Đề kiểm tra chọn nguồn học sinh giỏi Toán 7

Trường thcs 
đề kiểm tra chọn nguồn hsg toán 7
( 120 phút làm bài)
 Câu 1(4điểm)
 a. Thực hiện phép tính A = 
 b. Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : ; ; 
 Câu 2: ( 4,0 điểm)
Thực hiện phép tính:
A = 
Chứng minh rằng:
B = 
Câu 3 ( 4,0 điểm)
cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 + 2009 là hợp số.
Tìm x, y biết : ( 2x – 5) 2008+ ( 3y + 4)2010 ≤ 0
Câu 4 ( 2 điểm):
Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b2 = ac và c2 = bd. 
Chứng minh rằng: 
Câu 5 ( 6,0 điểm):
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 900.trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 900.
Chứng minh rằng:
NC = BM
NC BM.
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K. chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng MN.
đáp án biểu điểm môn toán lớp 7
 Câu 1 (4 điểm)
 1. Thực hiện phép tính (2điểm)
 A = (0,5 điểm)
 = (0,5 điểm) 
 = 9 + (0,5 điểm)
 = 9 (0,5 điểm)
 2. Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : ; ; (2điểm)
 Trong ba số ; ; thì là số lớn nhất. 
 Vậy nếu + > thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là ; ; (1 điểm )
 Thật vậy : > 
 > => + > 7 = > = (1 đ )
 Câu 2 (4 điểm)
( 2 điểm)
A = ( 0,5đ+ 0,5 đ)
A = ( 0,25 đ + 0,25 đ)
A = ( 0,5 đ)
2) ( 2 điểm)
Có 1.98 + 2.07 + 3.96 + + 96.3 + 97.2+ 98.1
= ( 1 + 2 +3 +.+ 96+97+98) + (1+2+3++ 96+97)+.+ (1+2)+1 ( 1 điểm)
= + +.+ + ( 0,5 điểm)
= ( 0,25 điểm)
=> B = = ( 0,25 điểm)
Câu 3( 4,0 điểm):
( 2 điểm)
* Có p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 3. ( 0,5 điểm)
=> p2 = 3k + 1 ( k là số tự nhiên lớn hơn 7) ( 0,25 điểm)
=> p2 + 2009 = 3k + 2010 ( 0,25 điểm)
* Có 2010 3	( 0,25 điểm)
 3k 3
 => p2 + 2009 3	( 0,25 điểm)
 Mà p2 + 2009 là số tự nhiên lớn hơn 3	( 0,25 điểm)
p2 + 2009 là hợp số. ( 0,25 điểm)
( 2 điểm)
* Theo tính chất luỹ thừa bậc 2 ta có: ( 2x – 5)2008≥0	( 0,25 điểm)
	 (3y + 2x )2010 ≥ 0 ( 0,25 điểm)
=> ( 2x - 5)2008 + ( 3y + 4)2010 ≥ 0 (1) ( 0,25 điểm)
 * Mà ta có (2x -5)2008 +(3y+4)2010 ≤ 0 (2) ( 0,25 điểm)
 * Từ (1) và (2) ta có : (2x -5)2008 +(3y+4)2010 = 0 ( 0,25 điểm)
ú 2x-5 = 0	ú	x = 5/2 ( 0,25 điểm) 
 3y +4 = 0 	y = - 4/3	 ( 0,25 điểm)
 * Vậy x= 5/2 và y = -4/3 ( 0,25 điểm)
Câu 4 ( 2 điểm)
 Ta có b2 = ac và b,c ≠ 0 => (1) ( 0,25 điểm)+ ( 0,25 điểm)
 Tương tự ta có : (2) ( 0,25 điểm)
* Từ (1) và (2) ta có : ( 0,25 điểm)
* Đặt = k ( k≠ 0 do a,b,c ≠ 0) 
 Có k3 = (3) ( 0,25 điểm)
 K3 = (4) ( 0,25 điểm) +( 0,25 điểm) 
 * Từ (3) và (4) ta có ( 0,25 điểm)
Câu 5(6 điểm)
( Không cho điểm hình vẽ; hình vẽ sai không chấm)
T
1a) 
Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB (gt)
NAB và CBA kề nhau.
Có NAB = 900 (gt) => Tia AB nằm giữa AN và AC. 
 CAB < 900 (gt) 
=> NAB + CAB < 1800
 => NAB + CAB = 900 + CAB = NAC (1) (0,5 điểm)
Chứng minh tương tự có: 900 + CAB = NAC (2)	(0,25 đ)
* Từ (1) và (2) ta có NAC = BAM	(0,25 đ)
* Xét NAC và có:
 + AN = AB (gt)
 + NAC = BAM (cmt)	=> C = ( c.g.c) (0,75 đ)
 + AC = AM (gt)
=> NC = BM ( đpcm) (0,25 đ)
1b) Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T.
Ta có NAC = BAM ( cmt)
=> CAN = AMB hay TCI = TMA (0,5 đ)
* Mà CTI = MTA ( hai góc đối đỉnh) (0,5 đ)
=> MAT = CIT ( Tổng 3 góc trong tam giác bằng 1800) (0,5 đ) 
Mà MAT = 900 (gt) (0,25 đ) 
=> CIT = 900 hay NC BM ( đpcm) (0,25 đ)
2) * Gọi giao điểm của AK với BC là H. kẻ MP vuông góc với AK tại P
Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q.
Chứng minh được NQA = AHB ( cạnh huyền- góc nhọn)
=> NQ = AH (3) (0,5 đ)
Chứng minh tương tự có MP = AH (4) (0,25 đ)
* Từ (3) và (4) ta có NQ = MP. (0,25 đ)
* Chứng minh được NQK = MPK (g.c.g) => NK = MK. (0,5 đ)
 Mà N, M, K thẳng hàng (gt) (0,25 đ)
=> K là trung điểm của MN (đpcm) (0,25 đ)
Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chương trình lớp 7 vẫn cho điểm tối đa theo từng bước.