Đề tài Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số

 Phần I: Lời nói đầu
Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã ra bài toán sau: 
Cho phương trình : x2 – 2 (m – 1)x + 2m – 7 = 0.
Tìm m để 2 nghiệm phương trình trên là các kích thước của một hình chữ nhật. (trích câu c bài 2 trong đề thi KSCL lớp 9 năm học 2004 – 2005 của huyện Yên Thành).
Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hướng được cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hướng suy nghĩ như thế nào, dẫn đến các em không giải được bài toán trên, có phải học sinh khi gặp bài toán đại số này đã nghĩ ngay đến những kiến thức, những công cụ trong môn đại số hay không? Nhưng ta hãy thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thước của hình chữ nhật là những số dương nên câu hỏi của bài toán có thể hiểu là: Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm dương. Với câu hỏi này thì chắc chắn bài toán trên sẽ trở thành rất quen thuộc đối với học sinh . Như vậy chỉ cần lưu tâm đến những kiến thức nhỏ của hình học trong bài toán này thì mọi việc sẽ nhẹ nhàng hơn. Không những bài toán trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp cũng rất bỡ ngỡ. Nhưng nếu các em nhớ đến vận dụng những kiến thức nhỏ trong hình học thì bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn. Vì lý do đó cho nên qua một thời gian công tác giảng dạy ,tôi đã đúc rút kinh nghiệm về “Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số”.
Phần II: Nội dung
I.Nhận thức cũ và thực trạng trong dạy học môn đại số trong nhà trường:
- Nhận thức cũ:
Đa số học sinh khi giải một bài tập đại số thông thường hay dùng các kiến thức đại số làm công cụ.Trong khi đó một số bài tập đại số cần lưu ý đến các kiến thức hình học mới giải được. 
- Việc làm cũ: 
Khi gặp một bài toán đại số học sinh thường sử dụng các kiến thức đại số làm công cụ, nên dẫn tới nhiều bài toán học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí không giải được.
- Giải pháp mới:
	Để giải quyết dễ dàng hơn khi gặp những dạng bài toán này thì học sinh cần biết khai thác, vận dụng các kiến của hình học , và sau đây xin giới thiệu một số ví dụ.
II. Các giải pháp:
1. Sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
- Ta biết rằng điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi MA + MB = AB (tức là A, B, M thẳng hàng)
- Điểm M không nằm giữa A và B khi và chỉ khi MA+ MB AB (tức là A, B, M không thẳng hàng).
Ví dụ1:
Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 Lời giải:
Ta có AB = ==3
	 AC = =
	 BC = ==4
Ta có : AB + AC = 3+=4=BC. Vậy A, B, C thẳng hàng.
 Nhận xét: Nhiều em học sinh khi gặp ví dụ này sẽ rất bỡ ngỡ, lúng túng không biết chứng minh theo cách nào. Nhưng ở trong hình học học ta biết 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi xảy ra một trong ba trường hợp:
 AC = AB + BC
	AB = AC + BC
	BC = AB+ AC
	Từ kiến thức hình học này dẫn ta suy nghĩ theo hướng là đi tính độ lớn các đoạn thẳng trên và so sánh tổng 2 đoạn thẳng với đoạn còn lại. Như vậy ta có lời giải bài trên thật là ngắn gọn.
Từ ví dụ trên ta có thể chứng minh 3 điểm không thẳng hàng như ví dụ sau:
Ví dụ 2:
Trên mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1) .Chứng minh ba điểm trên không thẳng hàng.
 Lời giải:
	MN = = 
	 NP = = 
	MP = = 
Từ đó ta có MN + NP MP , NP + MP MN , MN + MP NP không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nên M, N, P không thẳng hàng.
Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài toán mới như ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2). Chứng minh M là trung điểm của AB.
Lời giải.
Ta có: MA = = =3
 MB = = =3
 AB = = = 6
Ta có: 3 + 3 = 6 hay MA + MB = AB . Vậy điểm M nằm giữa A và B.
Ta lại có: MA = MB = 3 nên M là trung điểm của AB.
Như vậy chỉ cần tính độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa hai điểm còn lại ta đã giải quyết được rất nhiều bài toán.
2. Sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác.
- Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC.
- Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta luôn có AB AC + BC.
Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài toán.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: 
 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc
 (Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 1999-2000)
Lời giải: 
	Đặt 	x = a + b - c
	y = b + c - a
	z = c + a - b
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên x, y, z > 0
Ta có: 	b = , c = , a = 
Bất đẳng thức trên tương đương với: xyz ()()() 
Mà ()()()()()() = xyz (áp dụng bất đẳng thức Côsi)
Vậy: xyz ()()() hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (đpcm)
ở bài này để áp dụng được bất đẳng thức Côsi thì phải lý luận để x, y , z > 0 mà điều này có được do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. 
Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình trên vô nghiệm.
 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 2002-2003)
 Lời giải: 
	 = (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca 
	 = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] 
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, nên: 	a – (b + c) < 0
	b – (a + c) < 0
c – (a + b) < 0
Vì vậy: 
	 = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét: Bài này cũng sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác mới chứng minh được < 0 .
Ví dụ 6: Với a, b, c, d là những số dương , chứng minh:
+	
 Lời giải:	 y 
 chọn hệ trục tọa độ xOy. Trên trục Ox ở chiều dương, Q B
 lấy ON = a, MN = c trên trục Oy ở chiều dương lấy d 
 OP = b, PQ = d. Ta có: P A
OA = b 
AB = 
OB = o a N c M x
Ta có: 	OA + AB OB
Nên + (Điều phải chứng minh)
Nhận xét: ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ thì AB AC + BC nên vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên.
Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức tổng quát nhờ cách chứng minh tương tự như trên.
Với x1, x2xn và y1, y2, yn là những số dương thì ta cũng luôn có bất đẳng thức sau:
	+++
3. Sử dụng định lý Pitago.
- Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago)
- Nếu BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định lý Pitago)
Vận dụng kiến thức này vào ta có một số bài tập sau.
Ví dụ 7: Cho 2 đường thẳng:
y = 3x- 2 ( d1)
y = x + 8	 (d2 ) 
Chứng minh 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau. (d2) 
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: C
Nếu 2 đường thẳng vuông góc với nhau thì tam giác ABC
Là tam giác vuông. Từ đó ta sẽ xác định tọa độ A, B, C A B (d1)
sau đó sẽ tính độ dài AB, AC, BC và áp dụng định lý đảo
định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông.
 Lời giải: 
Gọi A(x0;y0) là giao điểm của 2 đường thẳng ta có: y0 = 3x0 - 2
	y0 = x0 + 8
Giải ra ta được: x0 = 3 và y0 = 7. Vậy A (3;7).
Trên (d2) lấy C (6;6), trên (d1) lấy điểm B (0;-2):
	AC = = 
	AB == 
	BC = = 
	Ta có: AC2 + AB2 = BC2 = 100 hay tam giác ABC vuông tại A (Định lý đảo định lý Pitago), nên 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau.
Nhờ kiến thức này mà ta có thể chứng minh được rằng nếu đường thẳng y=ax+b vuông góc với đường thẳng y = cx + d thì ac =-1 và nguợc lại như ví dụ sau:
Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng: y = ax + b (a0) (d)
 y = cx +d (c0) (d)
chứng minh rằng: Nếu (d) vuông góc với (d) thì ac = -1
Lời giải:
Ta có y = ax + b song song hoặc trùng với y = ax (d)
 y = cx + d song song hoặc trùng với y = cx (d)
Ta có nếu (d) vuông góc với (d) thì ta cũng có (d) vuông góc với (d).
 (d)
 A
 o B (d).
Gọi O là giao điểm của (d) và (d) dễ dàng ta tìm được O (0; 0). Trên (d) lấy một điểm bất kỳ khác O, ví dụ A(1; a). 
Trên (d) lấy một điểm bất kỳ khác O,ví dụ B(1; c)
Vì (d) vuông góc với (d) nên tam giác OAB vuông tại O, theo định lý Pitago ta có OA2 + OB2 = AB2 hay a2 + 1 + c2 + 1 = (a – c)2 . Từ đó ta có ac = -1.
Vậy: nếu (d) vuông góc với (d) thì ac = -1 (ĐPCM)
4. Vận dụng các định nghĩa, dấu hiệu nhận biết trong hình học để giải.
Đó là vận dụng ngay trực tiếp các định nghĩa các dấu hiệu để giải các bài tập đại số như một số ví dụ sau:
ví dụ 9: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4).
Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông cân.
	Lời giải: 
	AB = = 3
	AC == 3
	BC = =
Ta có: 	AB = AC = 3 nên tam giác ABC cân tại A.
Ta lại có: AB2 + AC2 = BC2 = 90 nên tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định lý Pitago)
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Nhận xét: Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải nhớ lại kiến thức hình học, đó là tam giác vuông có 2 cạnh bằng nhau nên ta sẽ đi tính độ dài các cạnh để chứng minh tam giác cân và sử dụng định lý đảo, định lý Pitago để chứng minh tam giác vuông.
Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho 4 điểm: A (4;2) ; B (2;-1) ; C (-4;-1) ; D (-2;2). Chứng minh ABCD là hình bình hành.
	Lời giải: 
Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định các điểm A, B, C, D như trên.
Ta có:
	AB = = 
	CD = = 
	AD = = 6
	CB = = 6
Ta có: AB = CD = 	; AD = CB = 6 nên ABCD là hình bình hành.
Như vậy ở bài này để giải được nó ta phải nhớ lại dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Trong các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành, thì ở bài này ta sử dụng tứ giác có cặp cạnh đối bằng nhau là hiệu quả nhất. Vì ở đây ta dễ dàng tính được độ dài của các đoạn thẳng.
Ví dụ 11: Hai vật chuyển động trên một đường tròn, đường kính 20cm. Xuất phát cùng một lúc, cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20s thì chúng gặp nhau, nếu chuyển động ngược chiều thì sau 4s chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi vật.
 (Bài tập 37 trang 24 toán 9 tập II)
	Lời giải: 
Độ dài đường tròn là C = d 3,14 x 20 62,8(cm.)
Gọi x(cm/s), y(cm/s) là vận tốc của 2 vật (x, y > 0).
	Sau 20s chúng chuyển động cùng chiều gặp nhau thì quãng đường vật đi nhanh hơn lớn hơn quãng đường đi được của vật còn lại chính là độ dài của đường tròn. Nên ta có: 20x – 20y = 62,8.
	Sau 4s chúng chuyển động ngược chiều thì gặp nhau cho nên tổng quảng đường đi của 2 vật là độ dài đường tròn, nên: 4x + 4y = 62,8
Ta có hệ: 	20x – 20y = 62,8	 x= 9,42
	 	 	 (thỏa mãn điều kiện)
 4x + 4y = 62,8 y = 6,28
	Vậy vận tốc của vật thứ nhất là 9,42 cm/s 
	Vận tốc của vật thứ 2 là 6,28 cm/s. (Tính gần đúng) 
	Như vậy để giải bài này ta phải sử dụng một kiến thức của hình học đó độ dài đường tròn .
Ví dụ 12: Cho phương trình: x2- 2(m-1)x+2m-7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm của phương trình là kích thước của 1 hình chữ nhật.
 (Trích ý c bài 2 đề thi KSCL lớp 9 huyện Yên Thành năm học 2004 – 2005)
Lời giải
	= (m-1)2- (2m-7) = (m-2)2 + 5 > 0 m
Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Để 2 nghiệm của phương trình trên là các kích thước của hình chữ nhật thì phương trình trên phải có 2 nghiệm dương.
hay	x1+x2= 2(m-1) >0	 m >1
	x1x2 = 2m – 7 >0	 m >3,5
vậy với m > 3,5 thì 2 nghiệm của phương trình trên sẽ là các kích thước của 1 hình chữ nhật.
Nhận xét: Tôi đã từng ôn tập cho học sinh câu này nhưng học sinh rất ngỡ ngàng, lúng túng không hiểu hai kích thước hình chữ nhật là như thế nào nên không biết bài làm từ đâu. Nhưng ta chỉ cần lưu ý chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là những số dương thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Như vậy ta chỉ cần tìm điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm dương là được. Từ ví dụ trên nếu thay đổi một chút ta sẽ có bài toán hóc búa hơn, như ví dụ 13 dưới đây:
5. Bài tập tổng hợp.
Đó là vận dụng nhiều kiến thức hình học một lúc như các định nghĩa, các dấu hiệu, diện tích, định lý Pitago.....như một số bài tập sau:
Ví dụ 13: Cho phương trình : x2- 2(m-1)x +2m-7 =0. Tìm m để hai nghiệm của phương trình là các kích thước của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo là .
 Lời giải:
Tương tự lời giải như trên, để hai nghiệm là các kích thước của hình chữ nhật thì m > 3,5
Để hai nghiệm này là các kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 
thì 	 x12 + x22 = 34
	 	 ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 34
	 [2(m-1)]2 - 2(2m-7) = 34
	 m2 – 3m – 4 = 0
giải phương trình ta có: m1 = -1 hoặc m2 = 4
đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m = 4 thỏa mãn điều kiện.
Vậy với m = 4 thì hai nghiệm của phương trình là các kích thước của hình chữ nhật có độ dài đường chéo là .
ở ví dụ này ngoài sử dụng kiến thức như ở ví dụ trên còn sử dụng đến kiến thức nữa đó là định lý Pitago.
Ví dụ 14: Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh rằng:
 + C
(Đề thi HSG lớp 9 TP HCM năm học 2002 – 2003)
Lời giải: 
 A H B
Ta có: a – c > 0; b – c > 0
Đặt AC = ; BC = ; CH = thì AH = và BH = 
Ta có: 2(S+ S) = 2S mà 2S 
Do đó: + 
Nên: + (điều phải chứng minh) 
 Như vậy ở bài toán này ta đã sử dụng định lý Pitago để khẳng định sự tồn tại của cách dựng hình trên. Ngoài ra bài này ta còn sử dụng đến công thức tính diện tích của tam giác.
Ví dụ 15: Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (m-2)x +(m-1)y = 1 (d) (trong đó m là tham số). Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Lời giải y A
 H
 B O x
Gọi A là giao điểm của (d) với trục tung. Ta cho x = 0 thì y= nên OA = .
Gọi B là giao điểm của (d) với trục hoành. Ta cho y = 0 thì x = nên OB = .
Khoảng cách từ gốc 0 đến (d) là OH . Ta có tam giác OAB là tam giác vuông với đường cao OH nên ta có:
 = + hay = (m-1)+ (m-2)= 2(m-)+ 
Nên ta có OH 2. Vậy giá trị lớn nhất cuả OH là: OH = xảy ra khi m= .
Như vậy ở bài này ta phải sử dụng kiến thức hình học là sử dụng hệ thức trong tam giác vuông.
III.Kết quả đạt được:
 Qua quá trình công tác giảng dạy có áp dụng “ Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số” tôi đã thực hiện trên đối tượng lớp 9C , còn lớp 9D thì không áp dụng.
Qua cùng một số bài tập dạng áp dụng kiến thức hình học vào giải các bài tập đại số kết quả đạt được trên 2 lớp như sau:
Lớp
Tổng số HS
Số HS giải được
Tỷ lệ
Số HS không giải được
Tỷ lệ
9C
40
30
75%
10
25%
9D
40
15
37,5%
25
62,5%
Phần III.: Kết luận và kiến nghị 
Như vậy khi giải một số bài toán đại số nếu ta biết khai thác và vận dụng hợp lý một số kiến thức hình học thì công việc giải toán sẽ đơn giản hơn, mang lại hiệu quả cao hơn. Vì vậy trong khi giải toán cần nghiên cứu kỹ bài toán và cần phải kết hợp nhuần nhuyễn giữa hình học và đại số để giải quyết. Trong khi dạy học cần lưu ý cho học sinh biết khai thác và vận dụng các kiến thức hình học để giải các bài tập đại số và ngược lại.
 ở đây tôi chỉ mới giới thiệu giải một số bài tập đại số có kết hợp các kiến thức hình học, tất nhiên còn nhiều dạng toán nữa khi giải cũng cần kết hợp các kiến thức hình học để giải.
 Đề tài này là những kinh nghiệm của tôi đúc rút ra trong quá trình giảng dạy, rất mong được sự góp ý của Hội đồng khoa học cấp trên để có thể phát triển hoàn thiện thêm. 
 Yên Thành, tháng 5 năm 2009.
 Người viết:
 Lê Văn Tuấn
Tài liệu tham khảo.
1. Sgk toán 9 tập 2.
2. Nâng cao và các chuyên đề đại số 9 ( Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Việt Hải, Vũ Dương Thụy).
3. Tuyển tập đề thi môn toán THCS (Vũ Dương Thụy, Lê Thống Nhất, Nguyễn Anh Quân).
4. Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức (Nguyễn Đức Tấn).
5. Sưu tầm các đề thi trên mạng.
6. Nâng cao và phát triển toán 9 (Vũ Hữu Bình)