Đề cương ôn tập Toán 7 - Các dạng toán và phương pháp giải toán

TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 1 
CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ 
I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP 0 1 2 
- Số tự nhiên: N 
- Số nguyên: Z -2 -1 0 1 2 
- Số hữu tỉ: Q 2 1 -1/2 0 1 3/2 2 
- Số vô tỉ: I 0 2 
 - Số thực: I+Q=R 
II. Số hữu tỉ: 
1. Kiến thức cần nhớ: 
- Số hữu tỉ có dạng trong đó b≠0; là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái 
dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hữu tỉ âm. 
- Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: 
Cách 1:Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Ví dụ: ) và số thập phân hữu hạn (Ví dụ: ) 
Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và số 0 
- Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực hiện như phân số: 
Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ 
1. Qui tắc 
- Đưa về cùng mẫu, rồi cộng trừ tử số giữ 
nguyên mẫu. 
- Nhân tử với tử, mẫu với mẫu 
- Phép chia là phép nhân nghịch đảo. 
- Nghịch đảo của x là 1/x 
Tính chất 
a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x . y = 
y. z 
b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) 
(x.y)z = x(y.z) 
c) Tính chất cộng với số 0: 
x + 0 = x; 
x.y=y.x ( t/c giao hoán) 
(x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) 
 x.1=1.x=x 
 x. 0 =0 
 x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối 
của phép nhân đối với phép cộng 
Bổ sung 
Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa là: 
 ; ; x.y=0 suy ra x=0 hoặc y=0 
 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) 
- Các kí hiệu: : thuộc ,  : không thuộc , : là tập con 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 2 
2. Các dạng toán: 
Dạng 1: Thực hiện phép tính 
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số. 
- áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính. 
- Rút gọn kết quả (nếu có thể). 
Chỉ được áp dụng tính chất: 
a.b + a.c = a(b+c) 
a : c + b: c = (a+b):c 
 Không được áp dụng: 
 a : b + a : c = a: (b+c) 
Ví dụ: 
Bài 1: 
a) 26
1
3
2  b) 5
1
30
11  c) 4
17.34
9 d) 24
11.17
11 e) 4
3:2
5 ; f) 

 5
42:5
14 
Bài số 2: Thực hiện phép tính: 
a) 

  4
3
2
1.43
2 b) 711.6
5
3
1 

  
c) 1 1 1 7
24 4 2 8
          d) 
5 7 1 2 1
7 5 2 7 10
                 
Bài số 3: Tính hợp lí: 
a) 2 3 16 3. .
3 11 9 11
           b) 
1 13 5 2 1 5
: :
2 14 7 21 7 7
             c) 
4 1 5 1
: 6 :
9 7 9 7
            
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: 
-Phương pháp: Nếu là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy 
về phía chiều dương trục Ox a phần , ta được vị trí của số 
Ví dụ: biểu diễn số : ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được 
phân số biểu diễn số 
Hình vẽ: 
Nếu là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều âm 
trục Ox a phần , ta được vị trí của số 
BÀI TẬP 
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: a. 
Dạng 3: So sánh số hữu tỉ. 
Phương pháp: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 3 
* Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số. 
* So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1 
* Dựa vào phần bù của 1. 
* So sánh với phân số trung gian( là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia) 
BÀI TẬP 
Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau: 
a) 25x
35
 và 444y
777
  ; b) 
1x 2
5
  và 110y
50
  c) 
17x
20
 và y = 0,75 
Bài 2. So sánh các số hữu tỉ sau: 
a) 1
2010
 và 7
19
 ; b) 3737
4141
 và 37
41
 ; c) 497
499 và 
2345
2341

 d) 2
1 và 3
1 
e) 5
2 và 4
3 f) 2002
2001
2001
2000 và ; g) 2000
2001 và 2001
2002 ; h) 5
3 và 9
4 ; k) 60
19 và 90
31
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số hữu tỉ dương, âm, là số 0 (không dương không âm). 
Phương pháp: 
Dựa vào t/c là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu, bằng 0 nếu a=0. 
Ví dụ: Cho số hữu tỉ m 2011x
2013
 . Với giá trị nào của m thì : 
a) x là số dương. b) x là số âm. c) x không là số dương cũng không là số âm 
HD: 
a. Để x>0 thì , suy ra m-2011>0 ( vì 2013>0), suy ra m>2011 
b. Để x0), suy ra m<2011 
c. Để x=0 thì , suy ra m-2011=0 suy ra m=2011 
BÀI TẬP: 
Bài 1. Cho số hữu tỉ 20m 11x
2010
  . Với giá trị nào của m thì: 
a) x là số dương. b) x là số âm 
Bài 2. Hãy viết số hữu tỉ 7
20
 dưới dạng sau: 
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm. 
b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương. 
Bài 3. Viết số hữu tỉ 1
5
 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm. 
Bài 4. Hãy viết số hưu tỉ 11
81
 dưới các dạng sau: 
a) Tích của hai số hữu tỉ. b) Thương của hai số hữu tỉ. 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 4 
Bài 5. Hãy viết số hữu tỉ 1
7
 dưới các dạng sau: 
a) Tích của hai số hữu tỉ âm. b) Thương của hai số hữu tỉ âm. 
Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng: 
Phương pháp: 
- Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số 
Ví dụ: Tìm a sao cho 
HD: Từ bài ra ta có: ; suy ra 8<a<108, a={9,10..107} 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm năm phân số lớn hơn và nhỏ hơn . 
Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho: 
a) c) 
b) d) 
Dạng 6:Tìm x để biểu thức nguyên. 
Phương pháp: 
- Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết. 
- Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số. 
- Với các bài toán tìm đồng thời x,y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức. 
Ví dụ: Tìm x để A= là số nguyên 
Giải: Điều kiện: x-1 ≠ 0 hay x≠ 1 
Để A nguyên thì 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} 
x-1 -5 -1 1 5 
x -4 0 2 6 
Ví dụ: Tìm x để B= là số nguyên 
Cách 1:Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số ( Khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới 
mẫu số): 
- Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu. 
 B= , ( điều kiện: x≠ 1). 
Để B nguyên thì là số nguyên hay 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} 
x-1 -5 -1 1 5 
x -4 0 2 6 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 5 
Cách 2:Dùng dấu hiệu chia hết: 
- Các bước làm: 
- Tìm điều kiện. 
- , nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu 
Điều kiện: x ≠ 1. 
Ta có: 
 x-1 x-1 nên 2(x-1) x-1 hay 2x-2 x-1 (1) 
Để B nguyên thì 2x+3 x-1 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 2x+3-(2x-2) x-1 hay 5 x-1. Suy ra (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} 
x-1 -5 -1 1 5 
x -4 0 2 6 
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên 
Giải: Ta có suy ra suy ra. 
Hay (6x+4)-(6x+3) => 1 2x+1=> 2x+1 Ư(1)={-1;1} 
suy ra x=0, -1 
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên: 
a. A= b. B= 
HD: 
a. Ta có : x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x2+4x x+4 (1) 
Để A nguyên thì x2+4x+7 x+4 (2) . Từ (1) (2) suy ra 7 x+4 . 
x+4 -1 1 -7 7 
X -5 -3 -11 3 
b. x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x2+4x x+4 (1) 
Để B nguyên thì x2+7 x+4 (2) 
Từ (1) (2) suy ra (x2+4x)- (x2+7) x+4 
4x-7 x+4 => 4(x+4)-23 x+4 => 23 x+4 
 x+4 -1 1 -23 23 
 x -5 -3 -27 19 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 6 
Với các biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm như sau: 
- Nhóm các hạng tử chứa xy với x (hoặc y). 
- Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích. 
Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy+3y-3x=-1 
Giải: 
y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y ) 
y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) 
(x+3)(y-3)=-10 
Lập bảng: 
x+3 1 10 -1 -10 5 2 -5 -2 
y+3 10 1 -10 -1 2 5 -2 -5 
X -2 7 -4 -13 2 -1 -8 -5 
Y 7 -2 -13 -4 -1 2 -5 -8 
Với các biểu thức có dạng: ta nhân quy đồng đưa về dạng Ax+By+Cxy+D=0 
Ví dụ: (nhân quy đồng với mẫu số chung là 3xy) 
  3x+3y-xy=0 ( bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0) 
 x(3-y)-3(3-y)+9=0  (x-3)(3-y)=-9 
Lập bảng: 
x-3 1 -9 -3 3 
3-y -9 1 3 -3 
x 4 -6 0 6 
y 12 2 0 6 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = 101
a 7

 là một số nguyên. 
Bài 2: Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t = 3x 8
x 5

 là một số nguyên. 
Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ 2m 9x
14m 62
  là phân số tối giản, với mọi m N 
Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau nguyên 
A= ; B= ; C= ; D= ; E= 
Bài 5: Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn: 
a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 7 
Dạng 7: Các bài toán tìm x. 
Phương pháp: 
- Quy đồng khử mẫu số 
- Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế ( chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x 
Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không. 
- Chú ý các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các 
bài toán tìm x có quy luật. 
BÀI TẬP 
Bài 1. Tìm x, biết: 
a) x. 3 5
7 21
     ; b) 
5 281 .x
9 9
 ; c) 2 15x :
5 16
      ; d) 
4 2: x
7 5
   
Bài 2. Tìm x, biết: 
a) 2 5 3x
3 7 10
  ; b) 3 1 3x
4 2 7
  
Bài 3. Tìm x, biết: 
a) 1 3 33x x
2 5 25
  ; b) 2 4 1 3x : x 0
3 9 2 7
         ; c) 
x 5 x 6 x 7 3
2005 2004 2003
      
Bài 4: a) x x x x1 3 5 7
65 63 61 59
      b) x x x x29 27 17 15
31 33 43 45
      
 c) x x x x6 8 10 12
1999 1997 1995 1993
      d) x x x x1909 1907 1905 1903 4 0
91 93 95 91
        
 e) x x x x x x29 27 25 23 21 19
1970 1972 1974 1976 1978 1980
           
 x x x x x x1970 1972 1974 1976 1978 1980
29 27 25 23 21 19
          
HD: 
 => => x= -2010 
Bài 5:Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) 
 a) x x x x1 3 5 7
35 33 31 29
      (HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử) 
 b) x x x x x10 8 6 4 2
1994 1996 1998 2000 2002
         (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 
 x x x x x2002 2000 1998 1996 1994
2 4 6 8 10
         
 c) x x x x x1991 1993 1995 1997 1999
9 7 5 3 1
         
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 8 
 x x x x x9 7 5 3 1
1991 1993 1995 1997 1999
         (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 
 d) x x x x85 74 67 64 10
15 13 11 9
       (Chú ý: 10 1 2 3 4    ) 
 e) x x x x1 2 13 3 15 4 27
13 15 27 29
      (HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử) 
Dạng 8: Các bài toán tìm x trong bất phương trình: 
Phương pháp: 
- Nếu a.b>0 thì hoặc ; - Nếu a.b≥0 thì hoặc ; 
- Nếu a.b<0 thì hoặc ; - Nếu a.b≤0 thì hoặc 
- Nếu thì hoặc ;- Nếu hoặc ; 
- Nếu hoặc ; - Nếu hoặc 
Chú ý: Dạng toán a.b<0 có cách giải nhanh bằng việc đánh giá. Hãy xem Ví dụ c. 
Ví dụ: 
a. (2x+4)(x-3)>0 b. c. (x-2)(x+5)<0 
HD: 
a. (2x+4)(x-3)>0 suy ra hoặc 
=> hoặc  ...  góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác. 
Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng 
thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với 
cạnh đó. 
 Nhận xét: 
 Trong một tam giác,nếu hai trong bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác, 
đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh 
này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân. 
 Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam 
giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. 
Bμi tËp: 
Bμi 1: Gäi AM lμ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC, A/M/ lμ ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c 
A/B/C/. biÕt AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC vμ A/B/C/ 
b»ng nhau. A 
Gi¶i: 
XÐt ABC vμ  A/B/C/ cã: 
AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C 
(Cã AM lμ trung tuyÕn cña BC A/ 
vμ A/M/ lμ trung tuyÕn cña B/C/) 
AM = A/M/ (gt) 
ABM A/B/M/ (c.c.c) 
Suy ra B = B/ B/ M/ C/ 
V× cã AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) 
B = B/ (c/m trªn) 
J
C
B ≡ I ≡ K ≡ O
A
O
K
J
I
CB
A
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 159 
Suy ra: ABC A/B/C/ 
Bμi 2: Cho tam gi¸c ABC (A = 900) trung tuyÕn AM, tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D sao cho 
MD = MA. 
a. TÝnh sè ®o ABM 
b. Chøng minh BADABC  
c. So s¸nh: AM vμ BC 
Gi¶i: 
a. XÐt hai tam gi¸c AMC vμ DMB cã: B D 
MA = MD; MC = MB (gt) 
M1 = M2 (®èi ®Ønh) M 
Suy ra DMBAMC  (c.g.c) 
 MCA = MBD (so le trong) 
Suy ra: BD // AC mμ BA  AC (A = 900) A C 
 BA  BD  ABD = 900 
b. Hai tam gi¸c vu«ng ABC vμ BAD cã: 
AB = BD (do DMBAMC  c/m trªn) 
AB chung nªn BADABC  (hai tam gi¸c vu«ng cã hai c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau) 
c. BADABC  
BC = AD mμ AM = 2
1 AD (gt) Suy ra AM = 2
1 BC 
Bμi 3: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC; BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c 
ABC. Chøng minh r»ng CN > BM. 
Gi¶i: 
Gäi G lμ giao ®iÓm cña BM vμ CN 
XÐt ABC cã BM vμ CN lμ hai ®−êng 
trung tuyÕn c¾t nhau t¹i G 
Do ®ã: G lμ trong t©m cña tam gi¸c ABC 
Suy ra Gb = 3
2 BM; GC = 3
2 CN 
VÏ ®−êng trung tuyÕn AI cña ABC A 
Ta cã: A; G; I th¼ng hμng 
XÐt AIB vμ AIC cã: 
AI c¹nh chung, BI = IC G 
AB < AC (gt)  AIB < AIC 
XÐt GIB vμ GIC cã B I C 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 160 
GI c¹nh chung; BI = IC 
AIC > AIB GC > GB  CN > BM 
Bμi 4: Cho tam gi¸c ABC cã BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn vμ CN > BM. Chøng minh 
r»ng AB < AC 
Gi¶i: A 
Gäi G lμ giao ®iÓm cña BM vμ CN 
ABC cã: BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn N M 
Do ®ã: G lμ trong t©m cña tam gi¸c ABC G 
Suy ra GB = 3
2 BM; GC = 3
2 CN 
VÏ ®−êng trung tuyÕn AI cña tam gi¸c ABC B I C 
th× I ®i qua G (TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn) 
Ta cã: CN > BM mμ GB = 3
2 BM; GC = 3
2 CN nªn GB < GC 
XÐt GICGIB  cã: 
GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC 
XÐt AIB vμ AIC cã: 
AI c¹nh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC 
Bμi 5: Trªn h×nh bªn cã AC lμ tia ph©n gi¸c gãc BAD vμ CB = CD 
Chøng minh: ABC = ADC B 
Gi¶i: H 
VÏ CH  AB (H  AD) A C 
CK  AD (K  AD) 
C thuéc tia ph©n gi¸c BAD K D 
Do ®ã: CH = CK 
XÐt CHB (CHB = 900 ) 
Vμ tam gi¸c CKD (CKD = 900) 
Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trªn) 
Do ®ã: CKDCHB  (c¹nh huyÒn - gãc vu«ng) 
 HBC = KDC  ABC = ADC 
Bμi 6: Cho tam gi¸c ABC kÎ Ax ph©n gi¸c BAC t¹i C kÎ ®−êng th¼ng song song víi tia Ax, 
nã c¾t ti© ®èi cña tia AB t¹i D. Chøng minh: xAB = ACD = ADC 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 161 
Gi¶i: D 
V× Ax lμ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC 
Nªn xAB = xAC (1) 
Ax // CD bÞ c¾t bëi ®−êng th¼ng AC A 
hai gãc xAC vμ ACD lμ 2 gãc so le trong 
nªn xAC = ACD (2) x 
hai gãc xAB vμ ADC lμ 2 gãc ®ång vÞ nªn B C 
xAB = ADC (3) 
So s¸nh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC 
Bμi 7: Cho tam gi¸c ABC, kÎ tia ph©n gi¸c Bx cña gãc B, Bx c¾t tia AC t¹i M. Tõ M kÎ 
®−êng th¼ng song song víi AB, nã c¾t BC t¹i N. Tõ N kÎ tia NY // Bx. Chøng minh: 
 B 
a. xAB = BMN 
b. Tia Ny lμ tia ph©n gi¸c cña gãc MNC N 
Gi¶i: 
a.Trong tam gi¸c ABC t¹i ®Ønh B cã: 
ABx = xBC (v× Bx lμ tia ph©n gi¸c cña gãc B) A M C 
BMN = ABx (2 gãc so le trong v× MN // BA) 
VËy xBC = BMN x y 
b. BMN = MNy (2 gãc so le trong v× Ny // Bx) 
 xBC = yNC (2 gãc ®ång vÞ v× Ny // Bx) 
 VËy MNy = yNC mμ tia Ny lμ tia n»m gi÷a hai tia NM vμ NC 
 Do ®ã: Ny lμ tia ph©n gi¸c cña MNC 
Bμi 8: Cho tam gi¸c ABC. Gäi I lμ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c hai gãc A vμ B. Qua I vÏ 
®−êng th¼ng song song víi BC c¾t AB t¹i M, c¾t AC t¹i N. Chøng minh r»ng: MN = BM + 
CN 
Gi¶i: 
 Ba ph©n gi¸c cñam mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm nªn CI lμ tia ph©n gi¸c cña gãc C. 
V× MN // BC nªn C1 = I1 (2 gãc so le trong) A 
C1 = C2 nªn C2 = I2 
Do ®ã: NIC c©n vμ NC = NI (1) M N 
Chøng minh t−¬ng tù ta cã: MB = MI (2) 
Tõ (1) vμ (2) ta cã: B C 
MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 162 
Bμi 9: Cho tam gi¸c ABC (A = 900) c¸c ®−êng trung trùc cña c¸c c¹nh AB, AC c¾t nhau t¹i 
D. Chøng minh r»ng D lμ trung ®iÓm cña c¹nh BC 
Gi¶i: 
V× D lμ giao ®iÓm cña ®−êng trung trùc 
cña c¸c c¹nh AB vμ AC nªn 2 tam gi¸c A 
DAB vμ DAC lμ c©n vμ c¸c gãc ë ®¸y 
cña mçi tam gi¸c ®ã b»ng nhau. 
DBA = DAB vμ DAC = DCA 
Theo tÝnh chÊt gãc ngoμi cña tam gi¸c ta cã: B D C 
ADB = DAC + DCA 
ADC = DAB + DBA 
Do ®ã: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800 
Tõ ®ã suy ra ba ®iÓm B, D, C th¼ng hμng 
H¬n n÷a v× DB = DC nªn D lμ trung ®iÓm cña BC 
Bμi 10: Cho hai ®iÓm A vμ D n»m trªn ®−êng trung trùc AI cña ®o¹n th¼ng BC. D n»m gi÷a 
hai ®iÓm A vμ I, I lμ ®iÓm n»m trªn BC. Chøng minh: 
a. AD lμ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC 
b. ABD = ACD A 
Gi¶i: 
a. XÐt hai tam gi¸c ABI vμ ACI chóng cã: 
AI c¹nh chung 
AIC = AIB = 1v 
IB = IC (gt cho AI lμ ®−êng trung trùc 
 cña ®o¹n th¼ng BC) B I C 
VËy ACIABI  (c.g.c) 
  BAI = CAI 
MÆt kh¸c I lμ trung ®iÓm cña c¹nh BC nªn tia AI n»m gi÷a hai tia AB vμ AC 
Suy ra: AD lμ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC 
b. XÐt hai tam gi¸c ABD vμ ACD chóng cã: 
 AD c¹nh chung 
 C¹nh AB = AC (v× AI lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BC) 
 BAI = CAI (c/m trªn) 
VËy ACDABD  (c.g.c)  ABD = ACD (cÆp gãc t−¬ng øng) 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 163 
Bμi 11: Hai ®iÓm M vμ N n»m trªn ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB, N lμ trung ®iÓm 
cña ®o¹n th¼ng AB. Trªn tia ®èi cña tia NM cx¸c ®Þnh M/ sao cho MN/ = NM 
a. Chøng minh: AB lμ ss−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MM/ 
b. M/A = MB = M/B = MA 
Gi¶i: 
a. Ta cã: AB MM/ 
(v× MN lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n M 
th¼ng AB nªn MN AB ) 
MÆt kh¸c N lμ trung ®iÓm cña MM/ 
(v× M/ n»m trªn tia ®èi cña tia NM vμ NM = NM/) A N B 
 VËy AB lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n MM/. 
b. Theo g¶ thiÕt ta cã: 
MM/ lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB nªn 
MA = MB; M/B = M/A M/ 
Ta l¹i cã: AB lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MM/ nªn MA = M/B 
Tõ ®ã suy ra: M/A = MB = M/B = MV 
Bμi 12: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. X¸c ®Þnh ®iÓm D trªn c¹nh AC sao cho : DA + DB 
= AC 
Gi¶i: A 
VÏ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BC D 
 c¾t c¹nh AC t¹i D 
D lμ ®iÓm cÇn x¸c ®Þnh 
ThËt vËy B C 
Ta cã: DB = DC (v× D thuéc ®−êng trung 
trùc cña ®o¹n th¼ng BC) 
Do ®ã: DA + DB = DA + DC 
Mμ AC = DA + DC (v× D n»m gi÷a A vμ C) 
Suy ra: DA + DB = AC 
Bμi 13: 
a. Gäi AH vμ BK lμ c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c ABc. Chøng minh r»ng CKB = CAH 
b. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), AH vμ BK lμ c¸c ®−êng cao 
Chøng minh r»ng CBK = BAH 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 164 
Gi¶i: 
a. Trong tam gi¸c AHC vμ BKC cã: K 
CBK vμ CAH ®Òu lμ gãc nhän 
Vμ cã c¸c c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc víi nhau A 
CB AH vμ BK  CA 
VËy CBK = CAH 
b. Trong tam gi¸c c©n ®· cho th× ®−êng cao AH B H C 
còng lμ ®−êng ph©n gi¸c cña gãc A A 
Do ®ã: BAH = CAH 
MÆt kh¸c: CAH vμ CBK lμ hai gãc nhän vμ K 
cã c¸c c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc nªn 
CAH = CBK. Nh− vËy BAH = CBK 
 B H C 
Bμi 14: Hai ®−êng cao AH vμ BK cña tam gi¸c nhän ABC c¾t nhau t¹i D. 
a. TÝnh HDK khi C = 500 
b. Chøng minh r»ng nÕu DA = DB th× tam gi¸c ABC lμ tam gi¸c c©n. 
Gi¶i: A 
V× hai gãc C vμ ADK ®Òu lμ nhän vμ cã c¸c K 
 c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc nªn C = ADK 
Nh−ng HDK kÒ bï víi ADK nªnhai gãc 
C vμ HDK lμ bï nhau. Nh− vËy HDK = 1800 - C = 1300 
b. NÕu DA = DB th× DAB = DBA B H C 
Do ®ã hai tam gi¸c vu«ng HAB vμ KBA b»ng nhau 
V× cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vμ cã mét gãc nhän b»ng nhau 
Tõ ®ã suy ra KAB = HBA hai gãc nμy cïng kÒ víi ®¸y AB cña tam gi¸c ABC 
Suy ra tam gi¸c ABC c©n víi CA = CB 
Bμi 15: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A ph©n gi¸c AM. KÎ ®−êng cao BN c¾t AM 
t¹i H. 
a. Kh¼ng ®Þnh CN  AB lμ ®óng hay sai? 
A. §óng B. Sai 
b. TÝnh sè ®o c¸c gãc: BHM vμ MHN biÕt C = 390 
A. BHM = 1310; MHN = 490 C. BHM = 1410; MHN = 390 
B. BHM = 490; MHN = 1310 D. BHM = 390; MHN = 1410 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 165 
Gi¶i: A 
a. Chän A 
v× AM  BC tam gi¸c ABC c©b t¹i A N 
Suy ra H lμ trùc t©m cña tam gi¸c ABC H 
Do ®ã CH  AB 
b. Chän D B M C 
Ta cã: BHM = C = 390 (hai gãc nhän cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc) 
MHN = 1800 - C = 1410 (hai gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc vμ mét gãc nhän, mét gãc 
tï) 
VËy ta t×m ®−îc BHM = 390; MHN = 1410 
Bμi 16: Cho gãc xOy = 600 ®iÓm A n»m trong gãc xOy vÏ ®iÓm B sao cho Ox lμ ®−êng 
trung trùc cña AC, vÏ ®iÓm C sao cho Oy lμ ®−êng trung trùc cña AC 
a. Kh¼ng ®Þnh OB = OC lμ ®óng hay sai? 
b. TÝnh sè ®o gãc BOC 
 A. 600; B. 900; C. 1200; D. 1500 
Gi¶i: B x 
a. Chän A 
NhËn xÐt lμ: 
OA = OB v× Ox lμ ®−êng trung trùc cña AB 
OA = OC v× Oy lμ ®−êng trung trùc cña AC A 
Do ®ã: OB = OC 
b. Chän C. O 
NhËn xÐt lμ: y 
Tam gi¸c OAB c©n t¹i O nªn O1 = O2 C 
Tam gi¸c OAC c©n t¹i O nªn O3 = O4 
Khi ®ã: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 
 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 
VËy ta cã: BOC = 1200 
Bμi 17: Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c trung tuyÕn øng víi c¹nh lín h¬n th× nhá h¬n 
trung tuyÕn øng víi c¹nh nhá. 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 166 
Gi¶i: 
XÐt tam gi¸c ABC c¸c ®−êng trung tuyÕn A 
 AM, BN, CP träng t©m G 
Gi¶ sö AB < AC P N 
Ta cÇn ®i chøng minh CP > BN G 
ThËt vËy 
Víi hai tam gi¸c ABM vμ ACM B M C 
Ta cã: MB = MC (v× M lμ trung ®iÓm cña BC) 
AM chung: AB < AC do ®ã: M1 < M2. 
Víi hai tam gi¸c GBM vμ GCM ta cã: MB = MC (M lμ T§ cña BC); GM chung 
Do ®ã: GB < GC  3
2 GB < 3
2 GC  BN < CP