Đề tài Hệ thống hóa các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

HỆ THỐNG HÓA CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
I/ Đặt vấn đề:
Trong chương trình PTCS việc rèn luyện cho các em giải toán hình học theo chuyên đề không được hệ thống, cụ thể mà phải vận dụng tuỳ nơi, tuỳ lúc các kiến thức khác nhau ,làm cho các em khó hình thành phương pháp chung khi giải một dạng toán. Cho nên nhiều em ngại làm toán hình và càng lúng túng trong việc tìm cách vẽ thêm đường phụ , tìm ra hướng đi giải của mỗi bài toán để làm cho bài toán trừu tượng lại trở thành cụ thể có hướng đi rõ ràng để đến điều cần chứng minh.
II/ Lý do chọn đề tài : 
Trên cơ sở thực tế giảng dạy thời gian dành cho luyện tập có hạn, việc bồi dưỡng theo chuyên đề lại không có cho nên số học sinh đại trà ngại làm toán hình học mà trong các kỳ thi TNTHCS cũng như khi làm toán đường tròn ở lớp 9 các em thường gặp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn hoặc khi cần chứng minh một yêu cầu đề bài ta cần phải liên quan nhiều đến tứ giác nội tiếp đường tròn đòi hỏi các em phải có kỷ năng phân loại toán để dể nhìn tìm hướng đi đạt hiệu quả , trong lúc các em bậc THCS phần lớn không giỏi môn Hình học nhiều, nhất là khi chứng minh đòi hỏi phải vẽ đường phụ thì học sinh lại càng lúng túng. Cho nên tôi muốn giúp học sinh suy nghĩ hệ thống các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn mà các em thường gặp khi giải toán hình học ở lớp 9 , để các em có hướng phân tích khi làm toán mà vận dụng sẽ mang lại hiệu quả trong chứng minh một số bài toán HHọc ở bậc THCS ra sao.
III/ Phần nội dung :
Khi bài toán yêu cầu chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn hoặc khi cần chứng minh một yêu cầu nào đó qua suy luận ta cần phải chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn để đáp ứng yêu cầu cho bài toán đề ra.Trong chương trình sách giáo khoa để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn ta có định nghĩa và vài định lí, trên cơ sở đó ta suy vài hệ quả của định lí trên để hướng dẫn học sinh phân loại và có nhận dạng khi chứng minh dễ dàng hơn 
1/ Trường hợp 1:
Vận dụng định nghĩa: Tập hợp những điểm M luôn cách điểm O cố định với một khoảng R không đổi thì nằm trên đường tròn tâm O,bán kính R.
Ví dụ:Cho tam giác ABC vuông tại A .Dựng đường tròn đường kính AC cắt BC tại H.Gọi D,E lần lượt là trung điểm của AB,BC
 Chứng minh : O,A,D,H,E cùng thuộc đường tròn.
A
A
D
E
H
H
B
C
+ Để chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn ta có chứng minh 3 hoặc 4 điểm cùng nằm trên đường tròn rồi sau đó chứng minh các điểm còn lại cũng nằm trên đường tròn đó.
+Nếu chứng minh 3 diểm nằm trên đường tròn trước : D,A,O cùng thuộc đường tròn thì đường tròn đó có tâm ở đâu và bán kính R=? (Đường tròn I đường kính AO, R=AO/2, I là trung điểm AO)
+Nếu tiếp tục chứng minh E cũng thuộc đường tròn đó thì ta chứng minh góc DEO bằng bao nhiêu độ?( góc DEO vuông vì DAOE là hình chữ nhật H/S tự C/M)
+Để C/minh H cùng thuộc đường tròn trên ta C/minh H cách tâm đường tròn đó bằng bao nhiêu? ( Tam giác AHE vuông tại H mà trung điểm AE trùng với trung điểm DO và AO=EA do ADEO là hình chữ nhật)
+ Từ các ý trên ta suy ra O,A.D,H,E cùng cách đều tâm I nên cùng thuộc đường tròn
Ví dụ : Cho tam giác đều ABC cạnh là a.Dựng đường cao AH,M bất kỳ thuộc BC ,dựng MP vuông góc AB,MQ vuông góc AC .
 Chứng minh :A,P,M,H,Q cùng thuộc đường tròn.
A
Q
P
M
H
C
B
+ Em có nhận xét tứ giác APMH có thể nội tiếp đường tròn? Vì sao ?Tâm đường tròn? Có bán kính bằng bao nhiêu? (Đường tròn tâm O ,O là trung điểm AM, có bán kính bằng AM/2)
+So sánh OQ với AM ,từ đó ta suy ra Q ,A,P,M,H như thế nào so với tâm O
2/ Trường hợp 2:
Vận dụng định lí : Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 
 Tổng 2 góc đôí diện bằng 2 vuông
Ví dụ: Cho đường tròn tâm O đường kính AB,lấy một điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn, nối CA,CB. Dựng tiếp tuyến CN đối với đường tròn O. Từ điểm D trên AB vẽ đường vuông góc AB tại D cắt AC tại E, Cắt CN tại G,Cắt BC tại F
a/ Chứng minh : Tam giác GEC cân
b/ Chứng minh G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FEC
F
 + Để CM tam giác GEC ta cần chứng minh 
	điều gì? ( Góc E = Góc C)
E
C
+ Ta kiểm tra góc C có thể = góc nào?( Góc C = Góc ABC cùng chắn cung AC)
D
B
A
+ Như vậy ta cần chứng minh Góc GEC = Góc ABC mà góc GEC bù với góc CED, điều đó gợi ta chứng minh tứ giác ECBD như thế nào?( Nội tiếp đường tròn)
+ Tứ giác đó nội tiếp đường tròn vì sao?( Có góc ECB + Góc BDE = 2V)
Như vậy dẫn dắt ta đi C/M từ tứ giác nội tiếp suy ra điều cần chứng minh
b/ +Để chứng minh G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FEC thì ta cần chứng minh G là gì của EF ? ( Trung điểm EF)
 + Để C/M G là trung điểm EF ta cần chứng minh điều gì? ( GC=GF=GE)
+ Để chứng minh GF= GC ta chứng minh góc GFC= góc GCF, mà 
 góc GCF =góc ECO = góc CAO(cùng phụ với góc ACO, mà góc ACO= góc OAC do tam giác AOC cân tại O) . Điều đó gợi cho ta góc GFC= Góc nào?
 (góc GFC = góc CAB) 
+ Góc GFC = Góc CAB vì sao? ( Vì tứ giác FCDB nội tiếp hoặc cùng phụ góc ABC). Bài toán đã gợi ta điều cần chứng minh
Ví dụ : (Đề thi TNTHCS 07-08)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB.Dựng tiếp tuyến đường tròn O tại A,trên tiếp tuyến lấy một điểm C sao cho AC=AB.Từ C dựng CD là tiếp tuyến đường tròn O, CO cắt AD tại H,CB cắt đường tròn tại M
a/ Tính AH,AD
b/ Chứng minh : góc MHD = 450
c/ Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB. Tính diện tích phần của hình tròn này nằm ngoài (O,R).
C
 a/ Việc tính AH,AD Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông .
B
M
H
D
A
b/ Để chứng minh góc MHD = 450 ta có thể tìm trong bài toán nầy có góc nào bằng 450 ta chứng minh bằng góc MHD ? ( góc ACB = ABC do tam giác ACB vuông cân tại A)
O
 +Nếu để chứng minh góc MHD = góc ACM ta phải chứng minh tứ giác CMHA nội tiếp đường tròn vì sao? ( Vì để cùng bù với góc MHA), Tứ giác đó đủ yếu tố kết luận nội tiếp đường tròn được không?
(( Tứ giác đó có góc AHC vuông ,Góc AMC vuông (do góc AMB là nội tiếp chắn nửa đường tròn) nen tứ giác đó nội tiếp đường tròn đường kính AC))
c/ Để gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH điều đó gợi cho ta tam giác MHB phải vuông và I thuộc MB chứ không thì việc tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp sẽ khó tính toán,cho nên cho phép ta dự đoán chứng minh tam giác MHB vuông tại H hoặc tứ giác MHOB nội tiếp đường tròn.
Điều đó chứng minh được do tam giác DHB vuông cân tại D
(Vì AD=2 HD,AH= HD= ( Tính trên)
Tam Giác ADB vuông tại D tính được DB == )
Suy ra góc DHB = 450 . Do đó góc MHB=900 Từ đó ta xác định được tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ta sẽ tìm được theo yêu cầu bài toán
Ví dụ: Cho đường tròn (O) ,Gọi H là trung điểm của dây AB bất kỳ ,qua H dựng 2 cát tuyến PQ,KL bất kỳ . Nối KP,QL cắt dây MN tại I và T.
Chứng minh : HI=HT
L
Q
H
B
A
K
G
P
Ta nhận thấy 2 dây PQ,KL là 2 dây bất kỳ cho nên nếu ta dựng dây PQ đối xứng qua đường kính thì ta chỉ cần chứng minh góc HPI= góc HGT là tạo được 2 tam giác bằng nhau ta suy ra HI=HT. Nhưng để chứng minh góc HPI= góc HGT lại tiếp tục phân tích tiếp, Ta có góc KPQ= góc KLQ, Do đó muốn chứng minh 
góc HPI= góc HGT ta lại cần chứng minh tứ giác HGLT nội tiếp đường tròn là thoả mãn vấn đề đặt ra.
Thật vậy ta dựng PG vuông góc với OH , xét tứ giác HGLT
Ta có: Góc GHT = Sđo(PM+NQ)/2 ( gócGHT= gócMPH) (1)
 Góc TLG = Sđo(QM+MG)/2 (2) 
 Vì : Cung MP = CungGN ( Do MN song song với PG)
Nên suy ra góc TLG + Góc THG = 1800
Vậy tứ giác HTLG nội tiếp đường tròn, ta sẽ suy ra điều phân tích trên dẫn đến bài toán được chứng minh.
3/Trường hợp 3:
 Ta chứng minh góc trong của tứ giác bằng góc ngoài của góc đối diện tứ giác : Thực ra bài toán nầy cũng đưa về trường hợp ở trên song trong thực tế ta đi theo hướng nầy lại dể nhận thấy hơn
 Ví dụ: Cho đường tròn tâm O đường kính AB.Trên tiếp tuyến đường tròn O tại B, lấy MB=AB,AM cắt đường tròn (O) ở C,I là trung điểm BM.
a/Chứng minh IC là tiếp tuyến đường tròn
b/AI cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh MCEI nội tiếp đường tròn
M
c/ CO cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh M,F,E thẳng hàng.
a/ Chứng minh IC là tiếp tuyến đường tròn ( Giản đơn)
b/Để chứng minh tứ giác MCEI nội tiếp 
E
E
I
C
ta có thể chứng minh góc CMI= góc CEA để suy ra góc CMI + góc CEI = 1800(vì góc CEI+ góc CEA = 1800 kề bù)
B
A
Thật vậy:
O
 Góc AMB = góc ABC ( cùng phụ góc CAB)
F
Góc ABC = góc AEC ( cùng chắn cung AC). Từ đó ta suy ra điều cần tìm
C/ Từ tứ giác MCEI nội tiếp đường tròn và góc CÈ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta suy ra điều chứng minh.
Ví dụ : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy 2 điểm C,D sao cho cung AC= cung CD= cung DB. AC ,AD cắt tiếp tuyến đường tròn O tại B lần lượt là E và F.
Chứng minh : ECDF nội tiếp đường tròn
E
	Bài toán nầy liên quan đến sđo cung .
+Ta tính được sđo góc ADC= 300
+Sđo góc AIB là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn ta tính được góc AIB= 300 
Từ đó ta đưa về trường thứ 2 để kết luận tứ giác nội tiếp dể dàng.
C
F
D
A
B
B
Vi dụ : Cho tam giác ABC . Dựng 2 đường cao AE và CD . Từ D và E dựng DP song song với BC,EQ song song với AB
A/tính tỉ số : Diện tích tam giác BDE và diện tích tam giác ABC
D
E
B/ Chứng minh tứ giác DPQE nội tiếp đường tròn ( Trong trường hợp tứ giác DQPE tương tự)
A
Q
P
C
a/ S.BDE/S.ABC=BD.BE/BC.BA
 =BD2/BC2
 (Sin BAE= Sin DCB)
b/Để chứng minh DPQE nội tiếp đường tròn ta chứng minh góc PDE= góc EQC để ta đưa về trường hợp 2 mà kết luận tứ giác nội tiếp.
Ta có:
Góc EQC= Góc BAC (Đồng vị)
Mà : Góc BAC = Góc A1+góc A2
Ta lại có : góc A1= Góc D1( cùng chắn cung EC)
Góc A2=Góc C2( Cùng chắn cung DE),mà góc C2= góc D2( so le trong)
Từ đó ta suy ra : Góc EQC= góc D1 + góc D2= góc EDP (ĐCCM)
4/ Trường hợp 4:
Hai tam giác vuông ABC và DBC có chung cạnh huyền BC thì ABCD nội tiếp đưòng tròn đường kính BC
Ví dụ: từ M ở ngoài đường tròn (O),ta vẽ 2 tiếp tuyến MA,MB đối với đường tròn (O).H là điểm nằm giữa BA , qua H dựng đường vuông góc OH cắt MA ở E,cắt MB ở F.
Chứng Minh :OE=OF
E
A
 a/ Để chứng minh OE=OF ta chứng minh tam giác EFO cân tại O hay góc OEF= góc OFE.
F
B
H
M
O
	-Nhưng chúng ta xét tiếp những góc OFE và Góc OEF bằng những góc nào mà chúng cùng nội tiếp đường tròn?(Tứ giác OHBF nội tiếp ta có : góc OBH= góc OEH cùng chắn cung OH,tương tự góc OEH = góc OAH cùng chắn cung OH ,mà tam giác OBA cân tại O) .Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A.AH là đường cao. M,N là điểm đối xứng của H qua AB,AC
a/ Chứng minh : góc ABC= Góc AMN
b/Chứng minh rằng đường kính BC tiếp xúc với MN tại A
M
A
 c/Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN tiếp xúc BC
N
 a/ +Để chứng minh góc ABC= Góc AMN ta
O
H
C
B
 phải chứng minh tứ giác nào nội tiếp đường tròn?(tứ giác BHAM) –
+ T ứ gi ác BHAM nội tiếp đường tròn cần chứng minh góc BAM bằng bao nhiêu độ? (= 900)?
+ Đi ều đó dể dàng do tam giác BAM= tam giác BAH) .Từ đó ta suy ra( ĐCCM)
b/Ta có :+ Góc AMH =góc ABH cùng chắn cung AH
	 + Mà góc ABH = góc ABM ( Do 2 tam giác bằng nhau)
	 + Góc OBA= Góc OAB ( Tam giác OAB cân tại O)
 	 Ta suy ra Góc MBA= Góc OAB( so le trong), nên OA Song song MB mà MB vuông góc MA nên OA vuông góc AM.
 Chứng minh tương tự OM vuông góc AN 
Ta kết luận được M,A,N thẳng hàng
C/Để chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính MN ta chứng minh tam giác MHN vuông tại H và A là trung điểm MN(bài nầy quen thuộc đối với các em)
Ví dụ : cho tam giác ABC vuông tại A.D thuộc AC,Dựng đường tròn tâm D tiếp xúc BC tại E,dựng BF là tiếp tuyến (D). Mlà trung điểm BC,AM cắt BF 
 tại N. Chứng minh : AN= NF 
	Phân tích: Để chứng minh AN= NF ta cần ch ứng minh Tam gi ác ANF cân tại A hay góc 
B
N AF= g óc FAN
M
+Ta kiểm tra góc AFN có thể bằng góc nào nó cùng nội tiếp đường tròn? Chứng minh điều đó? (=Góc ADB, Tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn)
N
E
+ Góc ADB bằng góc nào đối với tam giác BDC? ( =Góc ACB+ góc CBD)
F
D
C
A
 + Tìm mối liên quan NAD với góc MCA,góc DAF với góc FBD).từ đó ta suy ra điều cần chúng minh?
Vi du: Cho tam giác ABC vuông tại A. P,Q theo thứ tự là giao điểm đường phân giác trong BAH với ABH,Giao điểm đường đường phân giác trong HAC với góc ACH . CQ kéo dài cắt AP tại N
A/ Chứng minh : ANHC nội tiếp
B/ Đường PQ cắt AB tại E cắt AC tại F. Chứng minh AE=AF
A
B
H
P
Q
N
E
E
G
 Phân tích : a/ Để chứng minh tứ giác ANHF nội tiếp đường tròn ta chứng minh góc ANF băng bao nhiêu độ?( = 900, vì góc AHF=1 vuông)
+ Kiểm tra xem góc NAC + góc NCA=? độ( Chú ý góc BCN=Góc NAB)
C
b/Từ NC vuông góc AP, tương tự BM cũng vuông góc AQ, từ tích chất ba đường cao trong tam giác APQ và tích chất 3 đường phân giác trong tam giác ABC ta suy ra AG là đường gì của goá BAC, điều đó gợi í cho ta Tam giác AEF ? ( Vuông cân)
5.Trường hợp 5: Vận dụng tích chất cung chứa góc :
 + Hai góc ABC ,ADC có số đo bằng nhau cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC thì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.
Ví dụ : Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi B’,C’,A’ là điểm đối xứng của H qua các cạnh AC,AB,BC
C’
A
A/ Chứng minh các điểm A’,B’,C’ cùng thuộc đường tròn (ABC)
B’
H
B
Phân tích: Để chứng minh B’ thuộc đường tròn ta chứng minh góc AB’B bằng góc nào thuộc đường tròn (ABC)? ( = góc ACB)
C
+ Mà ta có góc AB’B= góc AHB’ vì sao?
A’
+ Điều đó gợi cho ta chứng minh điều gì?
Từ suy luận trên tta đã có hướng chứng minh tứ giác AB’CB nội tiếp đường trò
Ví du:Cho tam giác ABC. Dựng đường cao AE,CD. Từ D,E dựng DP song song BC,EQ song AB. 
 Chứng minh DEPQ nội tiếp đường tròn
D
E
B
	Phân tích : Tứ giác EDQP là tứ giác chéo , để chứng minh nội tiếp đường tròn ta chứng minh điều gì?(có thể góc EDP=góc EQP)
+ Ta tìm mối liên quan của hai góc trên,
A
 Ta có: góc EDP= 1800-( góc BDE+góc ADP)
Q
 Mà Góc ADP= góc ABC (đồng vị)
P
C
 Góc ACB= góc BDE ( Do tứ giác DECA nội tiếp đường tròn)
 Nên góc EDP= Góc BAC,
 Góc BAC= Góc EQP (Đồng vị)
Từ phân tích trên ta đã đưa về trường hợp 5
Ví dụ : Cho hai đường tròn (O),(O’) cắt nhau tại AB,OB cắt đường tròn (O’) tại F.O’B cắt đường tròn O tại E 
A/ Chứng minh O,O’E,F,A cùng thuộc đường tròn
B/ Dựng MN qua B song song EF( M thuộc đường tròn O, N thuộc đường tròn O’ Chứng minh EBAM là hình thang cân
C/ Chứng minh MN= AE + AF
M
E
F
Phân tích: A/ Để chứng minh 5 điểm nội tiếp đường tròn /ta chứng ming 4 điểmNE,O,A,O’ nội tiếp đường tròn?
B
Ta Kiểm tra :
N
O’
O
gócÔAO’ + góc OE O’= góc OBO’ + GócOBE
A
	B/ Để chứng minh EBAM là hình thang cân ta cần chứng minh EB song song với MA tương đương EB là phân giác góc AEF, để chứng minh điều đó ta vận dụng cung chứa góc của tứ giác nội tiếp đường tròn (EOAO’F) và đường tròn O’ ta suy ra điều cần chứng minh 
C/Trên cơ sở câu b/ ta chứng minh đựơc điều cần chứng minh.
Vdu.:
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC,các tiếp điểm (O) với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Dựng BB’ vuông góc AO, AA’ vuông góc BO
Chứng minh : E,A’,B’,D thẳng hàng.
Phân tích:Trước hết ta chứng minh 3 điểm B’,A’,E thẳng hàng tương đương góc EA’B’ bằng 180 0 ( hoặc góc BA’B’ + góc Â’E bằng 900 )
Mà Tứ giác ABB’A’ nội tiếp đường tròn( C/m được) ta góc BA’B’= góc BAB’ ( cùng chắn cung BB’),góc AA’E = góc AOE ( cùng chắn cung AE) ,mà góc BAB’= góc B’AE do AB là tia phân giác góc BAC
từ suy luận trên ta suy ra điều chứng minh,Tương tự chứng minh D,B’A’ thẳng hàng
6/ Trường hợp 6 : Ứng dụng tam giác đồng dạng ta đưa về trường hợp cung chứa góc( chương trình lớp 10 gọi là phương tích đường tròn)
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn cho ta tam giác AID đồng dạng tam giác CIB ( góc-góc)
suy ra :AI/ CI= ID/IB hay AI*IB=IC*ID.(1)
Ngược lại :Nếu có hệ thức AI*IB=IC*ID ta chứng minh dẫn đến hai tam gi ác AID đ ồng d ạng CIB cho ta hai góc bằng nhau cùng thuộc nửa
mặt phẳng đưa về trường hợp 5 cung chứa góc để ch ứng minh tứ giác nội tiêp đường tròn.
Do đó để chứng minh tứ giác nội tiếp ta chỉ cần chứng minh hệ thức (1) và ta tạm chấp nhận tứ giác ABCD nội tiếp khỏi viết dài dòng ( nhưng ở chương trình cấp II các thầy cô cần đưa về cụ thể hai tam giác đồng dạng rồi suy ra hai góc bằng nhau cùng chắn cung ,cùng thuộc nửa mặt phẳng để kết luận tứ giác nội tiếp).
Ví dụ :
Cho đường tròn tâm O, Dựng 2 cát tuyến AB CD cắt nhau tại I. Dựng đường tròn đường kính AB dựng đường tròn dường kính CD. Đối với đường tròn đường kính AB dựng đường vuông góc tại I cắt đường tròn tạiH, đối với đường tròn đường kính CD dựng đường vuông góc tại I cắt đường tròn tại K .Chứng minh IH=IK
	 Nhận xét: Đối với đường tròn đường kính AB
	 Ta có IH2 = IA*IB
Đối với đường tròn đường kính CD
Ta có : IK2 = IC*ID
Đối với đường tròn tâm O ta chứng IA*IB=IC*ID dể dàng
7/ Trường hợp 7: Ứng dụng phương tích đường tròn đưa về tam giác đồng dạng rồi ti ếp tục đưa về cung chứa góc tương tự trường 6 .
Trường hợp ABCD nội tiếp đường tròn,mà AB cắt CD tại : IA*IB=IC*ID và ngược lại 
( Tự chứng minh) Khi A trùng B thì IA là tiếp tuyến đường tròn ta có IA2 =IC*ID 
(Đây là phương tích đường tròn mà lớp 10 các em mới học , song các đề thi tuyển lớp 10 thường hay có dạng nâng cao nầy các em thường khó nhận dạng , cho nên ở cấp II chúng ta vẫn giới thiệu để các em làm quen nhưng khi làm ta biến đổi cụ thể đưa về trường hợp cung chứac góc bằng nhău cùng chắn một cung và cùng thuộc nửa mặt phẳng để suy ra hai tam giác đồng dạng
Ví dụ: Cho F nằm giữa A và B> dựng ( O,AF/2) và (O’,AB/2). Dây BE của đường tròn O’ tiếp xúc đường tròn O tại C .AC kéo dài cắt đường tròn O’ tại D
Chứng minh: AC*AD+BC*BE= AB2 
Phân tích: Nên cho HS làm quen với các biểu thức đối với phương tích đường tròn, hoăc kiểm tra xem biểu thức nầy do đâu mà có thường là các hệ thức trong tam giác vuông .
+ Nêú nhìn dưới dạng phương tích ta suy luận như sau :
-Để AC*AD=AH*AB chẳng hạn thì H thuộc đường tròn BDHC , cho nên ta tìm H thuộc AB sao H thuộc đường tròn BDCH? ( Dựng CH vuông góc AB)
-Để BC*BE= BK*BA chẳng hạn thì K thuộc AB sao cho HCEA nội tiếp đường tròn,vì góc BEA vuông nên CK phải vuông góc AB hay CK trùng CH)
Từ hai biểu thức trên cộng lại điều cần chứng minh
Ví dụ ( Thi TNTHCS 04-05)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn B,C là tiếp điểm, đường thẳng đi qua A cắt đường tròn tại D và E( D nằm giữa A và E,Dây DE không đi qua tâm,H là trung điểmDE,AE cắt BC tại K
A/ Chứng minh : ABOC nội tiếp
B/ HA là phân giác góc BHC
C/ Chứng Minh : 2/AK=1/AD +1/ AE
 	Phân tích:
 Câuc/ Ta biến đổi để đưa biểu thức 
 về biểu thức đơn giản để nhận dạng cần chứng minh.
 2/AK = 1/AD + 1/AE
 2AD*AE = AK( AE+AD)
Mà AD*AE thoả mản hệ thức nào đối với đường tròn (O)?
2AD*AE = 2 AB2 (1)
 Tứ giác HKIO nội tiếp đường tròn ( Tự Cminh) HK và OI cắt nhau tại A cho ta hệ thức nào?
AK*AH = AI*AO suy ra AK = AI*AO/AH (2)
Mà AI*AO bằng hệ thức nào trong tam giác vuông OBA vuông tại B có BI là đường cao? ( = AB2 ) (4)
Đồng thời AH= (AD + E D)/2 ? (3)
Trên cơ sở vừa vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và nhìn dưới dạng phương tích đường tròn ta có các hệ thức từ (1) ,(2),(3), (4), ta dể dàng chứng minh ĐCCM
Ví dụ : Cho A,B,C thẳng hàng . Dựng (O,AB/2), dựng d là đường thẳng vuông góc với CA tại C,lấy M,N tuỳ ý thuộc đường tròn ,nối AM,AN cắt đường thẳng d tại M’,N’.
Chứng minh M’,M,N,N’ nội tiếp đường tròn
Nhận xét : Nếu nhìn dưới dạng phương tích đường tròn rồi đưa về tam giác đồng dạng đẫn đến 2 cung chứa góc bằng nhau trường hợp 5 ta dể dàng tìm ra cách chứng minh .
+ Đối với (M’MBC) ta có:
 AM * AM’ = AB * AC
+ Đối với (CBNN’) ta có
 AN*AN’ = AB *AC
Từ đó ta suy ra : AM*AM’= AN*AN’
Ta đã đưa về trường hợp 5 ta chứng minh MM’N’N nội tiếp dể dàng
Ví dụ : Cho (O). từ M ở ngoài đường tròn ta dựng MA là tiếp tuyến đường tròn(O),một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại E và F .,dựng AH vuông góc MO . chứng minh EHOF nội tiếp đường tròn.
	Nếu nhìn dưới dạng phương tích đường tròn 
Ta có : ME*MF=? ( MA2 )
Nhìn dưới dạng hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO vuông tại A,AH là đường cao thì ta có MH*MO=? ( MA2 )
Từ hai hệ thức trên ta suy ra điều cần suy luận để có hướng chứng minh tứ giác EFOH nội tiếp dể dàng .
IV.Kết luận : Đây là một chuyên đề mang tính chất gợi ý nhằm giúp HS có hướng trong quá trình phân tích tìm hướng đi khi chứng minh một số dạng toán tứ giác nội tiếp hoặc ứng dụng tứ giác nội tiếp , chưa phải hệ thống đầy đủ ,mà còn tuỳ thuộc linh hoạt trong quá trình phân tích định hướng của mỗi cách giải, cho nên không thể đầy đủ mong các thầy cô đồng môn bổ sung hoàn thiện hơn. 	 
 Người viết 
 Nguyễn đắc Duân