Đề tài Hệ thống các bài tập sử dụng tính chia hết cho học sinh lớp 7

Hệ thống các bài tập sử dụng tính chia hết cho học sinh lớp 7
A. Lý do chọn đề tài :
Trong những năm gần đây , bên cạnh việc sử đổi nội dung chương trình , các phương pháp giảng dạy bộ môn toán cũng ngày một cải tiến , đổi mới , nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo .
Xuất phát từ yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục đích dạy học với mọi đối tượng học sinh, đồng thời khuyến khích, phát triển tối đa và tối ưu những khả năng cá nhân , việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi là một vấn đề khá quan trọng. Trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi , giáo viên không những giúp học sinh nắm vững kiến thức trong sgk, biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập nâng cao, mà còn phải giúp học sinh đào sâu, mở rộng kiến thức ngoài sgk, tất nhiên chỉ dừng lại ở một góc độ, yêu cầu nhất định, không vượt quá tầm hiểu biết của học sinh. Có như vây mới có tác dụng gây hứng thú học tập , phát triển tư duy độc lập, sáng tạo lô gíc, tổng hợp, rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, tự đọc sách , thói quen nghiên cứu khoa học, nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau. 
Với những suy nghĩ trên, trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, bản thân tôi đã cố gắng tìm tòi nội dung và phương pháp giảng dạy thích hợp, tôi đã cho học sinh những tình huống “có vấn đề”, những nội dung này có khi chỉ xuất phát từ một bài tập cụ thể , hay từ một nội dung kiến thức trong sgk.
Mở rộng chuyên đề “Phương pháp chứng minh chia hết” là một trong những ví dụ cụ thể mà tôi đã áp dụng , thực hiện trong giảng dạy và làm công tác tuyển chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi ở những năm vừa qua , đã mang lại những kết quả nhất định tôi xin mạnh dạn nêu ra để các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý .
B Nội dung và phương pháp nghiên cứu :
I. Cơ sở lý luận :
Chuyên đề “Phương pháp chứng minh chia hết” là kiến thức khá quan trọng và cơ bản trong chương trình toán THCS , là công cụ giúp học sinh giải được nhiều bài toán phức tạp , giúp học sinh nắm kiến thức một cách có hệ thống và lô gíc, tạo tiền đề cho các em tiếp thu những kiến thức cao hơn , nhằm phát triển tốt năng lực toán học .
Đây là nội dung kiến thức nằm trong chương trình sgk , mỗi học sinh đã được học , được làm quen từ lớp 6 ( trong chương II : Tính chất chia hết trong N ) , tuy nhiên ngay cả khi lên lớp 7 , với nội dung “Bội và ước của một số nguyên” , cũng rất đơn giản , học sinh có thể dàng nắm bắt được định nghĩa và tính chất bội và ước của một số nguyên , nhưng các em chưa có kiến thức hệ thống về “ các phương pháp chứng minh chia hết”. Chính vì vậy mà giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh một hệ thống “các phương pháp chứng minh chia hết” , để học sinh nắm bắt được và vận dụng vào giải bài tập một cách linh hoạt và thành thạo 
II. Khảo sát chất lượng học sinh :
1. Đối tượng : 
Được nhà trường phân công công tác chủ nhiệm và dạy toán lớp 7A2 , tôi thấy rằng trong nội dung truyền đạt cho các em học sinh khá giỏi học sinh lớp7 , không thể thiếu được một chuyên đề về hệ thống “các phương pháp chứng minh chia hêt”.Vì vậy , trước khi sử dụng chuyên dề này , tôi đã tổ chức một lần khảo sát chất lượng học sinh , xem trước khi học chuyên đề này , thì các em đã tiếp thu về phương pháp chia hết được đến đâu .Đối tượng học sinh được khảo sát là 12 em học sinh khá giỏi được chọn ra từ lớp 7A2.
2. Nội dung khảo sát : 
1. Chứng minh rằng: ( 210+211+212)17 (5đ)
2. Chứng minh rằng : Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 ( 5 đ).
3. Kết quả khảo sát :
a. Đối với bài 1 : Ban đầu , các em có vẻ lúng túng và bở ngỡ chưa biết làm theo cách nào , một số em tỏ ra lo ngại trước số mũ quá lớn , phần đa các em nhớ đến dấu hiệu chia hết , nhưng không áp dụng được , một số em lại tính kết quả của tổng , nhưng quá khó khăn vì kết quả lớn mà mà không giải quyết được bài toán . Trong số 12 em , thì chỉ có 3 em ( đạt tỉ lệ 25%) biết cách áp dụng đặt nhân tử chung là 210 , rồi áp dụng tính chất : Nếu ab thì (am)b . ( a;b; mZ ).
b. Đối với bài toán 2 : Một số em chưa biết biểu thị ba số nguyên liên tiếp, một số em không biết phương pháp chứng minh và một số em lại nghĩ đến dấu hiệu chia hết , có em cũng biết rằng để chứng minh chia hết cho 6; phải chứng minh chia hết cho cả 2 và 3 ( vì (2;3) =1) , nhưng lại không biết khai triển. Kết quả chỉ có 1 em biết làm ( đạt tỉ lệ 8,3 % ) , tuy nhiên trình bày dài dòng và khá lộn xộn . Kết quả chung cả bài có : 
 - Điểm 9;10 : 0 em ( 0%) - Điểm 5;6 : 2 em ( 16,7%)
 -Điểm 7; 8: 1 em ( 8,3%) -Điểm dưới 5 : 9 em ( 75%) 
III. nội dung:
Trong quá trình chuyền đạt chuyên đề “ các phương pháp chứng minh chia hết” để học sinh có thể lĩnh hội một cách có hệ thống, lôgic và nhuần nhuyễn, giáo viên cần cung cấp cho các em từng phương pháp chứng minh một cách tỉ mỉ, hệ thống, giải nhiều ví dụ và bài tập ứng dụng .
1 Phương pháp 1: ( Xét mọi trường hợp về số dư ).
Để chứng minh A(n) k , ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho k .
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : Tích n( n2+1)(n2+4)5 ( " nZ ).
Khi chưa đưa ra phương pháp 1, học sinh không định hình được từng hướng giải, sau khi đưa ra phương pháp này, để học sinh tiếp cận và làm quen , từng bước giáo viên dẫn dắt : Cần cho học sinh nhận biết A(n) là là biểu thức nào ? ( A(n) = n ( n2+1)( n2+4) và học sinh nhận biết k=? (k=5).
 Yêu cầu học sinh cho biết khi chia cho 5, ta được những số dư nào ? 
( 0;±1; ±2 hay 0;1;2;3;4;) 
Giải : Khi chia n cho 5 , chỉ có số dư r là 0 ±1; ±2.
- Nếu r =0n= 5k n 5 A(n) 5 .
-Nếu r = ±1n = 5k ±1n2= 25 k2 ±10k +1 n2+4 =25k2±10k +5 (n2 +4)5 A(n)5.
-Nếu r = ±2 n = 5k ±2(n2+1)= 5 k2 ±20k +5(n2 +1)5 A(n)5.
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có A(n)5
Hay : n(n+1)(n2+4) 5 ( " nZ ).
Ví dụ 2: Sau khi học sinh đã nắm được phương pháp 1 giáo viên đưa ra một số ví dụ để học sinh tự áp dụng để làm : 
Chứng minh rằng : ( n7- n) 7 ( " nZ ).
Đã có trên 50 % học sinh biết biến đổi n7- n = n( n6-1) = n( n3+1)(n3-1) rồi áp dụng phương pháp 1 để làm được , còn một số em biết áp dụng phương pháp này sau khi đã được gợi ý cách phân tích ( n7-n) .
2. Phương pháp 2 :( Phân tích thành nhân tử ) .
Để chứng minh A( n) k ta phân tích k = p. q .
Nếu ( p , q ) =1 ta chứng minh A( n) p A( n) q A( n) (p,q)
 A( n) k .
Nếu ( p , q ) 1 Ta lại phân tích A( n) =B(n) .C(n). Và chứng minh : B( n) p 
 C(n)q
 B( n). C(n) (pq)
 A( n) k .
Ví dụ : Chứng minh A(n) = n ( n+1 ) ( n+2) 6 .
 Khi chưa đưa ra phương pháp 2, một số em làm bài này bằng cách áp dụng phương pháp 1, tức là xét mọi trường hợp về số dư khi chia cho 6, nhưng cách này gặp khó khăn . 
Khi đã nắm được phương pháp 2 , thì gần 50 % học sinh đã phân tích : 
6 =2.3 và biết ( 2;3 ) = 1 , nên biết áp dụng đưa bài toán về chứng minh
 - n( n+1)(n+2) 2
 - n( n+1)(n+2) 3
Đến đây các em dễ dang chứng minh được .
3. Phương pháp 3:( Phân tích thành tổng ).
Để chứng minh A( n) k , ta biến đổi A(n) thành tổng cả nhiều hạng tử và chứng minh mỡi hạng tử chia hết cho k.
Ví dụ : Chứng minh (n3 -13n ) 6.
Khi đưa ra ví dụ này , ban đầu các em không tìm ra cách giải , vì nếu áp dụng đơn thuần phương pháp 1 và 2 thì sẽ gặp khó khăn, khi đưa ra phương pháp 3, thì các em nắm bắt được cách giải ngay ( có khoảng 65 % học sinh thực hiện được ).
Giải : A(n) = n3-13n =(n3-n ) -12n = n(n-1) (n+1) -12n .
(n-1) n(n+1) 6
 12n6A( n) 6
 4. Phương pháp 4: ( làm xuất hiện thừa số bằng k ).
Để chứng minh : A( n) k , ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một thừa số bằng k.
Ví dụ : Chứng minh : ( 3 n+2- 2n+2 +3n- 2n) 10.
Sau khi đưa ra phương pháp 4, đã có 45 % học sinh biết cách phân tích : A(n) = ( 3 n+2- 2n+2 +3n- 2n)= ( 3n.32 + 3n) - (2n..22+2n) = 3n(32+ 1) - 2n( 22+1)= 3n(9+1) - 2n-1.2.(4+1)=3n. 10 - 2n-1.10= 10 ( 3n- 2n-1) 10..
Có khoảng 5,5% học sinh áp dụng được sau khi gợi ý phân tích .
5. Phương pháp 5: ( dùng nguyên lý Đirichlê).
“nhốt con thỏ vào ( n-1) cái lồng, thì tồn tại ít nhất một cái lồng nhốt 2 con thỏ trở lên” . 
Via dụ : Chứng minh rằng : Trong 8 số tự nhiên, mỗi số có 3 chữ số, bao giờ cũng chọn được hai số mà khi viết hai số đó liền nhau , ta được một số có 6 chữ số và chia hết cho 7 .
Đây là bài toán tương đối khó và mới mẻ đối với học sinh , do đó giáo viên phải kết hợp đưa ra câu hỏi gợi mở và hướng dẫn học sinh làm .
Phần đa các em nhận xét được: Khi chia một số cho 7, ta có số dư là một trong các số 1;2;3;4;5;6. 
Có 7 số dư , mà ta lại lấy 8 số tự nhiên chia cho 7 , thì trong 8 số tự nhiên phải có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 7 . 
Đến đây chỉ có gần 40 % học sinh biết biểu diễn 2 số tự nhiên có 3 chữ số cùng số dư khi chia cho 7 là : 
 = 7k + r và = 7 h + r .
Thành số có 6 chữ số = . 1000 += ( 7k + r). 1000 + (7 h +r)= 7( 1000k+h ) + 1001.r = ( 7 ( 1000k +h ) + 7.143. r ) 7.
6. Phương pháp qui nạp :( Qui nạp toán học )
Đây là phương pháp mới mẻ đối với các em , trước hết giáo viên đưa ra phương pháp giải bằng qui nạp toán học , rồi cho học sinh vận dụng vào giải bài tập . Để chứng minh A( n) k ( na) 
Bước1 : Thử thấy A( n) k đúng với mọi giá trị của n=a .
Bước 2: Giả sử A( n) k đúng với n= h ( giả thiết qui nạp ) ( h).
Bước 3 : Dùng giả thiết qui nạp để chứng minh : A( n) k đứng với n= h+ 1 .
Bước 4 : Kết luận A( n) k ("n).
Ví dụ : Chứng minh ( 2. 7n +1)3 ( "n N*) .
 Khi đã nắm đựoc phương pháp chứng minh tổng quát , đa số các em vận dụng làm được bước 1 và bước 2 .
Thử được ; mệnh đề đúng với n= 0 vì 2. 70 +1 = 33 .
Giả sử : ( 2.7h + 1 ) 3 ( mệnh đề đứng với n= h ) ( h N*) 
Ta phải chứng minh : ( 2.7h +1 + 1 ) 3.
Đến đây có khoảng 65 % học sinh vận dụng được giả thiết qui nạp để chứng minh được rằng : 2.7h +1 + 1 = ( 2. 7h .7 ) + ( 7-6 ) = 7( 2. 7h +1) + 
( -6) .Ta có : 7 ( 2. 7h + 1) 3 ( vì ( 2. 7h + 1) 3 theo gt qui nạp ) và (-6) 3 .Từ đó suy ra : ( 2. 7h + 1) 3 9 mệnh đề đứng với n= h + 1 ) 
 Rồi đi đến kết luận .
Bài tập rèn luyện :
Sau khi đưa ra hệ thống phương pháp chứng minh chia hết , giáo viên cho học sinh luyện tập một số bài tập áp dụng , để khắc sâu kiến thức và rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập , rèn luyện tư duy logic , sáng tạo cho học sinh, yêu cầu học sinh độc lập cao độ trong các khâu phát hiện , giải quyết vấn đề và trình bày bài làm của mình .
 Bài 1 : 1. Chứng minh :( 3n+2+3n+1+2n+3+2n+2)6.
 b. Chứng minh hai số n và n5 có chữ số tận cùng bằng nhau khi đưa ra bài tập này , thì có đến 75% học sinh đã vận dụng làm được ngay bài 1 a bằng cách phân tích :
A(n) = 3n.( 32+3)+ 2n( 23+22) = 3n. 12 +2n.12= 12.(3n +2n)6.
Còn bài 1 b , đa số các em lúng túng , giáo viên chỉ gợi ý rằng : Nhận xét về hiệu của 2 chữ số tận cùng giống nhau , hiệu đó chia hết cho mấy ? Khi đó đã có đến gần 60 % học sinh nhận ra phải chứng minh : 
 ( n5 - n )10 .
đến đây có khoảng 40% học sinh biết cách phân tích ( n5 - n) thành dạng tích và chứng minh ( n5- n chia hết cho cả 2 và 5 .
( 2; 5 ) =1 ( n5 - n)10 như sau ;
n5 - n = n ( n4-1) =n( n+1) ( n-1) (n2+1) =( n+1)n ( n-1)( n2- 4+5) .
= ( n-2) ( n-1) n( n+1)n ( n+2)+ 5( n-1)n ( n+1)
 = A1 + A2.
A12 (vì ( n-2) ( n-1)2).
A1 5 (vì tích năm số tự nhiên liên tiếp 5) 
 A1 10 .
A12 (vì ( n-2) ( n-1)2).
A1 5 (vì có thừa số 55 ) 
 A1 10 
vậy ta có : ( n5 - n)10.
Bài 2 : Chứng minh rằng :
a. n(2n+1 ) ( 7n+1 ) 6 ( "n Z) .
b. A=75( 41993 +41992+ ....+ 4 +1 ) +25 100.
c. Trong các số tự nhiên , thế nào cũng có số k, sao cho ( 1983 k- 1)105.
Do học được hệ thống phương pháp chứng minh ở trên , nên các em đã nhận dạng được các bài tập và vận dụng phương pháp giải hợp lý .
Đối với bài 2a , đã có tới 55% , học sinh giải bằng phương pháp 1 hoặc phương pháp 3 ( nhân vào và đưa về dạng tổng có mỗi hạng tử đều 6 ) như sau :
A(n) = n( 2n+1) ( 7n+1) = 1n3 + 9 n2 +n = ( 12n3 +6n2)+ ( 2n3 - 2n ) +( 2n+3n2+n) = 6( 2n3 +n2 )+ 2( n-1) ( n+1)n + 3n ( n+1).
Từ đó suy ra : A( n) 6.
- Đối với bài 1b , có phần khó hơn , nên có khoảng 40% học sinh biết sử dụng phương pháp 4 để đưa A về dạng tích trong đó có 1 thừa số bằng 100 như sau : 
 A= 3.25 .( 41993 +41992+ ....+ 4 +1 ) +25.
=(4-1) .25 . ( 41993 +41992+ ....+ 4 +1 ) +25.
=[ 4. ( ( 41993 +41992+ ....+ 4 +1 )- ( 41993 +41992+ ....+ 4 +1 )] .25 +25.
= ( 41994 -1) .25 +25 = 25 . 41994 = 100. 41993 100.
Đối với bài 2c , có khoảng 3,5 % học sinh biết dùng phương pháp Đirichlê như sau : 
Xét dãy số : 19983 ; 19832 ; ....198310 gồm 105 số , khi chia cho 105 số sẽ có tối đa là 105 -1 số dư ( vì trong các số đó không có số nào chia hết cho 105, nên không thể có số dư là 0 ) . Do đó tồn tại hai số có cùng số dư , giả sử là : 1983 i - j và 1983 5 ( i ; j N ) ; ( 15 ).
 Ta có 1983i -1983j = 1983 i ( 1983 i - j -1)105 .
 Mà : ( 1983 ; 10 ) = 1 ( 1983 i ; 10 5 ) = 1 .
 ( 1983 i - j -1)105 .
 Vậy tồn tại số kN sao cho : ( 1983 k - 1) 105.
Bài tập về nhà :
Để khắc sâu và củng cố kiến thức , rèn luyện kỹ năng vận dụng, độc lập sáng tạo của học sinh, giáo viên ra thêm một số bài tập về nhà để học sinh rèn luyện thêm .
 Bài 1 : Chứng minh : n( n+2 ) ( 25 n2 - 1 ) 24 ( "n N) .
 Bài 2: Tìm n để các biểu thức sau nguyên : 
a. 
b..
 Bài 3 : Chứng minh rằng : 
a. a+4b 13 10a +b 13
b. 3a + 2b 17 10 a + b 17( a; b N) .
 Với bài tập này , đã có 80 % học sinh làm được đầy đủ, còn lại cũng làm được một đến hai bài .
 IV . Kiểm nghiệm chất lượng học sinh ..
Sau khi triển khai hoàn chỉnh chuyên đề “các phương pháp chứng minh chia hết” cho đối tượng học sinh khá giỏi lớp 7, tôi đã khảo sát lại chất lượng học sinh, với nội dung như sau : 
1. Chứng minh : ( k4 + 2 k3 - 16 k2 - 2k + 15 ) 16.
 ( "k nguyên , lẻ ) ( 4 đ) .
 2. Chứng minh : B + ( n2 + 4n+ 5 ) 8 ( 3 đ) ..
3. Chứng minh : C = ( 42n+2 - 1) 15 ( "n N) . ( 3 đ) .
 Kết quả thật đáng phấn khởi, có khoảng 75 % học sinh ( tức là 9/12 em đã áp dụng giải đầy đủ đúng 3 bài, trong số đó có 6 em ( tức là 50%) trình bày tốt , còn lại các em cũng làm được một đến hai bài .
 Một điều nữa là các em đã không còn lúng túng hay e ngại trước những bài toán chứng minh chia hết , ngược lại đã có rất nhiều em tìm tòi thêm tài liệu tham khảo , để tìm thêm các bài tập dạng này để thử sức, qua đó các em thêm phần yêu thích môn toán hơn .
* Kết quả cả bài có : - Điểm 9;10 : 6 em ( 50 %) 
 - Điểm 7;8 : 3 em ( 25 % ) 
 - Điểm 5;6 ; 2 em ( 16,7%)
 - Điểm dưới 5 : 1 em ( 8,3 % ).
C. Bài học kinh nghiệm:
 1. Vì chuyên đề “Các phương pháp chứng minh chia hết” là kiến thức sử dụng đới với học sinh khá giỏi, nên cần phải có những hình thức tổ chức hợp lý và phù hợp với đối tượng học sinh .
2. Chuyên đề này, các bài tập áp dụng rất phong phú và đa dạng, cần phải áp dụng tổng hợp và linh hoạt các kiến thức vì vậy đòi hỏi người học phải có trình độ nhận thức và tư duy tương đối cao .
 3. Trong quá trình giải toán áp dụng chuyên đề này, phải hiểu và sử dụng chính xác các thuật ngữ và kí hiệu toán học ( như kí hiệu chia hết , không chia hết , bội , ước , tập hợp , thuộc ...)
4. Trong quá trình ôn luyện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi phải chú trọng đến kiến thức cơ bản trong sgk, từng bước nâng cao yêu cầu, để đạt tới hoạt động vận dụng tổng hợp , phức tạp, để phát huy các năng lực tư duy toán học của học sinh , tức là phải phù hợp với quan điểm hoạt dộng trong học tập .Tất nhiên phải dựa trên nguyen tắc đảm bảo tính hợp logic, tính khoa học, tính sư phạm, và đặc biệt là đảm bảo tính hiệu quả trong công tác giảng dạy nói chung và trong công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng 
D. kết luận chung :
 Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, muốn khắc sâu, củng cố kiến thức, rèn luyện tư duy lôgic và sáng tạo, gây hứng thú học tập cho học sinh, ngoài việc giúp học sinh nắm vững và vận dụng thành thạo kiến thức sgk , thì giáo viên cần phải có sự đầu tư, tổng hợp, nâng cao, mở rộng, đào sâu kiến thức ngoài sgk .
 Trên cơ sở những kinh nghiệm những kinh nghiệm cuả bản thân và vận dụng quan điểm hoạt động vào việc giải quyết các bài toán chứng minh chia hết , tôi đã trình bày một phương pháp nhỏ trong rất nhiều những phương pháp phát triển năng lực toán học của học sinh khá giỏi thông qua chuyên đề “các phương pháp chứng minh chia hết” .
Để thực hiện đề tài này , tôi đã kết hợp kinh nghiệm của bản thân với tham khảo tài liệu và ý kiến của bạn bè đồng nghiệp. Tuy nhiên sẽ không tránh khỏi sự khuyến khuyết và những hạn chế nhất định. Tôi rất mong được sự góp ý chân thành của bạn bè đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện, có sức thuyết phục và đạt hiệu quả cao hơn trong quá trình thực nghiệm .
tôi xin chân thành cảm ơn .