Đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải dạng toán “Tìm x”

Phần I: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài: 
 “Cùng với KHCN, giáo dục là quốc sách hàng đầu” chủ trương đó đã thể hiện rõ quan điểm đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nước.Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới công tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách kiểm tra đánh giá vv...nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện.Cùng với khẩu hiệu‘‘Nói không với tiêu cực trong thi cử và bệnh thành tích trong giáo dục’’năm học này toàn ngành tiếp tục thực hiện khẩu hiệu “Hai không” càng thể hiện hơn quyết tâm của toàn ngành, hứa hẹn một sự đột phá đầy ấn tượng của nền giáo dục nước nhà. 
 Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, môn Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác. Xưa nay đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến, việc học toán đối với học sinh là một điều khó khăn. Học toán đồng nghĩa với giải toán, trong học tập muốn làm được bài tập ngoài việc có một phương pháp suy luận đúng đắn đòi hỏi học sinh phải có vốn kiến thức sẵn có tiếp thu từ các công thức, các quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lývà việc vận dụng những kiến thức đã học vào giải bài tập . Trong các vấn đề trên, một vấn đề mà bản thân tôi mang nhiều băn khoăn tôi nhận thấy học sinh lớp 7 còn nhiều vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, đó là giải dạng toán “Tìm x”. Lí do là học sinh lớp 7 chưa nắm vững quy tắc đổi dấu , quy tắc chuyển vế ; do học sinh chưa học qui tắc giải phương trình, các phép biến đổi tương đương Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng. Đặc biệt biểu thức về giá trị tuyệt đối của một số, của một biểu thức, chưa biết vận dụng biểu thức này vào giải bài tập, chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải đối với từng dạng bài tập. Mặt khác phạm vi kiến thức ở lớp 6,7 học sinh mới bắt đầu làm quen về vấn đề này, nên chưa thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và phong phú được. Mặc dù chương trình sách giáo khoa sắp xếp hệ thống và logic hơn sách cũ rất nhiều, có lợi thế để dạy học sinh về vấn đề này , nhưng tôi thấy để giải bài tập về “Tìm x”. thì học sinh vẫn còn lúng túng trong việc tìm ra phương pháp giải và việc kết hợp với điều kiện của biến để xác định giá trị phải tìm là chưa chặt chẽ. Chính vì vậy, trong khi giảng dạy về vấn đề này tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối để phân chia được các dạng, tìm ra được phương pháp giải đối với từng dạng bài. Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phương pháp giải nhanh gọn, hợp lí. Trong bản SKKN này tôi xin phép chỉ giới thiệu điều mình đã thực hiện đó là :
 Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải dạng toán “Tìm x”
2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh lớp 7 một số kiến thức để giải một số dạng giải bài toán tìm x . Cũng từ đó mà phát triển tư duy lôgic cho học sinh, phát triển năng lực giải toán cho các em, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn và còn giúp các em tự tin hơn khi làm toán.
3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu:
+ Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 7B 
+ Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng bài toán “ Tìm x”. Các bài toán không vượt quá chương trình toán lớp 7.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tóm tắt một số kiến thức liên quan đến việc tìm x.
- Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về “tìm x”.
5. Các phương pháp nghiên cứu: 
-Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo
- Trao đổi với bạn bè , đồng nghiệp 
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau.
Phần II: Nội dung
I . Cơ sở lý luận: Trong quá trình giảng dạy, để đạt được kết quả tốt thì việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tầm quan trọng đặc biệt.
Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn toán ở trường THCS. Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn toán do vậy việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là việc làm hết sức cần thiết.
 Đối với giáo viên vấn đề rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh không phải ai cũng làm được tốt. Vậy muốn làm tốt điều này yêu cầu người thầy phải có được những đúc rút kinh nghiệm cho riêng mình, từ đó truyền cho học sinh những cách quan sát, phát hiện, dự đoán để có những sáng tạo hợp lý. Bên cạnh đó người thầy phải luôn tự học tự bồi dưỡng để trang bị cho mình vốn kiến thức cần thiết.
 Thực trạng hiện nay cho thấy chất lượng bộ môn toán qua các đợt thanh tra, kiểm tra thường là một điều đáng ngại đối với giáo viên. Hơn thế nữa, chúng ta đang ra sức để xoá bỏ tình trạng học sinh ngồi nhầm lớp. Tất cả những lý do trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan và chủ quan như học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn vv Môn toán là một trong những môn học ở trường THCS, nó cùng với các bộ môn khác giáo dục thế hệ trẻ trở thành người phát triển toàn diện vừa có phẩm chất đạo đức XHCN, có trình độ tri thức, có năng lực sáng tạo, biết vận dụng khoa học vào thực tiễn.Vì thế để đạt được mục đích đó người thầy giáo cần có nhiều đổi mới về phương pháp giảng dạy. Phải dạy cho học sinh biết cách học, biết cách nghĩ, biết cách làm từ đó từng bước hình thành ở học sinh năng lực tự học, khả năng sáng tạo, năng lực hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề.. 
II. Cơ sở thực tiễn
Với học sinh lớp 7 thì việc giải dạng toán “ Tìm x ” gặp rất nhiều khó khăn do học sinh chưa học qui tắc giải về phương trình, các phép biến đổi tương đương Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng túng không tìm được hướng giải và khi giải hay mắc sai lầm. Khi chưa hướng dẫn học sinh giải bằng cách áp dụng đề tài, học sinh giải thường vướng mắc như sau:
Ví dụ 1 : Tìm x biết x- 2x +3 = 6 - x
+ HS chưa rõ tìm x như thế nào ? Hoặc khi chuyển vế không đổi dấu .
Ví dụ 2: Tìm x biết |x-5| - x = 3
+ Học sinh không biết xét tới điều kiện của x, vẫn xét 2 trường hợp xảy ra:
 x – 5 – x = 3 hoặc 5 – x – 3 = 3
+Đưa về dạng | x – 5| = 3 +x
=> x-5 = x+3 hoặc x- 5 = -(3+x)
và học sinh chưa hiểu được ở đây 3 + x có chứa biến x.
+ Có xét tới điều kiện của x để x – 5 ³ 0; x-5 <0 nhưng đối với mỗi trường hợp học sinh chưa kết hợp với điều kiện của x, hoặc kết hợp chưa chặt chẽ.
Ví dụ 3: Tìm x biết | 2x – 3| = 5
Học sinh chưa nắm được rằng ở đây đẳng thức luôn xảy ra (vì 5>0) và có thể các em đi xét giá trị của biến để 2x - 3³0 hoặc 2x –3<0 và giải 2 trường hợp tương ứng, cách làm này của học sinh chưa nhanh gọn.
* Khi tôi áp dụng đề tài này vào quá trình hướng dẫn học sinh giải được bài, hiểu rất rõ cơ sở của việc giải bài toán đó. Còn ở ví dụ 2 các em đã biết lựa chọn ngay cách giải nhanh (và hiểu được cơ sở của phương pháp giải đó là áp dụng tính chất; hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau). 
Cụ thể : 
 |2x-3|= 5( vì 5>0)
 =>2x – 3 = 5 hoặc 2x – 3 = -5
Thực trạng : Qua khảo sát khi chưa áp dụng đề tài tôi khảo sát lớp 7B trường THCS Bắc Kạn với đề bài: 
Tìm x biết:
	 a) 3x - 2 = 5 ( 2 điểm )
	 b) 6x - 5 x2 = 2 - 5 x2 ( 3 điểm ) 
 c) |2x – 5| = 7 ( 3điểm)
 d) |5x – 3| - x=7 ( 2 điểm) 
Kết quả đạt được như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu 
7B
3%
14%
73%
10%
Tôi thấy học sinh còn rất lúng túng về phương pháp giải, chưa nắm vững phương pháp giải đối với từng dạng bài, quá trình giải chưa chặt chẽ, chưa kết hợp được kết quả tìm ra với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh, hợp lí.
Kết quả thấp là do học sinh vướng mắc những điều tôi đã nêu ra ( ở phần trên) và phần lớn các em xét chưa được chặt chẽ ở câu c , d.
III.Giải pháp thực hiện
A. Những kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán tìm x
Yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải bài tập tìm x, một điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 về vấn đề này đó là học sinh chưa được học về phương trình, bất phương trình, các phép biến đổi tương đương, hằng đẳng thức nên có những phương pháp dễ xây dựng thì chưa thể hướng dẫn học sinh được, vì thế học sinh cần nắm vững được các kiến thức cơ bản sau:
1/Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế.
2/Tìm x trong đẳng thức: 
Thực hiện phép tính , chuyển vế đưa về dạng ax = b => x =
3/Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối.
B. Những biện pháp tiến hành.
Từ các quy tắc , định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang các dạng khác, từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải khác đối với mỗi dạng bài, loại bài. Biện pháp cụ thể như sau:
•Một số dạng cơ bản:
1. Dạng cơ bản A(x) = B(x) 
 * Cách tìm phương pháp giải :
	Làm thế nào để tìm ra x ? cần áp dụng kiến thức nào ( sử dụng quy tắc chuyển vế ) ? khi làm cần lưu ý điều gì ?( Lưu ý khi chuyển vế phải đổi dấu ) . 
 * Phương pháp giải 
	Sử dụng quy tắc chuyển vế chuyển các hạng tử chứa biến x sang vế trái , còn chuyển các hệ số tự do sang vế phải . Thực hiện các phép tính thu gọn và tìm x . 
 * Ví dụ 
 Tìm x , biết 2x - 3 = 5x + 6 
Bài giải
 2x - 3 = 5x + 6 
	2x - 5x = 6 + 3
	 - 3x = 9 
	x = 9 : (-3) 
 	x = -3 ( GV lưu ý HS cả cách trình bày ) 
2. Dạng cơ bản |A(x)| = B với B ³ 0
* Cách tìm phương pháp giải:
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra thì cần áp dụng kiến thức nào để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyêt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
* Phương pháp giải:
Ta lần lượt xét A(x) = B và A(x) = -B, giải hai trường hợp.
* Ví dụ: 
Ví dụ 1: 
 Tìm x biết |x- 5| = 3
Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán:Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? 
(có xảy ra vì |A| ³ 0 , 3>0). Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
Bài giải
|x-5| = 3 => x – 5 = 3 hoặc x – 5 = -3
+ Xét x - 5 = 3 => x = 8
+ Xét x – 5 = -3 => x = 2
 Vậy x = 8 hoặc x = 2
Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra các ví dụ khó dần.
Ví dụ 2: Tìm x biết: 3|9-2x| -17 = 16
Với bài này tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để đưa được về dạng cơ bản đã học?”. Từ đó học sinh phải biến đổi để đưa về dạng |9-2x|=11
 Bài giải
	 3|9-2x| -17 = 16 
	=>3|9-2x| = 33
 => |9-2x| = 11
 => 9-2x = 11 hoặc 9 – 2x = -11
	+ Xét 9- 2x = 11 => 2x = -2 => x = -1
	+ Xét 9-2x = -11 => 2x = 20 => x= 10
	Vậy x= -1 hoặc x = 10
3. Dạng |A(x)| = B(x) ( trong đó Bx là biểu thức chứa biến x)
* Cách tìm phương pháp giải:
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên, học sinh thấy được rằng đẳng thức không xảy ra Nếu B(x) < 0
=> Cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản trên để suy luận tìm ra cách giải không? Có thể tìm ra mấy cách?
 * Phương pháp giải:
Cách 1: ( Dựa vào tính chất)
	|A(x) |= B(x)
Với điều kiện B(x) ³0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x)( giải 2 trường hợp với điều kiện B(x) ³0)
Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. |A(x) | = B(x)
+ Xét A(x) ³0 => x ? Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) ³0)
+ Xét A(x) x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận: x = ?
Lưu ý: Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau ( |A(x)| = m ³0 dạng đặc biệt vì m>0) của 2 dạng.
	Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng |A | = B(Nếu B³0 đó là dạng đặc biệt còn Nếu B< 0 thì đẳng thức không xảy ra. Nếu B là biểu thức chứa biến là dạng 2 và giải bằng cách 1) hoặc ta đi xét các trường xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối.
* Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x biết: |9-7x| = 5x -3
Cách 1: 
Với 5x – 3 ≥0=> 5x ³ 3 => x³ ta có 9-7x = 5x -3 hoặc 9 – 7x =-(5x-3)
+ Nếu 9-7x = 5x- 3 => 12x = 12 => x= 1(thoả mãn)
+ Nếu 9-7x = -(5x-3) => 2x = 6 => x = 3(thoả mãn)
Vậy x= 1 hoặc x= 3
Cách 2: 
+ Xét 9- 7x ³0 => 7x≤ 9 => x≤ ta có 9 – 7x = 5x – 3 => x =1(thoả mãn)
+ Xét 9- 7x 7x>9 => x> ta có -9 + 7x = 5x – 3 => x =3(thoả mãn)
Vậy x = 1 hoặc x = 3
Ví dụ 2: Tìm x biết |x- 5| - x= 3
Cách 1: | x – 5| - x = 3 =>|x – 5| = 3 + x
Với 3 + x ³ 0 => x ³ - 3 ta có x- 5 = 3 + x hoặc x – 5 = -(3+x)
	+ Nếu x – 5 = 3 + x => 0x = 8( loại)
	+ Nếu x – 5 = -3 – x => 2x = 2 => x = 1 thoả mãn. 
 Vậy x = 1
Cách 2: | x – 5| - x = 3
Xét x - 5³0 => x³ 5 ta có x – 5 – x = 3 => 0x = 8 (loại)
 Xét x – 5 x -2x = -2 => x = 1 thoả mãn 
Vậy x = 1 
 4 . Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| =0
 * Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào?(cả hai số bằng 0). Vậy ở bài này tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0). Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0.
 * Phương pháp giải:
Ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0.
* Ví dụ: Tìm x biết:
a) |x+3|+|x2+x| =0
 b)|x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
Bài giải:
a) 	|x+1| +|x2+x| = 0
	=> |x+1| = 0 và |x2+x| =0
	+ Xét |x+ 1| = 0 => x+1 = 0 => x= -1 (*)
	+ Xét |x2+x|= 0 => x2+ x = 0 => x(x+1) = 0
	=> x = 0 hoặc x+ 1 = 0
	=> x = 0 hoặc x = -1 (**)
	Từ (*) và (**) suy ra x = -1
b) |x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
	=> |x2-3x| = 0 và |(x+1)(x-3)| =0
 => x2- 3x = 0 và (x+1)(x-3)| = 0
+ Xét x2- 3x = 0 => x(x-3) = 0 => x = 0 hoặc x = 3 (*)
+ Xét (x+1)(x-3) = 0 => x+1 = 0 hoặc x-3 = 0 => x= -1 hoặc x = 3 (**)
 Từ (*) và (**) ta được x = 3
Lưu ý: ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh khi kết luận giá trị tìm được thì giá trị đó phải thoả mãn cả hai đẳng thức |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0.
•Dạng mở rộng:
 1. Dạng chứa biến x mũ lớn hơn hoặc bằng 2 
 * Cách tìm phương pháp giải :
HS khi gặp phải các biểu thức chứa mũ ở biến thì bỡ ngỡ chưa biết làm thế nào ? 
	 * Phương pháp giải :
Sử dụng các quy tắc biến đổi thông thường , sau khi biến đổi các biến của x chứa mũ sẽ bị triệt tiêu .
	 * Ví dụ Tìm x biết 2x - 3 x2 = 2 - 3 x2
( Ta chỉ cần biến đổi -3 x2 từ vế phải sang vế trái thành 3 x2 sẽ triệt tiêu với
 -3 x2 ở vế trái ) 
C. Phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải:
Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh: 
*Phương pháp giải dạng toán “tìm x”:
Phương pháp 1 : sử dụng quy tắc chuyển vế đưa các biến về một vế , các hệ số về một vế và triệt tiêu các biến chứa mũ . 
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất |A| = |-A| và |A| ³ 0 để giải các dạng |A|=|-A| và |A(x)| =|B(x)|, |A(x)| =B(x).
*Cách tìm tòi phương pháp giải: 
	Cốt lõi của đường lối giải bài tập tìm x , đặc biệt là tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đó là tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
+ Trước hết xác định được dạng bài rơi vào dạng đặc biệt không? (Có đưa về dạng đặc biệt được không). Nếu là dạng đặc biệt |A|=B (B³0) hay |A|=|B| thì áp dụng tính chất về giá trị tuyệt đối(giải bằng cách đặc biệt – phương pháp 1 đã nêu) không cần xét tới điều kiện của biến.
+ Khi đã xác định được dạng cụ thể nghĩ cách nào làm nhanh gọn hơn để lựa chọn.
Phần III: Kết luận
	Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy học sinh lớp tôi dạy đã biết cách làm các dạng bài toán tìm x một cách nhanh và gọn. Học sinh không còn lúng túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này. Cụ thể khi làm phiếu điều tra lớp 7B trường THCS Bắc Kạn với đề bài sau:
Tìm x biết: 
 a) -5x + 3 = 7 - 6x
	b) 2x + 5x3 = -3 + 5x3
c) |5x+4|+7 = 26
d) 8 - |4x+1| = x+2
Kết quả nhận được như sau: 
Học sinh của tôi không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng dạng bài trên.
Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn.
Hầu hết đã trình bày được lời giải chặt chẽ.
Kết quả cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
7B
10%
48%
42%
0%
Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số bài học cho bản thân trong việc bồi dưỡng hai đầu cho học sinh yếu và học sinh khá - giỏi đó là:
	1 – Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy.
	2 – Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải loại toán đó.
	3 – Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập.
 4 – Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. Sưu tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp xếp thành từng loại để khi dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán.
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh giải dạng toán “Tìm x”. Rất mong được sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp của tổ chuyên môn , của nhà trường và các cấp của để bản thân tôi có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy .
 Xin chân thành cảm ơn!
Bắc Kạn , ngày 14 tháng 04 năm 2009 
 Người viết
 Đặng Thị Hồng Ngân
Nhận xét , đánh giá của các cấp
.
Nhận xét , đánh giá của các cấp
.
Tài liệu tham khảo
Vũ Hữu Bình – Nâng cao và phát triển Toán 7
 NXB Giáo Dục – 2003
Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7
 NXB Giáo dục – 2004
Sách giáo khoa Toán 7 – NXB Giáo dục – 2007
Vũ Hữu Bình – Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7
 NXB Giáo dục – 2004.