Đề tài Giải bằng nhiều cách một số bài toán tỉ lệ thức lớp 7

 Giải bằng nhiều cách một số bài toán tỉ lệ thức lớp 7
A. Phần mở đầu
I. Đặt vấn đề
 Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục đào tạo được Đảng và Nhà nước ta xem là quốc sách hàng đầu. Giáo dục đã thực sự cố gắng thực hiện nhiệm vụ chính yếu để góp phần tích cực vào việc " Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài."
 Mục tiêu tổng quát của Dự án Phát triển giáo dục THCS là cải tiến, nâng cao chất lượng, hiệu quả giáo dục. Việc nâng cao chất lượng dạy học phải đi đôi với việc đổi mới phương pháp dạy, phương pháp học. Trong những năm qua, ngành giáo dục đã có nhiều biện pháp thiết thực để nâng cao chất lượng dạy và học. Nhiều nhà trường, nhiều giáo viên đã tìm ra các phương pháp thích ứng trong dạy học, phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học sinh. Đối với học sinh, học Toán luôn gắn với quá trình giải bài tập với rất nhiều dạng bài khác nhau. Tuy nhiên với học sinh lớp 7, có thể nói các em còn bỡ ngỡ với các dạng toán trong chương trình. Vì thế học sinh đã gặp không ít khó khăn khi tiếp cận với các bài toán-nhất là đối với các bài toán khó. Việc định hướng, hướng dẫn cho các em tìm ra lời giải là một việc làm cần thiết và vô cùng quan trọng. Nhưng với học sinh yêu thích môn Toán, các em không muốn dừng lại ở việc tìm ra được lời giải mà các em còn muốn tìm được các lời giải khác nhau cho một bài toán. Việc tìm thêm những lời giải khác nhau cho một bài toán nhiều khi đi đến những điều thú vị. G.Polya (1887-1985) nhà toán học và là sư phạm Mỹ đã khuyên rằng: " Ngay khi lời giải mà ta tìm được đã tốt rồi thì tìm được một lời giải khác vẫn có lợi. Thật là sung sướng khi thấy rằng kết quả tìm ra được xác nhận nhờ hai lý luận khác nhau. Có một chứng cớ rồi, chúng ta còn muốn tìm thêm một chứng cớ nữa cũng như muốn sờ vào một vật mà ta đã trông thấy ". 
 Việc đi sâu tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kỹ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và óc sáng tạo cho học sinh. Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác nhau cho một bài toán, học sinh sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau cho bài toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn các đại lượng được cho trong bài. Ngoài ra việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các cách giải đó, chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm trong giải toán.
 Không chỉ dừng lại ở đây mà sau khi hướng dẫn học sinh giải xong một bài toán và tìm ra được nhiều cách giải khác nhau, giáo viên tiếp tục gợi ý cho học sinh có thể dựa vào bài toán đó mà tự nghĩ ra các bài toán mới tương tự với bài toán vừa giải. Biết tự đặt thêm bài toán mới là một biện pháp giúp học sinh nắm vững bản chất mối quan hệ giữa các đại lượng trong mỗi bài toán. Từ đó học sinh sẽ hiểu bài sâu hơn và tự tin hơn trong học tập. Đó là một trong những lý do tôi chọn đề tài này.
II. Mục đích của SKKN
 - Giúp học sinh tìm ra các lời giải khác nhau cho một bài toán, góp phần phát triển tư duy sáng tạo trong học tập.
 - Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
 - Bồi dưỡng phương pháp tự học cho học sinh.
 - Học sinh có kỹ năng vận dụng những kiến thức đã học để giải quyết những vấn đề thường gặp trong cuộc sống bản thân và cộng đồng, bước đầu thể hiện tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo trong học tập và lao động.
 - Đúc rút kinh nghiệm cho bản thân để nâng cao nghiệp vụ, tay nghề.
III.. Phạm vi đề tài
 - Các bài toán về tỉ lệ thức- tính chất dãy tỉ số bằng nhau (Toán 7)
 - Mở rộng cho các phần kiến thức khác trong chương trình toán 7.
 - Đề tài có thể được áp dụng cho học sinh từ bậc Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông.
B. Nội dung chính.
I. Thực trạng:
 Bản thân tôi vào ngành đã lâu, giảng dạy qua các khối lớp với nhiều thế hệ học sinh.Tôi nhận thấy rằng, cùng với tình hình phát triển của xã hội, nhu cầu học tập ngày càng được chú trọng, quan tâm hơn. Tuy nhiên trong quá trình dạy toán, theo dõi tôi thấy học sinh thường lúng túng, khó khăn khi vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập. Do vậy ngoài việc định hướng, hướng dẫn cho học sinh tìm được cách giải, cần trang bị thêm cho các em nhiều cách giải cho một bài toán. Được như vậy các em sẽ có nhiều phương án lựa chọn để giải các bài toán cùng dạng, tránh được thói ỷ lại, phụ thuộc vào thầy cô, tài liệu.
 Vào đầu mỗi năm học, nhà trường thường tổ chức khảo sát để đánh giá chất lượng học sinh ở các khối lớp với hầu hết các môn học. Kết quả khảo sát đầu năm học 2006-2007 đối với môn Toán như sau:
Khối
Lớp
Tổng số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
7
7A
37
1
1.8
2
3.6
21
56.8
9
24.3
5
13.5
7B
36
0
0.0
3
8.3
17
47.2
10
27.8
6
16.7
7C
36
0
0.0
1
2.8
16
44.4
11
30.6
8
22.2
7D
38
0
0.0
2
5.2
15
39.5
12
31.6
9
23.7
7E
37
0
0.0
2
5.5
17
45.9
10
27.0
8
21.6
Kết quả trên cho thấy tỷ lệ học sinh đạt yêu cầu trở lên chiếm tỷ lệ thấp so với yêu cầu chung hiện nay.
II. Nguyên nhân:
 - Phần lớn học sinh là con gia đình thuần nông, đời sống kinh tế khó khăn, thời gian dành cho học tập còn ít.
 - Một số cha mẹ học sinh chưa ý thức đủ, đúng trách nhiệm đốivới việc học tập của con. Cá biệt một số còn "khoán trắng" con cho Nhà trường.
 - Một số bộ phận học sinh còn chây lười trong học tập, chưa ý thức được trách nhiệm, nhiệm vụ học tập của mình.
 - Tuy nhiên bên cạnh đó đã có nhiều gia đình tạo cho con mình mọi điều kiện tốt nhất cho học tập. Nhiều học sinh đã có cố gắng trong học hành, đã xác định được vai trò, trách nhiệm của mình đối với gia đình, nhà trường và xã hội.
 - Do số lượng và chất lượng một số giáo viên chưa thực sự đáp ứng được yêu cầu đổi mới nên ảnh hưởng tới chất lượng đào tạo nói chung, chất lượng môn toán nói riêng.
III. Một số bài toán
 Phần I: Kiến thức cần nhớ
 - Để làm tốt một số dạng bài tập phần này, học sinh cân ghi nhớ một số kiến thức sau đây:
 1. Tính chất của tỉ lệ thức:
 - Với các số a,b,c,d khác 0, từ một trong năm đẳng thức sau đây, ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại:
 ad = bc
 = 
2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a, ( b d ) 
b, Mở rộng: 
 = (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Phần II: Một số bài tập
Dạng 1: Tìm số chưa biết
Bài 1: Tìm hai số x và y biết: và x + y=16. 
Đối với bài toán này học sinh đều làm được theo cách sau:
Cách 1: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: .
 Do đó: x = 2.3 = 6; y = 2.5 = 10.
Ngoài cách giải trên, GV nên hướng dẫn cho HS thêm một số cách giải khác như sau:
Cách 2: Đặt 
 Suy ra: x=3k; y=5k
Thay x và y vào GT: x+y=16, ta có: 3k+5k=16;
 hay 8k=16, nên k=2
 Vậy x= 3.2=6; y=2.5=10
Cách 3: Từ ta có x=
Thay vào GT: x+y=16 ta được: y=16
 hay 8y=80 suy ra: y=10
 khi đó tính được x=6.
Cách 4: Từ suy ra: 5x=3y (1)
 Từ x+y=16 ta có: x=16-y (2)
Thay x ở (2) vào (1): 5.(16-y)=3y
 80-5y=3y
 8y=80
 y=10
Thay y=10 vào (2): x=16-10=6.
Chú ý1: Đối với dạng toán tìm 2 số khi biết Tổng-Tỉ hoặc Hiệu-Tỉ:
 và x+y=M (hoặc x-y=M) thì khi đó:
 x=; y= ( hoặc x=; y=).
Bài 2: Tìm 3 số x, y, z thoả mãn: và 3x+y-2x=14.
Đối với bài toán này có thể hướng dẫn HS giải theo một trong các cách sau:
Cách1: Từ 
 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 =
Do đó: x=2.3=6; y=2.8=16; z=2.5=10.
Cách 2: Đặt 
 khi đó: x=3k; y=8k; z=5k
Thay x, y, z vào GT: 3x+y-2z=14
Ta có: 9k+8k-10k=7k=14; nên k=2;
Suy ra: x=2.3=6; y=2.8=16; z=2.5=10.
Cách 3: Từ : , ta có: y=; z=
 Thay y, z vào GT: 3x+y-2z=14, ta được:
 3x+-=14
 hay = 14 nên x = 
 Do đó: y = 8.=16 ; z =5. =10
Vậy: x=6; y=16;z=10.
Bài 3: Tìm 3 số x, y, z thoả mãn: ; và x+y-z=10.
Cách 1: Đối với bài toán này cần cho HS thấy chưa có dãy tỉ số bằng nhau nên chưa áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.
Do vậy để vận dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau khi giải bài toán này, GV hướng dẫn để HS thấy được y là "cầu nối" giữa x và z để giúp ta lập dãy tỉ số bằng nhau. 
Ta biến đổi như sau:
 suy ra: 
 suy ra: 
Do vậy ta có: .
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
 =
Suy ra: x=2.8=16; y=2.12=24; z=2.15=30.
Ngoài ra bài toán trên có thể giải theo cách sau:
Cách 2: Từ suy ra: x = 
 suy ra: z=
Thay x và z vào GT: x+y-z=10, ta có: 
 hay: 
 5y=120 nên y=120:5=24
Do đó tính được: x=16; z=30.
Vậy x=16; y=24; z=30.
Ghi chú: Bài toán trên có thể được phát biểu như sau:
Tìm 3 số x, y, z thoả mãn: 3x=2y; 5y=4z và x+y-z=10.
* Qua bài tập trên ta nhận thấy, từ các tỉ số bằng nhau:
 (a, b, c, d là các hằng số; x,y,z là các biến) ta sẽ có một dãy các tỉ số bằng nhau như sau:
 trong đó: b'=
 c'=
Và từ dãy các tỉ số bằng nhau này, linh hoạt áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta sẽ giải được các bài tập cùng dạng.
* Khi giải toán dạng tìm hai số biết Tích-Tỉ, học sinh thường mắc sai lầm khi áp dụng "phép tương tự "để có:
 .
Để giúp học sinh nhận ra sai lầm này, SGK Toán 7 đã có bài 62.Tr 31, như sau:
Bài 4: Tìm hai số xvà y, biết rằng: và xy=10.
Tôi nhận thấy rằng hầu hết học sinh đều giải như sau:
Do đó: x=1.2=2; y=1.5=5.
Để ý rằng: x=-2; y=-5 vẫn thoả mãn yêu cầu bài toán. Vậy hai giá trị này được tìm thế nào? Tổng quát hơn, phương pháp để giải toán khi tìm hai số biết Tích-Tỉ? Sau đây giới thiệu một số cách để giải bài toán trên. Thông qua đó, chúng ta sẽ tìm được câu trả lời cho câu hỏi đã nêu.
Cách 1: GV hướng dẫn HS đặt:, khi đó ta có:
 x=2k; y=5k. 
 Thay x và z vào GT: xy=10
 2k.5k=10k2=10
 nên k=1 hoặc k=-1.
Với k=1, ta được: x=2; y=5
Với k=-1, ta được: x=-2; y=-5.
Cách 2: Từ suy ra: x=
 Thay vào GT: xy=10 ta được
 hay 2y2=50 suy ra y2=25 nên y=5 hoặc y=-5.
Với y=5, tính được x=2
Với y=-5, tính được x=-2.
Cách 3: Từ xy=10 (x; y ) nên x=
 Do nên 5.x=2.y
Khi đó ta có: 5.=2y hay 2y2=50 suy ra y=5 hoặc y=-5
Với y=5 thì x=2
và y=-5 thì x=-2.
Cách 4: Vì xy=10 (x0) nên 
 mà nên suy ra 
 hay 5x2=20
 x2=4, do đó: x=2 hoặc x=-2
Với x=2 ta có y=5,
 x=-2 thì y=-5.
Chú ý 2: Đối với dạng toán tìm 2 số khi biết Tích-Tỉ 
 và x.y=M thì khi đó x và y được tính như sau:
 x= ; y=
 và x=- ; y=-
Chú ý 3: GV cần cung cấp kiến thức sau cho HS:
 thì =
Thật vậy, đặt =k thì a=kb; c=kd.
Khi đó: =k2
Do đó: .
Vận dụng kết quả trên, ta giải bài toán trên như sau:
Cách 5: suy ra .
 Vậy x2=4 và y2=25
Từ đó ta có: x=2; y=5 và x=-2;y=-5.
* Một số bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm 2 số x và y, biết: và x-y=-12
Bài 2: Tìm 3 số a, b, c,biết: và a+2b-3c=20
Bài 3: Tìm 3 số x, y, z, biết: 3x=5y;7y=2z và x+y+z=74
Bài 4: Tìm 3 số a, b, c, biết: 2a=3b; 5b=7c và 3a+5c-7b=30.
Bài 5: Tìm 2 số x và y, biết: và xy=48.
Bài 6: Tìm 3 số a, b, c, thoả mãn: và a2-b2+2c2=108.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
* Giải thuật ngữ: Đối với HS lớp 7, GV cần giải rõ nghĩa của từ "chứng minh đẳng thức" -Là dùng lập luận để biến đổi sao cho hai vế của biểu thức bằng nhau.
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: (b, d khác 0).
Chứng minh rằng: .
Khi gặp bài toán này, hầu hết HS đều trình bày theo cách sau đây:
Cách 1: Ta có suy ra (t/c dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó: .
Ngoài ra ta còn có các cách giải khác như sau:
Cách 2: Đặt =k, khi đó a=kb; c=kd
Ta có: 
Vậy: .
Cách 3:Ta có: 
 nên 
 hay .
Cách 4: Ta có 
 (đúng)
 Do đó .
Cách 5: Ta có 
 (a+b)d=(c+d)b
	ad+bd=bc+bd
 ad=bc (đúng vì ).
Cách 6: Từ suy ra ad=bc 
 ad+bd=bc+bd
 (a+b)d=(c+d)b
 Vậy .
Cách 7: Từ suy ra ad=bc (và b, d khác 0)
Do đó: .
Cách 8: Đặt (1) suy ra a+b=kb
 a=kb-b=(k-1)b
 nên 
Theo GT: suy ra 
 hay: 
 (2)
Từ (1) và (2), ta có: .
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: (b, d khác 0)
Chứng minh rằng: (a+2c)(b+d)=(c+c)(b+2d).
Cách 1: Đặt =k, khi đó: a=kb; c=kd
Do đó: (a+2c)(b+d)=(kb+2kd)(b+d)=
 =k(b+2d)(b+d) (1)
 (a+c)(b+2d)=(kb+kd)(b+2d)=
 =k(b+d)(b+2d) (2)
Từ (1) và (2) ta có: (a+2c)(b+d)=(a+c)(b+2d).
Cách 2: Ta có: 
 hay: 
 suy ra: (a+2c)(b+d)=(a+c)(b+2d)
Cách 3: Ta có: (a+2c)(b+d)=(a+c)(b+2d)
 (a+2c)b+(a+2c)d=(a+c)b+(a+c)2d
 ab+2bc+ad+2cd=ab+bc+2ad+2cd
 bc=ad (luật giản ước) 
 hay (đúng)
 nên : (a+2c)(b+d)=(a+c)(b+2d) 
Cách 4: Từ suy ra: ad=bc
Ta có: (a+2c)(b+d)= (a+2c)b+(a+2c)d
	 = ab+2bc+ad+2cd
 =ab+2ad+bc+2cd (1)
 (a+c)(b+2d)=(a+c)b+(a+c)2d
 = ab+bc+2ad+2cd (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (a+2c)(b+d)=(a+c)(b+2d)
Bài 3: Cho tỉ lệ thức: khác 1 và -1 (a,b,c,d khác 0)
Chứng minh rằng: .
Nhận xét: Trước hết ta thấy rằng bài toán này khó hơn so với các bài toán đã được chứng minh. Tuy nhiên có thể vận dụng một trong các cách đã làm để chứng minh. Do vậy ta thực hiện giải như sau:
Cách 1: Đặt =k suy ra: a=kb; c=kd
Ta có: 
 =
 = (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Cách 2: Từ suy ra: 
Do đó: 
Vậy: .
Cách 3: Từ suy ra ad=bc
Ta có: ab(c2+d2)=abc2+abd2
 =ac.bc+ad.bd
 =ac.ad+bc.bd
 =a2cd+b2cd
 =(a2+b2)cd hay ab(c2+d2)=(a2+b2)cd 
Do đó: 
Cách 4: Từ suy ra nên (1)
Mặt khác thì ta có: 
 hay: (2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Cách 5: 
 ab(c2+d2) =cd(a2+b2)
 abc2+abd2=cda2+cdb2
 abc2+abd2 - cda2- cdb2 =0
 ac(bc-ad)-bd(bc-ad)=0
 (bc-ad)(ac-bd)=0
 Vì khác 1 và -1 nên ac-bd khác 0.
Do đó: bc-ad=0
hay: ad=bc, nghĩa là:(đẳng thức đúng)
Vậy: 
Bài 4: Chứng minh rằng, nếu thì 
Cách 1: Đặt =k, khi đó x=ky; z=kt
Do đó: 
Mặt khác:= 
Vậy: 
Cách 2: Từ ta có: 
Suy ra: 
 hay: 
Vậy: 
* Một số bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho a, b, c, d khác 0. Từ tỉ lệ thức 
Hãy chứng minh: a, .
 b, .
 c, (ax+by)(cx-dy)=(ax-by)(cx+dy). (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Bài 2: Chứng minh rằng nếu: a2=bc thì (ab, ac)
 Điều ngược lại có đúng không?
Bài 3: Chứng minh rằng, nếu: thì .
Bài 4: Chứng minh rằng, nếu: thì (a 2002; b 2001).
Nhận xét: Với các bài toán chứng minh đẳng thức đại số có thể có nhiều cách giải, nhưng giáo viên cần cho học sinh biết được các phương pháp chứng minh:
	+ Kết hợp GT biến đổi vế phải thành vế trái.
	+ Kết hợp GT biến đổi vế trái thành vế phải.
	+ Kết hợp GT biến đổi hai vế đến cùng một kết quả.
	+ Biến đổi tương đương từ kết luận đến giả thiết.
Phần III: Một số biện pháp thực hiện.
	- Điều tra học lực của học sinh qua các bài kiểm tra.
	- Điều tra tâm lý của học sinh để biết em nào thích học toán.
	- Tổ chức ôn tập vào các buổi ngoại khoá nhằm tăng thời lượng luyện tập giải toán.
	- Ra các bài tập có cùng dạng như các bài đã được học.
	- Khi ra bài tập cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện một số nội dung sau:
	+ Đọc kỹ nội dung bài ra.
	+ Nhận dạng bài toán thuộc dạng toán nào, thực hiện phép "quy lạ về quen".
	+ Xác định rõ yêu cầu của bài toán.
	+ Xác định đúng GT, KL của bài ra.(có thể viết GT dưới dạng khác được không?).
	+ Tự mình tiến hành trình bày lời giải.
	+ Kiểm tra xem đã vận dụng hết GT chưa, sử dụng những kiến thức nào ở trong bài?
	+ Đối chiếu với cách giải của bạn, của thầy.
	+ Tìm thêm các lời giải khác cho bài toán (nếu được).
	+ Rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
	- Đối với giáo viên cần đưa ra các dạng bài tập với mức độ từ thấp đến cao, nâng mức độ khó dần (kể cả kiến thức lẫn kỹ năng).
Phần 4: Hiệu quả. 
 Năm học 2006-2007, tôi được Nhà trường giao nhiệm vụ dạy môn Toán ở các lớp 7C, 7D, 7E. Hết học kỳ1, Nhà trường tổ chức khảo sát các môn ở các khối lớp theo đề chung. Kết quả môn Toán ở khối 7 như sau:
Khối
Lớp
Tổng số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
7
7A
37
3
8.1
4
10.8
24
64.9
3
8.1
3
8.1
7B
36
2
5.6
4
11.1
23
63.9
4
11.1
3
8.3
7C
36
5
13.3
12
33.3
18
50.0
1
2.8
0
0.0
7D
38
4
10.5
12
31.6
20
52.6
2
5.3
0
0.0
7E
37
4
10.8
10
27.0
22
59.5
1
2.7
0
0.0
 So sánh với kết quả đầu năm, ta thấy chất lượng đã tăng lên rõ rệt. Có được kết quả đó là trong học kì vừa qua, tôi đã mạnh dạn đưa sáng kiến trên vào trong quá trình dạy học. Đó là niềm động viên lớn đối với cá nhân tôi và hi vọng rằng bạn bè, đồng nghiệp cũng tìm thấy được niềm vui khi áp dụng sáng kiến này.
C. Kết luận
 Trên đây là một số bài toán được giải với nhiều cách khác nhau trong chương trình Toán 7 mà tôi đã cố gắng lựa chọn để trình bày. Tôi không khẳng định cách giải nào là tối ưu, là ưu việt. Nhưng với việc giải được nhiều cách khác nhau cho một bài toán đã thực sự giúp ích rất lớn cho học sinh trong học tập. Với mỗi cách khác nhau, học sinh sẽ có thêm một sự khám phá mới. Và trong Toán học, việc tìm được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán giúp người học trên cơ sở đó có thể thực hiện được phép "tương tự hoá", "khái quát hoá" cho mỗi bài toán. Đó là một nét đẹp của dạy và học toán.
 Trong bài viết ngắn này, tôi đẫ nêu lên vai trò của việc tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. Hy vọng rằng qua bài viết này, các bạn đồng nghiệp sẽ có thêm một kinh nghiệm nhỏ trong vốn kinh nghiệm dạy học của mình. Bên cạnh đó cũng mong được sự góp ý và trao đổi của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để làm thế nào chúng ta ngày càng có nhiều kinh nghiệm dạy toán hơn, từ đó nâng cao chất lượng dạy, học môn toán nói riêng, chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn mới.
 Mong ban giám khảo, hội đồng khoa học các cấp xem xét, bổ cứu để tôi áp dụng sáng kiến một cách có hiệu quả, có tính sát thực hơn. Xin chân thành cảm ơn!
1. (Bìa 1): 2 cái đóng liền nhau phần ngoài SK
Phòng giáo dục và đào tạo huyện anh sơn
Tên SKKN:
Tên người viết:
Đơn vị:
Năm học:
2. (Bìa 2): 1 cái đóng cùng nội dung SKKN
Tên SKKN:
Năm học:
3. Mục lục
4. Xét duyệt của HĐKH cấp Trường: (đóng mặt sau cùng của SK)
 ..............
 Ngày tháng năm 
 Chủ tịch:
 Xét duyệt của HĐKH cấp Huyện:
 ..............
 Ngày tháng năm 
 Chủ tịch:
 Xét duyệt của HĐKH cấp Tỉnh:
 ..............
 Ngày tháng năm 
 Chủ tịch: