Chuyên đề: Sử dụng công thức đường phân giác vào vào giải toán

 CHUYÊN ĐỀ 2 : SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC VÀO 
 VÀO GIẢI TOÁN
ĐẶT VẤN ĐỀ : Sử dụng định lý ta-lét và tam giác đồng dạng ta có thể tính được độ dài
đường phân giác trong tam giác theo độ dài cạnh của tam giác .Các công thức về độdài 
đường phân giác sẽ giúp ta giải được nhiều bài toán lý thú .
BÀI TOÁN MỞ ĐẦU:
Xét tam giác ABC Với các cạnh BC=a , AC=b ,AB=c gọi 3 đường phân giác trong của 
 ABC là AD = da BE = db CF = dc .
 H1
CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC 
Để tính độ dài AD theo ,a,b,c trước hết tính BD,CD .Theo tính chất đường phân giác trong ta có : từ đó có BD= (1) và 
 CD = (2) trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia CK 
Sao cho tia CK cắt tia AD tại K (Hình 1)
Ta có và Suy ra đồng dạng với (g.g) suy ra 
 đồng dạng (g.g) suy ra từ 2 đẳng
thức trên ta có : AD.AK-AD.DK = AB.AC-BD.CD .Chú ý rằng AK-DK= AD
Nên AD2 = AB.AC – BD.CK Hay da2 = bc – BD.CD (3)
 Từ (1) , (2) , (3) suy ra da2 = bc - (4) 
 Hay da2 = bc(1- ) (5)
Để ý rằng (b+c)2 – a2 = (b+c-a)(b+c+a) = 2p(2p-2a) = 4p(p – a) nên từ (5) ta có 
 (6)
Từ (4) (5) (6) với chú là (b+c)2 4bc ta có các bất đẳng thức đối với độ dài các đường phân giác trong của tam giác :
 bc - (7) ; (8) đẳng thức ở (8) xảy ra khi AB=AC. Dối với da,db ta cũng có các công thức tương tự.
MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 
BÀI TOÁN 1 :
Gọi da,db,dc là độ dài 3 đường phân giác của tam giác ABC với p = AB+BC+CA
Chứng minh rằng :
a, ab+bc+ca - 
b, da+db+dc 
LỜI GIẢI : 
a, Từ công thức (8) ta có da2 +db2+dc2 p(p-a)+p(p-b)+p(p-c) = 3p2-2p2=p2
 ápdụng (7) ta có :da2+db2+dc2 
b, áp dụng BĐT bunhiacopxki va (a) tacó (da+db+dc)2 từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Đẳng thức ở (a) xảy ra cũng như ở (b) xảy ra khi a=b=c hay tamgiác ABCđều .
BÀI TOÁN 2: Gỉa sử đường phân giác trong BE , CF của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tmam giác ABC tại M,N .chứng minh rằng EM=FN thì tam giác ABCcân tại A
LỜI GIẢI : 
Sử dụng tính chất các góc nội tiếp ta có : đồng dạng nên (9)
ACF đồng dạng tam giác NBF nên (10 )