Chuyên đề Toán Lớp 7: Tỉ lệ thức

	I/ TỈ LỆ THỨC:
	1/ Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số
	Đặc biệt:
	+ Nếu (=0) thì đẳng thức xảy ra với mọi giá trị 
	+ Nếu () thì đẳng thức xảy ra x = y
	2/ Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu thì ad=bc
	3/ Tính chất 2: 
Nếu thì 
	4/ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 
 hay 
	mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
Từ ta có: 
Từ ta có: 
	Khi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
 ; thực hiện phép tính từ “các tử của các tỉ số” đã cho, có thể xảy ra kết quả bằng “không”. Nghĩa là a+c+e=0 hay . Vì vậy, khi sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nên lần lượt xét các trường hợp sau:
	1/ Kết quả của phép tính các từ từ các tỉ lệ thức bằng “không”
 Chẳng hạn: Khi thực hiện , trước tiên ta xét trường hợp a+c+e=0
	2/ Tiếp tới xét để đảm bảo tồn tại tỉ số vừa hình thành.
	II/ PHƯƠNG PHÁP, CÁCH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC
	- Cách 1: Đặt ẩn phụ
	- Cách 2: Sử dụng phương pháp của dãy tỉ số bằng nhau.
	- Cách 3: Phương pháp thế.
	III/ HƯỚNG DẪN GIẢI QUYẾT CSC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC
Dạng 1: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức
	A/ Đặt ẩn phụ:
	Ví dụ: Tìm hai số x và y biết và x+y=20
	Đặt 	
	Suy ra x=2k; y=3k
	Theo giả thiết: x+y=20
	Suy ra 2k+3k=20
	Hay	 5k=20
	Tức	 k=4
	Do đó x=2.4=8; y=3.4=12
	Vậy: x=8; y=12	
	B/ Sử dụng phương pháp của dãy tỉ số bằng nhau:
	Ví dụ: Tìm hai số x và y biết và x+y=20
	Biết 
	Do đó: hay x=8
 hay y=12
	 	Vậy: x=8; y=12	
	C/ Phương pháp thế:
	Ví dụ: Tìm hai số x và y biết và x+y=20
	Biết 
	Mà 
	Do đó hay x=8
	 	Vậy: x=8; y=12
	Ví dụ 1: Tìm x biết:
 (*)
	Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, từ (*) suy ra:
 (**)
(Chú ý: Tại kết quả này, ta nên xét trường hợp a+b+c+d=0. Vì có trường hợp các tử số của các tỉ số khi thực hiện cộng hay trừ thì sẽ xảy ra kết quả bằng không)
	Lưu ý 1:	Nếu: - a+b+c+d= 0
	Tức là: a=-(b+c+d) ; b=-(a+c+d) ; c=-(a+b+d) ; d=-(a+b+c)
	Khi đó 
	Lưu ý 2:	Nếu: - thì từ (**) suy ra:
	 	Vậy: x=-1; 
	Ví dụ 2: Tìm x, y biết:
 (1)
	Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, suy ra:
	Hay (***)
	Lưu ý 1:	Với: 
	Suy ra 
	Lưu ý 2:	Với: 
	 từ (***) suy ra: 6x=12 hay x=2, từ x=2 thay vào (1) ta được:
	Hay 3y-2=7 suy ra 3y=9 tức là y=3
	Vậy: x= và ; x=2 và y=3
	Ví dụ 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
 (***)
Tính: M=
	Hướng dẫn giải:
	- Ta cần tạo ra các tỉ số có mẫu: z+t ; x+t ; x+y ; y+z
	- Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
	Giải :
	Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
	Từ (***), ta có: 
 	 (1)
	 (2)
 (3)
 (4)
	Từ (1) suy ra: (5)
	Từ (2) suy ra: (6)
	 	Từ (3) suy ra: (7)
	 	Từ (4) suy ra: (8)
 	Từ (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8) suy ra:
 (9)
(Chú ý: Tại kết quả này, ta nên xét trường hợp x+y+z+t=0. Vì có trường hợp các tử số của các tỉ số khi thực hiện phe4sp tính sẽ xảy ra kết quả bằng không)
Lưu ý 1	Với: x+y+z+t=0 thì x+y=-(z+t) ; y+z=-(x+t) ; z+t=-(x+y) ; x+t=-(y+z)
Lưu ý 2:	Với: x+y+z+t0 
	Vậy: M=-4 ; M=4
	Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết rằng:
 (a)
	Giải:
	Vế trái của (a): 
	 (b)
(Riêng bài này bài toán đã cho  ; nên không xét trường hợp x+y+z=0. Nếu bài này mà xét trường hợp x+y+z=0 thì kết quả dẫn tới mâu thuẫn, sai lầm)
	Như vậy, ta có thể giải quyết bài toán trên:
	Giải:
	Vế trái của (a): (vì ) (b)
	Từ (a) và (b), suy ra: 
	Hay ; y+z=-x ; x+z=-y ; x+y=-z thay vào (b)
	Ta có: x= ; y=; z=
	Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức . Hãy tìm x
	Giải:
	Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, suy ra:
	Lưu ý 1:	Với: (thỏa mãn đk bài toán)
	Lưu ý 2:	Với: 
	Hay (thỏa mãn đk bài toán)
	Vậy: x=-8 ; x=8
	Trong trường hợp này không quan tâm đến « lưu ý 1 » thì sẽ mất giá trị x=-8
	Nếu sử dụng tính chất cơ bản 1:
	 x+8=0 hoặc x-8=0
 x=8; x=-8
Dạng 2: Chứng minh các tỉ lệ thức
	*/ Chứng minh tồn tại một tỉ lệ thức hay dãy tỉ lệ thức bằng nhau
	 Từ một tỉ lệ thức suy ra một đẳng thức
	- Phương pháp1: Chứng tỏ rằng A.D=C.D (sử dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức)
	- Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số có cùng giá trị.
	- Phương pháp 3: Phối hợp các tính chất tỉ lệ thức (hoán vị các hạng tử - sử dụng tính chất 2), tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính chất các đẳng thức.
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
	+ 
	+ 
	+ Thay vì nói có thể ghi 
	+ viết cách khác
SAI LẦM
	*/ Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau
(sai lầm)
	- Thêm bớt vào đẳng thức:
; ; ; 
	- Tạo tích các tỉ số:
	+ Sử dụng: 
	+ Thay tỉ số khác có cùng giá trị với tỉ số đó
 Chẳng hạn: Cho tỉ lệ thức 
	+ Nếu tìm 
 thay vì thì thay bỡi 
	+ Nếu tìm 
 thay vì thì thay bỡi và 
	Có các cách ra đề như sau:
	Ví dụ 1: 
	+ Cho tỉ lệ thức chứng minh rằng (giả thiết các tỉ số đếu có nghĩa)
	+ Cho tỉ lệ thức chứng minh rằng 
	+ Cho chứng minh rằng 
 (Lưu ý: Cho dạng chưa chắc là tỉ lệ thức vì vậy cần điều kiện: )
	Ví dụ 2: 
	+ Cho . Chứng minh rằng 
	+ Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng 
	+ Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng (giả thiết các tỉ số đếu có nghĩa)
	- Có thể ghi điều kiện cụ thể
	- Cũng có thể ghi tổng quát là «đủ điều kiện để tồn tại »
 Phần minh Họa:
	 Cho . Chứng minh rằng 
	CÁCH 1: Sử dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức 
Nếu thì ad=bc
	Phân tích bài toán, cần xác định:
	- Giả thiết bài toán : 
	- Yêu cầu, chứng tỏ tỉ lệ thức xảy ra
	Như vậy, để kết luận được phải có:
	Qua phân tích bài toán như trên :
	- Dựa vào dự kiện bài toán
	- Xét các biểu thức: a(c-d) và c(a-b)
	- Tìm mối liên hệ của a(c-d) và c(a-b)
	Giải:
	Biết: a(c-d) = ac-ad 	(1)
	 c(a-b) = ac-cb	(2)
	 	(3)
	Từ (1), (2) và (3) suy ra a(c-d) = c(a-b)	(4)
	Vì , do đó: (đpcm)
	CÁCH 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số có cùng giá trị.
	Qua phân tích bài toán như trên:
	- Dựa vào dự kiện bài toán
	- Kiểm tra giá trị của: (tính theo k)
	- Nếu giá trị của hai tỉ số trên như nhau thì bài toán được chứng minh.
	Giải:
	Đặt (theo điều kiện bài toán )
	Suy ra: a=bk ; c=dk
	Do đó: 	(1)
 	(2)
	Từ (1), (2) suy ra: (đpcm)
	CÁCH 3: Phối hợp các tính chất
	Theo giả thiết của bài toán:
	Biết: (sử dụng tính chất 2)
 (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
 (sử dụng tính chất 2)
	Một cách khác:
	Theo giả thiết của bài toán:
	Biết (thêm bớt giá trị của đẳng thức)
 (tính chất 2)
 (tính chất 2)
	Bài 1: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh 
	*/ Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau
(sai lầm)
	- Tìm cho được 
	- Tìn 
	- So sánh và 
	Giải:
	Biết: 	(1)
(Để tìm ta viết (a); mà nên thay vì viết lại viết )
	Mặt khác 	(2)
	Từ (1), (2) suy ra (đpcm)
	Một cách khác:
	Đặt thì a=bk ; c=dk	
	Ta có: 	(1)
	(2)
	Từ (1), (2) suy ra (đpcm)
	Bài 2: Cho tỉ lệ thức . Tìm giá trị của tỉ số 
	- Có thể tính giá trị của x, y
	- Sau đó tính 
	Hoặc :
	- Từ giả thuyết bằng kỹ thuật biến đổi để suy ra dạng 
	Giải: Dùng phương án 1
	Cho tỉ lệ thức 
	Suy ra 
	Giải: Dùng phương án 2
	Từ 
	Suy ra 
	Bài 3: Cho tỉ lệ thức . Tìm giá trị của tỉ số x, y
	Biết (tạo xy dùng kỹ thuật bình phương)
	Nếu 
	Nếu 
	Vậy: x=8 , y=12 ; x=-8, y=-12
	Bài 4: Chứng minh rằng nếu a2 = bc (với ; ) thì 
 .
	Ta có : 
	Suy ra 
	Bài 5: Cho tỉ lệ thức trong đó . Chứng minh c=0
	Theo điều kiện bài toán , ta có:
	Bài 6: Cho tỉ lệ thức . Chứng tỏ rằng a=c hoặc a+b+c+d=0
	Ta có: 	(a)
	Trường hợp a=1, b=2, c=3, d=-6 a+b+c+d=0
	Trường hợp 
	Từ (a) suy ra 
	Hay a+b=b+c a=c
	Vậy: a+b+c+d=0 hoặc a=c
	Bài 7: Cho tỉ lệ thức thì 
	- Phân tích bài toán :  ; có nghĩa là b ; d và - kết hợp với giả thiết a, c và 
	- Phải chứng minh cho được 
	Giải:
	 Với điều kiện bài toán ta có:
	(1)
 	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra 
	Ngược lại:
	Cho tỉ lệ thức với thì 
	Giải:
	Từ tỉ lệ thức 
	Vì giả thiết  ; 
	Bài 8: Cho tỉ lệ thức Chứng minh 
	Giải:
	 Biết (vì )
	Bài 9: Tìm phân số biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu thì giá trị của phân số đó không đổi..
	Phân tich bài toán:
	- Bài toán tìm số 
	- Yêu cầu vận dụng định nghĩa của tỉ lệ thức để tìm ra yêu cầu của bài toán
	Giải:
	Gọi x là một số khác 0, , theo giả thiết bài toán, biết:
 Tìm điều kiện a,b biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu thì giá trị của phân số không thay đổi.
	- Cách giải giống như trên
	- Phần kết luận nên dựa vào 
	Bài 10: Cho . Chứng minh rằng 
	Cách giải: 
	- Sử dụng và phép thay giá trị tương ứng.
	Giải:
	Theo giả thiết bài toán:
 	(1)
 	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra 
	Bài 11: Cho . Chứng minh rằng a=b=c
	Đặt với k0
	Suy ra:
 	(1)	
 	(2)	
 	(3)
	Từ (1), (2) và (3) nhân vế với vế, ta có: k3=1 hay k=1
	Suy ra 
	Vậy: a=b=c
	Bài 11: Cho . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
	Giải:
	Theo giả thiết: 	(*)
	 Biết 	(**)
	Lưu ý 1:	Với: 
	Từ (*) suy ra 
	Lưu ý 2:	 Với: , từ (**) suy ra: 
	Vậy: A=-1 ; 
	Bài 12: Cho tỉ số . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.
	Giải:
	- Với x=0 và theo giả thiết bài toán thì 
	- Với thì 
	Vậy P=k không phụ thuộc vào giá trị x