Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn

Nhắc lại về biến đổi đồng nhất.
I.Phép nhân các đa thức:
	Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì:
	A(B + C) = (B + C)A = AB + AC
	(A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE.
II.Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + b2
(A - B)2 = A2 - 2AB + b2
A2 – b2 = (a + b)(a – b).
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3
A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b)
A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b)
(A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Lưu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt.
	- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tương ứng bằng nhau
	- Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không.
III. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
PP đặt nhân tử chung
PP dùng hằng đẳng thức.
PP nhóm nhiều hạng tử.
PP tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
PP thêm bớt cùng một hạng tử.
PP xét giá trị riêng. ( Nếu đa thức A(x) có nghiệm x = a thì tồn tại đa thức B(x) sao cho 
A(x) = (x- a).B(x) )
Chú ý: Khi sử dụng một trong các PP 3, 4 , 5 : sau khi nhóm, tách, thêm bớt hạng tử thì quá trình phân tích phải tiếp tục được ( Sử dụng PP 1 hoặc 2 ).
IV. Phân thức đại số.
Hai phân thức bằng nhau: 
Nếu đa thức M khác đa thức không thì: 
Các phép tính:
Phép cộng: ( M ≠ 0).
Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức rồi thực hành cộng như trên.
Các bước quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức mới có cùng mẫu)
	Bước 1: Tìm mẫu thức chung (MTC) :
MTC phải chia hết cho tất cả các mẫu cần quy đồng.
Nếu các mẫu cần quy đồng không có nhân tử chung thì lấy MTC là tích của tất cả các mẫu đó.
Bước 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mẫu tương ứng
Bước 3: Lấy cả tử và mẫu của từng phân thức nhân với NTP tương ứng, ta được các phân thức có cùng mẫu thức.
Phép trừ: 
Phép nhân: 
Phép chia: 
Một số lưu ý: - Trước khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức trước. Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỷ cũng cần được rút gọn.
- Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phối).
	- Khi giải các bài toán liên quan tới giá trị của phân thức cần chú ý tìm ĐKXĐ của phân thức.
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI.
1. Dạng của phương trỡnh: ax2 + bx + c = 0 	(a ≠ 0).
2. Giải và biện luận:
∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2)
+) Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt:
	 (Hoặc )
+) Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trỡnh cú nghiệm kộp: 
	 ( Hoặc )
+) Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trỡnh vụ nghiệm.
3. Hệ thỳc Vi-ột:
Nếu phương trỡnh bậc hai: ax2 + bx + c = 0 cú hai nghiệm x1, x2 thỡ:
Các dạng toán.
Dạng 1: Xác định số nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0.
1. Phương pháp giải:
 Xác định các hệ số a, b, c của phương trình:
Nếu a = 0: Phương trình trở thành PT bậc nhất một ẩn: bx + c =0.
Nếu a ≠ 0: Tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac ( hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = )
Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vô nghiệm.
Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0 ): Phương trình có nghiệm kép.
Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0 ): Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lưu ý: - Không cần tính ra nghiệm.
- Nếu ac<0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và cho biết số nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
	1) 3x2 – 7x + 3 = 0	2) -2x2 - 8x -7 =0
	3) 	4) 2x2 + 5x + = 0
	5) 	6) 
Bài 1.2: Không cần tính biệt số ∆, chứng tỏ rằng các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
	a) 
	b) ( m là tham số)
Bài 1.3: Hãy xác định tham số k để phương trình vô nghiệm?
	a) 	c) 
	b) 	d) 
Bài 1.4: Hãy xác định tham số k để phương trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép:
	a) 	b) 
	c) 
Bài 1.5: Cho các hệ số a, b, c thoả mãn điều kiện a > c > 0, b > a + c. 
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phương trình ( x là ẩn số) vô nghiệm. ( HDẫn: Sử dụng BĐT tam giác) 
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai .
1. Phương pháp giải:
- Đưa phương trình cần giải về dạng: ax2 + bx + c = 0.	
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình.
- Tính ∆ hoặc ∆’.
-áp dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để kết luận nghiệm ( Chú ý rút gọn các nghiệm nếu có thể)
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 2.1: Giải các phương trình sau:
	a) 3x2-5x-8=0	b) 5x2 - 3x + 15 = 0
	c) x2 – 4x + 1 = 0	d) 3x2 + 7x + 2 = 0
Bài 2.2: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	
Bài 2.3: Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 
	c*) 	d*) 
	e) 	f) 
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 .
1. Phương pháp giải:
	* Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất bx + c = 0.
	- Nếu b ≠ 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất: 
	- Nếu b = 0 và c ≠ 0 thì phương trình có vô nghiệm.
	- Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
	* Với a ≠ 0 : Phương trình trở thừnh phương trình bậc hai . Ta có:
	∆ = b2 - 4ac ( hay ∆’ = b’2 – ac )
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
	- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép: x1 = x2 = -	( = -)
	- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
* Kết luận cho tất cả các trường hợp đã biện luận.
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 3.1: Giải và biện luận các phương trình: ( x là ẩn)
(m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.	
x2 + (1 – m)x – m = 0.
(m – 3)x2 - 2mx +m – 6 = 0.
(m – 3 )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 2 = 0
(3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + 2 = 0.
(4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + (m – 2) = 0.
( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0
2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m – 2 = 0. 
Bài 3.2: Giải và biện luận phương trình ( ẩn x) : 
	( HDẫn: Coi m là ẩn, x là tham số )
Dạng 4: Hệ phương trình chứa hai ẩn x và y gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.
1. Phương pháp giải:
	- Từ phương trình bậc nhất của hệ, tìm y theo x ( hoặc x theo y ).
	- Thay biểu thức y theo x tìm được ở trên vào phương trình bậc hai của hệ ta được phương trình bậc hai đối với .
	- Giải phương trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức của y để tìm y.
	2. Các bài tập vận dụng:
Bài 4.1: Giải hệ phương trình: 
Bài 4.2: Cho hệ phương trình: 
Xác định a để:
Hệ vô nghiệm.
Hệ có nghiệm duy nhất.
Hệ có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4.3: Giải các hệ phương trình: 	
Bài 4.4: Giải và biện luận hệ phương trình: 
Dạng 5: Định tham số để hai phương trình có nghiệm chung.
	1. Phương pháp giải:
- Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào hai phương trình ta được hệ phương trình với ẩn là các tham số.
	- Giải hệ để tìm tham số.
	-Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không.
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 5.1: Cho hai phương trình : x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0
Định a để hai phương trình trên có nghiệm chung.
Định a để hai phương trình tương đương.
Bài 5.2: Chứng minh rằng nếu hai phương trình : x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì:
 (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0.
Bài 5.3: Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0 ?
Bài 5.4: Xác định m, n để hai phương trình sau tương đương: 
x2 – (2m + n)x – 3m = 0 và x2 – (m + 3n)x – 6 = 0
HDẫn: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1); x3, x4 là nghiệm của phương trình (2). Để hai Phương trìh tương đương thì x1 = x3 và x2 = x4 hoặc ngược lại. Nên S1 = S2 và P1 = P2.
Bài 5.5: Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 
x2+ (m – 8)x + m + 3 = 0	(1)
	x2 + (m – 2)x + m - 9 = 0	(2)
Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 
a) x2 + x + a = 0	x2 + ax + 1 = 0	
b) x2 + ax + 2 = 0	x2 + 2x + a = 0
c) x2 + ax + 8 = 0	x2 + x + a = 0
Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0.
Dạng 6: Phương trình có hai ẩn số.	
1.Phương pháp giải:
	Trong một phương trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phương trình ấy theo ẩn còn lại. PP này gọi là phương pháp đặt tham số mới.
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 6.1: Chứng minh rằng chỉ có một cặp số duy nhất (x, y) thoả mãn phương trình: 
x2 - 4x + y - 6 + 13 = 0
Bài 6.2: Giải hệ phương trình: 
Bài 6.3: Giải phương trình: 
Bài 6.4: Giải hệ phương trình: 
Bài 6.5: Giải hệ phương trình: 
Dạng 7: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số.	
1.Phương pháp giải:
	- Tính ∆ và chứng tỏ ∆ ≥ 0 để phương trình có nghiệm.
	- áp dụng định lý Vi-ét : 	; 	
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 7.1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Dạng 8: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm.
1.Phương pháp giải:
	- áp dụng địnhlý Vi-ét : x1 + x2 = - ; x1.x2 = 
	- Nhẩm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n thì phương trình có nghiệm là x1 = m ; x2 = n.
	- Nếu a + b + c = 0 thì: x1 = 1 ; x2 = 
	- Nếu a - b + c = 0 thì: x1 = -1 ; x2 = -
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – 1 = 0 	( m ≠ -1)
	d) (2m – 1)x2 – mx – m – 1 = 0 	( m ≠ )
Bài 8.2: Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và nghiệm còn lại ?
Bài 8.3: a) Phương trình 0,1x2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1. Xác định số k và nghiệm còn lại ?
	b) Phương trình 15x2 + bx - 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng . Xác định số b và nghiệm còn lại ?
Dạng 9: Phân tích ax2 + bx + c thành nhân tử.
Phương pháp giải:
	Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2)
Dạng 10: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó.
1.Phương pháp giải:
	- Tính tổng hai nghiêm : và tích hai nghiệm : 
	- Phương trình nhận x1, x2 làm nghiệm là: X2 – SX + P = 0.
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 10.1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau:
	a) 7 và 3	b) và 
Bài 10.2: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là : và 
Bài 10.3: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là : 
a) và 	b) và 
c) và 	d) và 
Bài 10.4: Gọi m, n là các nghiệm của phương trình : 	(m<n). Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: và .
Bài 10.5: Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 
Bài 10.6: Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 
Dạng 11: Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai.
1.Phương pháp giải:
	Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) :
	* Phương trình có hai nghiệm trái dấu 	P < 0.
	* Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 	
	* Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt	 
	* Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt	 	
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 11.1: Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0	(1)
	Định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu.
Có hao nghiệm dương phân biệt.
Có đúng một nghiệm dương.
Bài 11.2: Cho phương trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Định m để phương trình :
Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương?
Có hai nghiệm cùng dấu?
Bài 11.3: Cho phương trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + 1 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương ? hai nghiệm trái dấu ?
Bài 11.4: Cho phương trình x2 – mx + m2 – 3 = 0. 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ?
Tìm m để phương trình chỉ có một nghiệm dương ?
Bài 11.5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
x2 – 2mx + (5m – 4) = 0 	b)mx2 + mx + 3 = 0.
Bài 11.6: Cho phương trình : mx2 – 2(m + 1)x + m + 2 = 0
	a) Định m để phương trình có nghiệm
	b) Định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu.
Dạng 12: Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trước.
1.Phương pháp giải:
	* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : ∆ ≥ 0
	* Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm x1, x2 rồi thay vào phương trình thứ ba của hệ để tìm tham số.
	* Kiểm tra lại m có thoả mãn điều kiện có nghiệm không rồi kết luận.
2. Các bài tập vận dụng:
Bài 12.1: Xác định m để phương trình x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 3x1 + 2x2 = 1?	 
Bài 12.2: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 3x1 - 4x2 = 11.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 12.3: Xác định k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2:
	a) x2 + 6x + k = 0	b) x2 + kx + 8 = 0.
Bài 12.4: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau: 	a) x12 - x22 = 12 ;	b) x12 + x22 = 1.
Bài 12.5: Cho phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – 1 = 0.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12.
b) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 12.6: Cho phương trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – 2 = 0.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 ; tính nghiệm kia.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x12 + 2x22 + x1 x2.
Bài 12.7: Cho phương trình : 	x2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0.	(1).
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2. Tìm m sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 12.8: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2m x + m + 2 = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức : 
Bài 12.9: Cho phương trình : 	x2 - 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0. 	( m là tham số). 
	Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và -x12 - x22 + 2006 đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 13: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.
1.Phương pháp giải:
	* Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không đổi.
	* Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P ( tổng và tích các nghiệm số).
	Chẳng hạn: 	
	x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2 x1x2 = S2 – 2P.
	x12 + x23 = (x1+ x2)3 - 3 x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS.
	.
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 13.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 + mx + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau;
	a) x13 + x23	b) 
Bài 13.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 + 2mx + 4 = 0. Xác định m sao cho x14 + x24 ≤ 32.
Dạng 14: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1 , x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số.
1.Phương pháp giải:
	* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: ∆ ≥ 0.
	* Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo tham số m.
* Khử tham số m từ S, P để có hệ thức giữa S, P ( tức là hệ thức giữa x1, x2 ) không phụ thuộc vào m
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 14.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 - 1 = 0	. Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m?
Bài 14.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – (m – 3)x + 2m + 1 = 0	. Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m?
Bài 14.3: Cho phương trình : 
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m ;
Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau ;
Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m ?
Bài 14.4: Cho phương trình : 	
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép :
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2. Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m ;
Tính theo m biểu thức ;
Tìm m để A = 2.
Bài 14.4: Cho phương trình : 
Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m ;
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Tìm giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là số nguyên.
HDẫn: b) Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 + x2 = m ; x1x2 = -4.
	Ta có xác định với mọi m và 
	(*)
Với A = 0 thì m = 3,5.
Với A ≠ 0, ta coi (*) là PT bậc hai ẩn là m và có nghiệm nên ∆ ≥ 0 
 . Khi đó PT (*) có nghiệm kép m = 8.
Dạng 15: Giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn.
1.Phương pháp giải:
	* Hệ gọi là đối xứng hai ẩn x, y nếu hệ không thay đổi khi thay x bởi y, y bởi x.
	* Cách giải:
	+ Đặt S = x + y, P = x.y.
	+ Đưa hệ đã cho về hệ mới hai ẩn S, P. Chú ý đến các biểu thức đối xứng x, y.
	+ Giải tìm S, P. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0.
	+ Nếu ( x, y ) là nghiệm thì ( y, x ) cũng là nghiệm.
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 15.1: Giải hệ phương trình: 
a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Một số phương trình quy về phương trình bậc hai.
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương(ax4 + bx2 + c = 0)
1.Phương pháp giải:
	Đặt t = x2 ( t 0), đưa về phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0. (1)
Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt, khi đó ta giải hệ sau theo m : 
Phương trình trùng phương có hai nghiệm trái dấu 
Phương trình trùng phương vô nghiệm khi (1) vô nghiệm (∆ < 0) hoặc (1) có hai nghiệm cùng âm, tức là: 
	2.Các bài tập vận dụng:
Bài 1.1: Cho phương trình: 	(1). Xác định m để phương trình :
Có 4 nghiệm phân biệt.
Vô nghiệm.
Có 3 nghiệm phân biệt.	 
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
1.Phương pháp giải:
	Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.
	Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.
	Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
	Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm của phương trình đã cho.
	@ Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu.
	* Đặt ĐK để phương trình có nghĩa;
	* Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu;
	* Giải và biện luận phương trình bậc hai;
	* Kiểm tra điều kiện và kết luận.
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 2.1: Giải các phương trình sau:
Bài 2.2: Giải các phương trình sau:
Bài 2.3: Giải phương trình sau:
	( m là tham số )
Bài 2.4: Giải các phương trình sau:
Dạng 3: Giải phương trình đưa về dạng tích.
1.Phương pháp giải:
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 3.1: Giải các phương trình sau:
	a) (4x2 - 25)(2x2 – 7x – 9) = 0	b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = 0
	c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – 1 = 0	d) x3 + 3x2 + x + 3 = 0.
Dạng 4: Phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước.
1.Phương pháp giải:
	Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = .
Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành: 
Giải phương trình bậc hai ta được các nghiệm khác ngoài nghiệm của phương trình bậc ba.
@ Sơ đồ Hoocner:
	Chia đa thức cho ta có:.
Sơ đồ xác định các bi : 
a0
a1
a2
an
b0
b1
b2
bn
Với b0 = a0 và bi = bi-1 + ai ( i = 1, 2, 3,  , n )
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 4.1: Giải các phương trình sau:
Bài 4.2: Xác định m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt ?
Bài 4.3: Xác định m để phương trình : có một nghiệm là 2. Tìm các nghiệm còn lại ?
Bài 4.4: Xác định m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt ?
Dạng 5: Phương trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m với a + b = c + d.
	1.Phương pháp giải:
	* Phương trình được viết thành [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m.
	* Đặt t = x2 + (a + b)x, ta được phương trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m.
	* Giải tìm t sau đó tìm x bằng cách giải phương trình : x2 + (a + b)x – t = 0.
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 5.1: Giải phương trình : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297.
Bài 5.2: Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt :
Bài 5.3: Cho các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện : và .
	Giải phương trình : 
HDẫn: Phương trình đã cho tương ứng với : 
	Đặt Vì nên 
	Ta có : 
	Vì nên , do đó .
	Vậy phương trình vô nghiệm.
Dạng 6: Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c.
	1.Phương pháp giải:
	Đặt . Phương trình trở thành:
	Khai triển và rút gọn ta được phương trình trùng phương của ẩn t.
	FChú ý: 
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 6.1: Giải phương trình : (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 .
 Bài 6.1: Giải các phương trình : 
HDẫn: a) Đặt x + 3 = y.
b)Đặt x + 5 = y.
x = 1 là một nghiệm. Với x > 1, VT > VP. Với x < 1, VT < VP. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.
Dạng 6: Phương trình dạng 	(1)	( PT bậc 4 có hệ số đối xứng).
	1.Phương pháp giải:
	* x = 0 không là nghiệm của phương trình;
	* Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được: 
	* Đặt . Phương trình trở thành:
	(2).
Giải phương trình tìm t, thay vao phương trình để tìm x.
Dạng 7: Phương trình dạng 	(1)( PT bậc 4 có hệ số đối xứng lệch).
	1.Phương pháp giải: