Chuyên đề Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Mục lục
I. Lời mở đầu...................................................................................
II. Kiến thức cần nhớ.......................................................................
III. Kiến thức bổ sung......................................................................
IV. Các dạng bài tập và phương pháp chung ..................................
 Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức .....................................
 1.1. Phương pháp chung ......................................
 1.2. Một số ví dụ .................................................
 1.3. Tiểu kết .........................................................
 1.4. Bài tập tương tự ...........................................
 Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau ..............
 2.1. Phương pháp chung ......................................
 2.2. Một số ví dụ .................................................
 2.3. Tiểu kết .........................................................
 2.4. Bài tập tương tự ............................................
 Dạng 3. Tính giá trị biểu thức .................................................
 3.1. Phương pháp chung .......................................
 3.2. Một số ví dụ ..................................................
 3.3. Tiểu kết ..........................................................
 3.4. Bài tập tương tự ............................................
 Dạng 4. Toán đố .......................................................................
 4.1. Phương pháp chung ...................................
 4.2. Một số ví dụ ................................................
 4.3. Tiểu kết ........................................................
 4.4. Bài tập tương tự ............................................
V. Kết quả ...................................................................................
VI. Vấn đề còn hạn chế ................................................................
VII. Điều kiện áp dụng ..................................................................
VIII. Kết luận .................................................................................
IX.Tài liệu tham khảo ..................................................................
2
3
3
4
4
4
4
8
9
10
10
11
17
17
20
20
21
23
23
23
23
24
30
30
34
34
34
35
36
 I. Lời Mở Đầu
Đ
ã từng lang thang qua nhiều hiệu sách, văn phòng phẩm, cửa hàng sách cũ và cũng đã từng đọc khá nhiều loại sách tham khảo Tôi thấy thị trường sách tham khảo cho các môn học rất rộng rãi, phong phú và đa dạng, có đủ tất cả các loại Nhưng những bài tập của một mảng kiến thức thì lại nằm dải rác đâu đó trong mỗi phần của từng cuốn sách. Tôi thiết nghĩ, tại sao chúng không được sắp xếp theo một trật tự nhất định nào đó? Đặc biệt là kiến thức của bộ môn Toán, một môn khoa học tự nhiên chứa đựng vô cùng nhiều điều bí ẩn thú vị-nó xuất hiện cùng với loài người và không ngừng phát triển theo trí tuệ của con người, và chính con người lại không ngừng khám phá, chinh phục nó. Toán học cuốn hút con người ngay từ khi học đếm . Nhưng sự học là vô tận, biết đến toán học và hiểu được nó là cả một quá trình phức tạp đi từ không đến có. Vậy thì làm thế nào để học tốt bộ môn này? Nếu trả lời được câu hỏi đó thì bạn đã học toán rất tốt rồi còn gì? Nếu chưa trả lời được thì khi đọc xong cuốn sách này bạn đã có trong tay một phương pháp hữu hiệu để học bộ môn toán một cách ngon lành. Đó là cách gì vậy? Hệ thống kiến thức theo từng mảng-xắp xếp theo một trật tự nhất định, hợp lí.
 Giúp người học rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo trong quá trình học tập để đạt được kết quả tốt. Nung nấu ý định đó trong xuốt quá trình giảng dạy, Tôi đã quyết định viết về một số mảng kiến thức, trong đó có : “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” theo tiêu chí trên; Mỗi dạng bài tập đều có phương pháp chung, một số ví dụ đã chọn lọc cách giải hợp lí và một số bài tập tương tự-Tất cả đều được xắp xếp theo một hệ thống trình tự từ dễ tới khó phù hợp cho mọi đối tượng, với mong muốn giúp người đọc, người học dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu cũng như việc học và muốn nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này một cách hiệu quả nhất. Tuy đây chỉ là một mảng kiến thức nhỏ được giới thiệu qua một tiết lí thuyết ở sách giáo khoa lớp 7 nhưng đằng sau đó là cả một chuỗi bài tập, ứng dụng rất nhiều. Với hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó sẽ giúp người học kích thích tính tư duy, suy luận logic, óc sáng tạo và tận hưởng được cảm giác vui sướng khi tự mình tìm tòi, khám phá ra đáp án cho từng bài toán. Mong muốn chiếm lĩnh được tri thức là mong muốn của rất nhiều người, đặc biệt là học sinh – sinh viên, nhưng làm sao, làm như thế nào để chiếm lĩnh được những thứ quí báu đó thì lại là điều băn khoăn, trăn trở của tất cả chúng ta.
 Với lượng kiến thức của học sinh mới vào lớp 7, các em đã có trong tay một số kĩ năng giải toán như biến đổi các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa. Nhưng rất nhiều khó khăn mà các em sẽ gặp phải khi học và làm bài tập phần này, đặc biệt là những bài toán phức tạp, yêu cầu cần phân tích kĩ đầu bài để hiểu phải sử dụng những điều đã cho như thế nào, biến đổi ra sao để đạt được mục đích, tìm ra được đáp án cho bài toán. Như vậy, rất cần thiết phải được trang bị tri thức phương pháp cho các em để khi làm bài không cảm thấy lúng túng, sợ, ngại những bài toán phức tạp. Với tất cả những gì vừa nêu đã thúc đẩy Tôi thực hiện chuyên đề này.
 II. Kiến thức cần nhớ
1. Tỉ lệ thức.
1.1. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số 	
Trong đó: a, b, c, d là các số hạng.
 a, d là ngoại tỉ.
 b, c là trung tỉ.
1.2. Tính chất của tỉ lệ thức:
 * Nếu Thì 
 * Nếu và a, b, c, d 0 thì ta có:
 ; ; ; 
2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
2.1. Tính chất:
Từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra:
	(Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
2.2. Chú ý: 
 Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số x, y, z; Ta còn viết a : b : c = x : y : z.
	 III. 	Kiến thức bổ sung
1. Luỹ thừa của một thương: 
 Với n N, x 0 và x, y Q.
2. Một số tính chất cơ bản:
 * Với m 0.	
 * Với n 0.
 * Với n N.
 IV. Các dạng bài tập và phương pháp chung
 Bài tập về “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” khá phong phú và đa dạng ở từng mức độ khác nhau nhưng theo ý kiến chủ quan của bản thân Tôi thì có thể chia làm 4 dạng cơ bản gắn liền với phương pháp chung (của mỗi dạng). Các cách làm được trình bày theo mạch tư duy suy luận logic của học sinh nhằm hình thành và phát triển cách nghĩ, cách làm, cách trình bày và có thể tự tìm được con đường đi của riêng mình cho học sinh.
 Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức.
1.1. Phương pháp chung: 
 +) Thường thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đó và yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức.
 +) Để làm xuất hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có thể biến đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất các phép toán và tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chúng ta có thể biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có.
 +) Có nhiều con đường để đi đến một cái đích, hãy lựa chọn phương pháp phù hợp, hợp lí nhất trong khi chứng minh.
 +) Lưu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luôn nhìn về biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vô ích.
1.2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho Với a, b, c, d 0.
	Chứng minh rằng: 	
 Đây không phải là bài toán khó đối với đa số học sinh, nhưng các em sẽ lúng túng khi lựa chọn cách làm bài toán này. Có rất nhiều cách để làm bài toán cơ bản này; tuy nhiên, ở đây Tôi xin được trình bày một số cách mà học sinh thường nghĩ tới và sử dụng trong quá trình chứng minh.
Lời giải:
Cách 1. 
Có: 
 Hay (Đpcm).
Cách 2. 
Có: 	
	 (Đpcm).
Cách 3.
Có: 
Khi đó: 
Do đó: (Đpcm).
Cách 4. 
 Có: 
	 là đẳng thức đúng
 nên là dẳng thức thức đúng.
Cách 5.
Có: 
 Suy ra: (Đpcm)
Cách 6.
Có: 
Do đó: 
Vậy: (Đpcm). 
Cách 7.
Có: 
Khi đó: 
Suy ra: (Đpcm). 
 Ví dụ 2. Cho . Chứng minh rằng: 
 Học sinh quan sát kĩ đầu bài sẽ phát hiện ra ngay cách làm; Có thể sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, nhưng phải biến đổi một chút đã:
Lời giải: 
Có: 
 Vậy: (Đpcm).
 Ví dụ 3. Cho . Chứng minh: .
 Bài này có khó hơn một chút. Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện được a2 và b2; Nhưng bù lại thì các em biết tạo ra từ tỉ lệ thức bài cho. Chỉ cần gợi ý một chút xíu nữa là các em làm được ngay thôi! Em hãy so sánh: và ?
 Bây giờ thì các em đã biết phải làm như thế nào rồi!
Lời giải: 
 Có: 
 Vậy: (Đpcm).
 Với cách tư duy trên, dễ dàng nghĩ ngay ra con đường đi cho bài tập không dễ sau:
 Ví dụ 4. Cho và c 0. Chứng minh rằng:
a) 	b) 
 Đã có bài tập ở ví dụ 3 thì học sinh không mấy khó khăn khi làm xuất hiện điều phải chứng minh.
Lời giải:
a) Có: 
Suy ra: 
Hay: (Đpcm).	
b) Có: 
Suy ra: 
Do đó: 
Vậy: (Đpcm). 
 Ngược lại với cách làm những bài tập trên, từ một đẳng thức phức tạp phải chứng minh đẳng thức đơn giản hơn thì các em tỏ ra bối rối khi làm bài.	
 Ví dụ 5.
 Cho = . Chứng minh rằng: = .
 Không mấy khó khăn để đơn giản biểu thức đã cho. Nhìn về điều phải chứng minh thì đưa a lên tử, đưa b xuống mẫu và làm “biến mất” những gì không cần thiết trong nháy mắt.
Lời giải: 
Có: = suy ra: = = = 
 Hay: = (Đpcm).
 Ví dụ 6. 
 Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chứng minh rằng: = .
 Hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau trước đã.
 Từ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) đưa về dãy tỉ số bằng nhau như thế nào?
Lời giải: 
Có: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z)
 Suy ra: = = = = 
 +) = = = 	 (1)
 +) = = = (2)
 Từ (1) và (2) ta có = (Đpcm).
 Ví dụ 7. Cho = với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ d.
 Chứng minh rằng: = hoặc = .
 Đầu bài khó thật, nhưng các em sẽ phát hiện ra ngay đây là bài toán ngược của ví dụ 3. Làm theo quy trình ngược lại ư? Điều đó không đưa các em đến được với điều phải chứng minh. Vậy thì phải biến đổi như thế nào? Lúc này giáo viên vào cuộc bằng một gợi ý nhỏ: có thể biến đổi điều đã cho về hằng đẳng thức không?
Lời giải: 
 = = = = 
 ( )2 = ( )2
 Suy ra: = hoặc = - .
 +) Nếu = thì = = = 
 = = (1)
 +) Nếu = - thì = - = = 
 = = (2)
Từ (1) và (2) ta có: = hoặc = .
1.3. Tiểu kết: 
 Với dạng bài tập này, các em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, có thể kết hợp với mối quan hệ khác mà bài cho để đi đến điều phải chứng minh. Lưu ý học sinh khi sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu. Có nhiều cách để chứng minh một tỉ lệ thức nhưng cần lựa chọn cách nào phù hợp với khả năng và mức độ nhận thức của người học sao cho đơn giả ... khi người cha qua đời, các con tìm hết cách cũng không làm theo được lời trăn trối của cha.
 Em hãy giúp các người con của ông cụ.
 Dễ thôi, chỉ cần giải quyết một vấn đề: Làm thế nào để chia được 17 con dê cho 3 anh em họ mà số con dê chia được phải còn nguyên vẹn, trong khi của 17, của 17 và của 17 đều không phải là số tự nhiên?
 Với tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta giải quyết như sau:
 Lời giải: 
 Gọi số con dê mà 3 anh em họ được chia lần lượt là: a, b, c (con) 
(a, b, c N* và a, b, c < 17)
Khi đó, theo bài ra ta có: và a + b + c = 17
Suy ra: 
+) (t/m)
+) (t/m)
+) (t/m)
 Như vậy: Số con dê được chia đúng như lời trăn trối của ông cụ: Con cả được số dê là 9 con; Con thứ được số dê là 6 con và con út được số dê là 2 con.
 Ngày đó, 3 anh em nhà nọ không chia được số dê theo lời cha, nhưng có một cụ già láng giềng biết chuyện đã cười và cho họ mượn 1 con dê.
 Tất cả có 18 con, anh cả được .18 = 9 con, anh hai được .18 = 6 con, em út được .18 = 2 con, còn thừa 1 con đem trả lại cụ già đã cho mượn.
4.3. Tiểu kết:
	Đây là dạng bài tập khó đối với học sinh, không chỉ học sinh trung bình mà cả đối với học sinh khá-giỏi, khó ở công đoạn chuyển bài toán lời văn về dạng biểu thức. Giáo viên cần dẫn dắt các em thật tỉ mỉ từng bước, từ phân tích đầu bài để tìm ra yếu tố bài cho, yếu tố chưa biết, yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng, kể cả những mối quan hệ đã biết dưới dạng ẩn(Ví dụ như: quãng đường = vận tốc.thời gian hoặc tổng các góc trong một tam giác bằng 1800...), rồi đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện và đơn vị ra sao... Đặc biệt là khi kết luận cho bài phải chính xác theo yêu cầu.
4.4. Bài tập tương tự
Bài 1. Tìm 3 phân số, biết rằng tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số của nó nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1; 2; 3.
Bài 3. Tìm hai số khác 0. 
Biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với 5; 1; 12.
Bài 4. Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích 300m2. Trong đó: Lớp 7A nhận 15% diện tích, 7B nhận diện tích còn lại. Sau khi 2 lớp 7A và 7B nhận thì phần còn lại được chia cho 3 lớp 7C, 7D, 7E theo tỉ lệ ; ; . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
Bài 5. Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh. Nếu rút ở lớp 7A số học sinh, rút ở lớp 7B số học sinh, rút ở lớp 7C số học sinh thì số học sinh còn lại ở 3 lớp bằng nhau. Tính số học sinh lúc đầu ở mỗi lớp.
Bài 6. Số học sinh 3 khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8. Tính số học sinh mỗi khối, biết rằng số học sinh khối 8 ít hơn số học sinh khối 6 là 50 học sinh.
Bài 7. Học sinh lớp 7A chia thành 3 tổ lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 4. Tìm số học sinh mỗi tổ biết lớp 7A có 45 học sinh.
Bài 8. Một trường có 3 lớp 6. Biết rằng số học sinh lớp 6A bằng số học sinh lớp 6B và bằng số học sinh lớp 6C. Lớp 6C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh 2 lớp kia là 57 học sinh. Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 9. Một bể chứa hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 4 và 5; Chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với 5 và 4. Thể tích của bể là 64m3. Tính chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể.
 Bài 10. Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết số đo các góc Â, , tỉ lệ với: a) 2; 3; 4. 	b) 1; 2; 3.
Bài 11. Tính 2 cạnh của một hình chữ nhật, biết rằng tỉ số giữa 2 cạnh là và chu vi bằng 90 m.
 Bài 12. Tìm 3 cạnh của một tam giác. Biết chu vi tam giác đó bằng 30cm và ba cạnh của nó tỉ lệ với 3;5;7.
Bài 13. Độ dài 3 cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với 3 cạnh đó tỉ lệ với 3 số nào?
Bài 14. Ba đường cao của một tam giác có độ dài bằng 4; 12; x. Biết rằng x là một số tự nhiên. Tìm x( Cho biết mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng hai cạnh kia và lớn hơn hiệu của chúng)
Bài 15. Cho tam giác ABC có các góc ngoài của tam giác tại A, B, C tỉ lệ với 
4; 5; 6. Hỏi các góc trong tương ứng tỉ lệ với các số nào?
Bài 16. Một người đi bộ từ A đến B đã tính rằng: Nếu đi với vận tốc 6 km/h thì đến B lúc 11h 45phút. Nhưng người đó chỉ đi được quãng đường với vận tốc dự định trước, đoạn đường còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5 km/h nên đã đến B lúc 12h. Hỏi người đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB bao nhiêu km?
Bài 17. Một ô tô phải đi từ A đến B trong một khoảng thời gian dự định. Sau khi đi được quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô dự định đi từ A đến B.
Bài 18. Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ 2 địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi quãng đường AB hết 4 giờ 15 phút, xe thứ hai đi quãng đường BA hết 3 giờ 45 phút. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường xe thứ nhất đã đi là 20 km. Tính quãng đường AB.
Bài 19. Để đi từ A đến B có thể dùng các phương tiện: máy bay, ô tô, xe lửa. Vận tốc của máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với 6; 2; 1. Biết rằng thời gian đi từ A đến B bằng máy bay ít hơn so với đi bằng ô tô là 6 giờ. Hỏi thời gian xe lửa đi quãng đường AB là bao lâu?
Bài 20. Trên một công trường xây dựng có 3 đội công nhân làm việc. Biết rằng số công nhân đội I bằng số công nhân đội II và số công nhân đội III; Số công nhân đội I ít hơn tổng số công nhân đội II và đội III là 18 người. Tính số công nhân của mỗi đội.
Bài 21. Ba đội công nhân phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến 3 địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển.
Bài 22. Ba công nhân tiện được tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiện một dụng cụ, người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi người tiện được. 
Bài 23. Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm số gạo của kho đó, xuất ở kho B đi số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi số gạo của kho đó. Khi đó số gạo của 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu, biết rằng số gạo ở kho B ít hơn số gạo ở kho A là 20 tạ.
Bài 24. Ba em bé: An 5 tuổi, Hoà 6 tuổi, Nam 10 tuổi được bà cho 42 chiếc kẹo. Số kẹo được chia tỉ lệ nghịch với số tuổi của mỗi em. Hỏi mỗi em được chia bao nhiêu chiếc kẹo?
Bài 25. Bài toán về “Trạng chia ngựa”
 Theo tích xưa kể lại, một lần ông trạng cưỡi ngựa tới một nơi chăn thả gia súc. ở 
đó có 3 người đang gặp bế tắc trong việc chia ngựa: Họ có 23 con ngựa, theo thoả thuận thì anh A được số ngựa, anh B được số ngựa, anh C được số ngựa. Họ không muốn xẻ đôi, xẻ ba con ngựa khi chia nhưng lại muốn chia theo đúng tỉ lệ mà mỗi người được hưởng. Ông trạng đã nghĩ ra được cách chia ngựa cho họ. Em có biết cách đó như thế nào không?
V. Kết quả
Như đã nói, với vốn kiến thức ít ỏi lại chỉ được học lí thuyết trong một vài tiết nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi làm bài tập về phần này. Sau khi Tôi triển khai chuyên đề này thì đa số các em đều tiếp thu rất tốt và quan trọng là các em biết độc lập chiếm lĩnh kiến thức, chất lượng bài tập học sinh làm tăng lên rõ dệt, hơn cả sự mong đợi. Cụ thể, kiểm tra học sinh lớp 7A của trường THCS Phùng Hưng như sau:
Xếp loại
Giỏi
Khá
Trung bình
Dưới trung bình
Trước khi học
3%
15%
30%
62%
Sau khi học
30%
47%
17%
6%
 VI. Vấn đề còn hạn chế
 Qua quá trình giảng dạy Tôi thấy học sinh nói chung rất cần được trang bị tri thức phương pháp thường xuyên để các em luôn sẵn sàng tiếp cận những kiến thức mới. Với phạm vi kiến thức của học sinh lớp 7 còn hạn chế nên Tôi chưa đề cập tới những bài tập ở mức độ cao hơn nữa.
Đây là mảng kiến thức khá rộng và phổ biến, đa dạng về thể loại, phức tạp về nội dung nên với khoảng thời gian hạn hẹp Tôi chỉ nêu ra một số dạng bài tập. Nếu có thể, Tôi sẽ đầu tư nhiều thời gian hơn nữa để nghiên cứu chuyên đề này sâu hơn nữa.
 VII. Điều kiện áp dụng
 Trước khi thực hiện chuyên đề này, giáo viên cần nghiên cứu kĩ tài liệu tham khảo có liên quan đến từng đơn vị kiến thức cần sử dụng. Tuỳ theo mức độ nhận thức của từng đối tượng học sinh mà giáo viên triển khai các dạng bài cho phù hợp, dẫn dắt và gợi mở kiến thức thật dễ hiểu để bài học đạt hiệu quả cao nhất.
 Chuyên đề này dành cho tất cả học sinh khối 7. Nhưng các em phải nắm vững kiến thức cơ bản có liên quan; Có thể tìm hiểu thêm trong tài liệu tham khảo; Có quyết tâm không ngại bài tập khó, không dừng lại khi chưa tìm ra đáp án cho bài đang làm-cùng với sự dẫn dắt của thầy cô. 	
	 Cuốn sách nhỏ này có thể làm tài liệu cho giáo viên dùng làm tài liệu tham khảo khi tìm hiểu hoặc sử dụng để dạy học mảng kiến thức này, có thể dùng cho học sinh để tự học phần kiến thức này, cũng có thể dùng cho phụ huynh học sinh đọc tham khảo, hoặc bất kì bạn đọc nào yêu thích nó ... 
 VIII. Kết luận	
 Qua quá trình giảng dạy, Tôi thấy nếu giáo viên có sự đầu tư nghiên cứu bài dạy càng kĩ thì hiệu quả đạt được càng cao. Tâm huyết với nghề là một trong những yếu tố tạo nên thành công của bài dạy. Đứng trước những bài tập, kiến thức ở “giới hạn gần tới”, học sinh thường lúng túng, hoang mang vì không biết phải làm như thế nào; Lúc đó chính là thời điểm để giáo viên xuất hiện cùng với vai trò định hướng, dẫn dắt các em bước qua khó khăn, gợi mở để các em không những làm được mà còn làm tốt không chỉ bài đó hay kiến thức đó mà cả những bài, những kiến thức khác, có liên quan hoặc không liên quan bằng những sự liên hệ logic. Đó chính là cách tư duy, kể cả việc nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai thác và mở rộng kiến thức và đặc biệt là biết cách vận dụng nó... Vận dụng như thế nào để mang lại hiệu quả cao nhất! Đó chính là mong muốn của bản thân Tôi và không phải chỉ của riêng mình Tôi.
 Mặc dù đã cố gắng khi phân chia kiến thức và trình bày chuyên đề này nhưng trong quá trình thực hiện không tránh khỏi sai xót, nhầm lẫn hoặc chưa khoa học nên Tôi rất mong nhận được những lời động viên, ý kiến đóng góp quí báu từ phía người đọc để chuyên đề này có thể hoàn thiện hơn nữa về cả nội dung và hình thức, cũng như mang lại hiệu quả hơn nữa khi triển khai tới học sinh. Hy vọng rằng đọc giả sẽ tìm thấy sự bổ ích và đạt được kết quả tốt khi sử dụng cuốn tài liệu nhỏ này!
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
Phùng Hưng, ngày 5 tháng 01 năm 2009 
	Người viết:
 Hoàng Dương
 Tài liệu tham khảo
Kiến thức cơ bản và nâng cao toán 7. NXB HN
Cơ bản và nâng cao toán 7. NXB GD 
Những bài toán cơ bản và nâng cao chọn lọc 7. NXB ĐHSP
Nâng cao và phát triển toán 7. NXB GD
Báo thế giới trong ta.
Báo toán học và tuổi trẻ.
Tuyển chọn 400 bài tập toán 7. NXB Đà Nẵng
Toán bồi dưỡng đại số 7. NXB HN
Toán nâng cao đại số 7. NXB GD
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề NXB GD
Ôn kiến thức-luyện kĩ năng đại số 7. NXB GD
12.Một số sách báo tham khảo khác.