải
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình : 
 x2 = 2(m+1)x - m2 -9
 	 x2 - 2(m+1)x + m2 + 9 = 0
Ta có 
a. (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 
Vậy với m > 4 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
b. (P) và (d) tiếp xúc với nhau 
Vậy với m = 4 thì (P) cắt (d) tiếp xúc với nhau.
c. (P) và (d) không cắt nhau 
Vậy với m < 4 thì (P) cắt (d) không cắt nhau.
2) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 4x + 2m.Tìm m để :
a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau.
c.(P) và (d) không cắt nhau.
3) Cho parabol (P): y = và đường thẳng (d): y = mx - 2m -1.Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc với nhau.
4) Cho (P) và (d) y = x + m.Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
5) Cho (P) (P) và (d) y = x + m .Tìm m để :
a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau.
c.(P) và (d) không cắt nhau.
6).Cho hàm số y = -2.x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d) : y = - k.x + k.Định k để:
a) (P) không cắt (d) 
b) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt. 
c) (P)tiếp xúc với (d).Tìm tọa độ tiếp điểm trong trường hợp này.
7) Cho parabol (P): y = và đường thẳng (d): y = x + m.Tìm m để :
a.(P) tiếp xúc với (d)
b.(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
c. (P) không cắt (d).
*Dạng 5 : Chứng minh về tính chất,vị trí của giao điểm trong mặt phẳng toạ độ giữa Parapol (P) và đường thẳng (d).
1) Chứng tỏ rằng Parapol (P) y = 3x2 cắt đường thẳng (d) y = 5x - 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.
Giải
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình :
 3x2 = 5x - 2 
 	 3x2 - 5x + 2 = 0
Ta có 
 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : 
 ; 
Ta thấy hai nghiệm cùng dương hay hai điểm cùng có hoành độ dương.Do đó giao điểm của (P) và (d) nằm cùng một phía với trục tung.
2) Chứng tỏ rằng Parapol (P) y = - x2 cắt đường thẳng (d) y = 2x - 2007 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
*Dạng 6 : Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
- Hàm số y = ax (a #0) ,y = ax + b (a #0).
Cách giải : Biến đổi về dạng Am + B = 0 m
 Giải hệ .Kết luận.
1) Cho hàm số y = (m+5)x + 2m - 10.Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
Giải
Giả sử là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
Ta có yo = (m+5)xo + 2m - 10 m 
 (m+5)xo + 2m - 10 - yo = 0 m 
 mxo + 5xo + 2m - 10 - yo = 0 m 
 (xo + 2)m + 5xo - yo- 10 = 0 m 
Vậy là điểm cố định mà đồ thi hàm số luôn đi qua với mọi m.
*Dạng 3 : Chứng minh về vị trí tương đối của Parapol với đường thẳng.
1) Chứng minh rằng Parapol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) khi m thay đổi(hay với mọi m)