Chuyên đề Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7

A. Đặt vấn đề
 Môn Toán là một trong những môn học khó, đòi hỏi ngời học và người dạy đều phải có những phương pháp dạy và học thích hợp thì mới đem lại kết quả như mong muốn. Đặc biệt là phần Hình học 7, các em vừa làm quen với việc chứng minh một bài toán hình như thế nào là đúng trình tự , cách lập luận để đi từ giả thiết đến kết luận . Với nhiều em như vậy đã là khó , vì vậy nhiều em rất ngại học phần này, nhất là khi gặp những bài toán cần vẽ thêm yếu tố phụ.
 Trong khi tìm phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn thuận lợi hơn. Thậm chí, có đề bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra được lời giải của bài toán.Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn gọn và hay là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ.
 Để giải quyết vấn đề trên đây tôi xin đưa ra một số định hướng qua việc nghiên cứu giảng dạy và học tập kiến thức về “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hinh học 7” để các đồng nghiệp cùng tham khảo, đóng góp ý kiến , giúp cho việc giảng dạy của giáo viên và việc học tập của học sinh đạt kết quả tốt hơn. 
 Nội dung của sáng kiến bao gồm : 
 A. Đặt vấn đề
 B. nội dung
 I. một số ví dụ cơ bản
 II. Nhận xét 
 iii. bài tập nâng cao
 c. kết luận 
I . một số ví dụ cơ bản:
Bài 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng: AM = BC 
 Chứng minh :
 AM = BC B E
 AE = BC 
 M 
 ABC = CEA
 AB = EC
 A C
 ABM = ECM
* Định lí:
 Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
Bài 2 .
 Cho tam giác ABC vuông tại A, có B = 300. Cmr : AC = BC.
 Chứng minh :
 * Cách 1. AC = BC
 AC = CM C
 ACM đều M
 AM = CM = BC(theo bài 1)
 và B = 300 C = 600 A B
 * Cách 2.
 AC = BC 
 CE = CB
 CEB đều
 E
 CEB cân có: C = 600
 ABC = ABE
* Định lí:
 Trong một tam giác vuông cạnh đối diện với góc 300 thì bằng nửa cạnh huyền.
Bài 3 .
 Cho tam giác ABC có AB < AC , đường cao AH , trung tuyến AM chia góc A làm ba góc bằng nhau. Tính số đo các góc của tam giác ABC
 Chứng minh :
 Từ M kẻ MK vuông góc với AC
 AMH = AMK (c. huyền - g. nhọn)
 HM = MK (1)
 AHB = AHM 
 HB = HM 
 HM = BM (2) B
 Từ (1) và (2) suy ra KM = BC = MC H
 C = 300 M 
 HAC = 600
 BAC = 900 A K C
 ABC = 600
II. nhận xét :
Qua một số ví dụ trên ta thấy “ Vẽ thêm hình phụ” nhằm mục đích :
 - Tạo ra các tam giác bằng nhau nhờ đó chứng minh được các đoạn thẳng bằng nhau , các góc bằng nhau . Cách tạo ra các tam giác mới tuỳ thuộc vào đề bài cho, chú ý hoặc có thể tạo ra tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều.
 - Tạo ra các đoạn thẳng , các góc trung gian ở vị trí thuận lợi hơn, làm xuất hiện các quan hệ mới có liên quan tới các yếu tố trong bài như : tam giác cân, tam giác đều, đường thẳng vuông góc, đường thẳng song song, đường trung bình của tam giác...
 - Cần lưu ý các quan hệ nêu ở GT hay KL mà vẽ thêm trung điểm của đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước, vẽ thêm đường song song hay đường vuông góc với đường đã cho, vẽ thêm tia phân giác của một góc, tạo một góc bằng góc cho trước, tạo giao điểm của hai đường thẳng ...
 - Đường phụ vẽ thêm phải dựng được bằng các phép dựng hình cơ bản ( bằng thước và compa).Thường có nhiều cách tạo ra một đường phụ song nên chọn cách để dẫn tới việc chứng minh đơn giản nhất .
iii. bài tập nâng cao :
Bài 4:
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d . Vẽ BD , CE cùng vuông góc với d. 
a) Cmr DE = BD + CE.
b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC .Chứng minh rằng : Tam giác DME vuông cân tại M
 Chứng minh :
Xét tam giác vuông adb và tam giác vuông CEA có 
 AB = AC (gt) 
 DBA = EAC ( cùng phụ DAB ) 
 ADB = CEA(c.huyền – g.nhọn)
 BD = AE , AD = CE 
 BD + CE = AE + AD = DE d 
b) Kẻ AM suy ra tam giác AMB = AMC B 
 MAB = MAC = 450 
 AMB vuông cân tại M D 
 MA = MB 
 BDM và AEM có : M
 MB = MA(cmt)
 MBD = MAE (DBA + 450 = EAC + 450) A
 BD = AE (cmt)
 BDM = AEM(c.g.c) C
 MD = ME, BMD = AME E
 DMA + BMD = DMA + AME = 900
 Tam giác DME vuông cân tại M
Bài 5: 
 Cho tam giác ABC có góc C = 900, AC < BC , đường cao CH chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có hiệu độ dài bằng AC. Tính các góc còn lại của tam giác ABC.
 Chứng minh :
Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HA = HE 
 HB = HE + EB
 HB = AH + EB
 Mà HB - AH = AC (gt) A
 AH + EB – AH = AC H
 EB = AC E
 Ta có: CH AE (gt)
 HA = HE(cách vẽ) 
 HC là đường trung trực của AE 
 AC = CE C B
 ACE cân tại C
 A = CEA
 Ta có: AC = CE(cmt)
 EB = AC(cmt) CE = EB
 CEB cân tại E
 B = C1
Vì E1 là góc ngoài đỉnh E của tam giác CEB 
 E1 = A = C1 + B = 2B
 Tam giác ABC có C = 900 A + B = 900 
 3B = 900 B = 300 và A = 600
* Cách 2.
Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = AC.
Ta có HB – AH = AC 
 HB = AH + AC K
 HB = AH + AK
 HB = HK
 mà KH KB A 
 HC là đường trung trực của KB H
 CK = CB
 KCB cân tại C K = B
 mà K = C1 CAB = K + C1= 2K = 2B
 B = 300 , A = 600
 C B
Bài 6: 
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 200. Trên nửa mặt phẳng không chứaB bờ AC , vẽ tia Cx sao cho ACx = 600, trên tia ấy lấy điểm D sao cho CD = CB . Tính góc ADC.
 Chứng minh.
Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ là AC , vẽ tia Cy sao cho ACy = 600, tia này cắt AB ở E
 CBE có B = 800 A
 CEB = ACE + CAE = 600+ 200 = 800
 CBE cân tạiC CB = CE 
 ACD = ACE(c.g.c) x 
 y 
 ADC = AEC = 1000 E D
 B C
Bài 7: (đề kiểm tra HSG trường THCS thị trấn Hưng Hà)
Cho tam giác ABC cân , góc A = 1080. Gọi I là một điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho góc CBI = 120. Cmr : ABI cân
 Chứng minh:
 Vẽ tam giác đều BIM( M và A cùng thuộc 
 một nửa mặt phẳng bờ BI).
 CIM = CIB (c.g.c) M
 CMI = CBI = 120 và MCI = BCI = 180 A
 mà ACI = 180
 ba điểm C, A, M thẳng hàng. I
 MAB = 720(vì A = 1080) B C
 Mặt khác :
 BMA = BMI + IMA = 600 + 120 = 720
 ABM cân tại B 
 BA = BM
 mà BM = BI(vì BMI đều)
 BA = BI
 ABI cân tại B
 Hoàn toàn tương tự ta có các bài 142 , 143 , 144 , 145 sách Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 2
Bài 8 (trích đề kiểm tra HSG huyện Hưng Hà năm học 2007 – 2008)
Cho tam giác ABC có I là trực tâm . Chứng minh rằng : 
AB + AC + BC > (IA + IB + IC) A
 Chứng minh :
 Kẻ IE AB , IF BC F I
 IB < IE + EB = BF + BE (1) 
 Do AI BC 
 IF BC B E C 
 AI IF AI < AF (2)
 Tương tự ta có: IC < EC (3)
 Từ (1), (2), (3) suy ra : IA + IB + IC < BF + BE + AF + EC = AB +AC
 Vậy : AB + AC > IA + IB + IC 
 Chứng minh tương tự ta có : AB + BC > IA + IB + IC 
 và : AC + BC > IA + IB + IC 
 2(AB + AC + BC) > 3(IA + IB + IC )
 AB + AC + BC > (IA + IB + IC) 
 Học sinh có thể làm thêm một số bài tập tương tự và cần vẽ thêm yếu tố phụ:
 Bài 9. 
 Cho tam giác ABC có B = 450, C = 150 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2 BC. Kẻ DE vuông góc với AC ( E thuộc AC).
 a) Chứng minh rằng EB = ED.
 b) Tính góc ADB.
 Hướng dẫn : Vẽ tam giác đều CEF ( hoặc vẽ trung tuyến EF)
 Bài 10.
 Điểm M nằm bên trong tam giác ABC vuông cân tại B sao cho 
MA : MB :MC = 1 : 2 : 3 . Tính góc AMB.
 Hướng dẫn : Vẽ tam giác MBK vuông cân tại B ( K và A nằm cùng phía đối với BM). Đặt MA = x , MB = 2x , MC = 3x.
Hoàn toàn tương tự ta có bài:
 Bài 11. 
 Điểm M nằm bên trong tam giác ABC đều sao cho 
MA : MB : MC = 3 : 4 : 5 . Tính góc AMB.
C Kết luận
 Qua tìm hiểu một số sách tham khảo tôi chưa thấy cuốn sách nào nói đến một phương pháp chung cho cách vẽ thêm hình phụ trong các bài toán hình học , qua thực tế giảng dạy theo tôi để làm tốt các bài toán loại này, trước tiên mỗi giáo viên phải tự trang bị cho mình một nền tảng kiến thức vững vàng, tiếp đó là không ngừng học tập trao đổi chuyên môn, từ đó làm cho bài giảng thêm sinh động, hấp dẫn đối với các em . Có như vậy thì các em mới ngày càng say mê đối với môn Toán , đặc biệt là hình học.Bài viết của tôi trên đây không ngoài mục đích đó, song do thời gian và năng lực còn hạn chế nên còn thiếu xót . 
 Rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp !
 Hoà Tiến ngày 15 tháng 5 năm 2008 
 Nguyễn Thanh Tùng