Đề tài Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên

A. phÇn më ®Çu
I- Lý do chọn đề tài 
 	Toán học là một môn khoa học tự nhiên đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển tu duy của học sinh. Để tiếp cận với chương trình đổi mới của sách giáo khoa đó là hạn chế áp đặt kiến thức mới phải tạo ra các tình huống làm nảy sinh vấn đề để học sinh giải quyết từ đó tạo cho các em các phương pháp để giải một số bài tập 
 	Phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học trong chương trình toán học ở phông thông đặc biệt là ở môn Đại số. Ngay từ những lớp đầu tiên các em đã được làm quen với bài toán tìm x, tìm y. Tuy nhiên néi dung của sách giáo khoa chưa định nghĩa một cách rõ ràng khái niệm này nhưng đã ngầm đưa ra bài toán về phương trình vào đó.Xuyên suốt chương trình toán học ở phæ thông thì phương trình nội dung được liên hệ chặt chẽ với hệ thống số với phép biến đổi đồng nhất với hàm số.
 	Phương trình gồm nhiều loại, mỗi loại có phương pháp giải khác nhau nhưng phương trình nghiệm nguyên nói riêng là một đề tài lí thú lôi cuốn nhiều người từ các học sinh nhỏ với bài toán "trăm trâu, trăm cỏ" đến các chuyên gia toán học lớn với bài toán như "Định lí Pecma".
Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi nhận thấy để giúp học sinh giải quyết được vấn đề này một cách có kĩ năng, tôi chọn đề tài "Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên" mà tôi thấy trong quá trình giảng dạy tôi đã đạt được mục đích của mình đó là hiệu quả học tập của học sinh.
II- Nhiệm vụ nhiên cứu: 
Căn cứ vào vai trò và tầm quan trọng của đề tài, về t×nh hình học tập của học sinh, tôi thấy cần phải nghiên cứu hai nội dung lớn:
1.Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
2.Nghiên cứu để hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên để phát hiện và giải quyết vấn đề khi giải phương trình nghiệm nguyên.
III- Đối tượng nghiên cứu: 
Để góp phần nâng cao hiệu quả quá trình giảng dạy về dạng toán tìm nghiệm nguyên tôi chọn đối tượng khá giỏi lµ häc sinh lớp 9 và phạm vi nghiên cứu là chương trình toán bậc trung học cơ sở.
IV- Phương pháp nghiên cứu:
Để học sinh được dễ dàng, thuận lợi tiếp cận với dạng toán trước hết tôi tiến hành trình bày phần một là: các kiến thức cơ bản 
phần hai là: Một số phương pháp thường dùng để giải quyết phương trình với nghiệm nguyên.h
V- Thời gian nghiên cứu: 
Để thuận lợi cho việc thực hiện tất đề tài, tôi tiến hành nghiên cứu và thực hiện vào những thời điểm phù hợp với chương trình kiến thức môn học mà các em đang được học trên lớp. Vì vậy tôi tiến hành trong thời gian từ tháng 10 năm 2007 đến tháng 3 năm 2008.
B. Néi dung
I - Cơ sở lí luận
Ngoài phương trình bậc nhất hai ẩn, các bài toán tìm nghiệm nguyên thường không có qui tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp, điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo linh hoạt và sáng tạo. Trong chương trình cơ bản của sách giáo khoa toán THCS có đưa giải phương trình tìm nghiệm nguyên nhưng dưới dạng bài tập, số lượng không nhiều, hơn nửa nhu cầu giải phương trình với phong phú, trong các kỳ thi học sinh giỏi gần đây có đề cập nhiÒu đến dạng toán này.
II - Cơ sở thực tế và khảo sát ban đầu:
 	Nh÷ng năm học trước đây khi chưa thực hiện đề tài này, gặp dạng toán giải phương trình nghiệm nguyên mặc dù thuộc đối tượng học sinh khá giỏi nhưng một số em vẫn còn lúng túng khi gặp dạng toán.Hoặc có em nắm được phương pháp giải nhưng việc trình bày lại chưa tốt. Nhìn chung việc giải toán về phương trình nghiệm nguyên với các em chưa thật đồng đều, qua khảo sát ban đầu chỉ có:
 	+ 30% số học sinh giải được bài tập dễ và trung bình 
 	+ 5% số học sinh giải được bài tập khó
 	Số còn lại các em chưa nắm được phương pháp giải và giải được nhưng diễn đạt được lời giải 
III - Các biện pháp để thực hiện đề tài
PhÇn 1: Kiến thức cơ bản
1. Khái niệm về phương trình nghiệm nguyên 
Xét phương trình: f (x,y,z) = g (x,y,z.....)
 	Giải phương trình nghiệm nguyên là ta phải tìm tất cả các bộ giá trị (x,y,z) thoả mãn phương trình đó. x,y,z,..... gọi là ẩn
 Bộ giá trị (x,y,z,....) gọi là nghiệm
 Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình 
2. Nghiệm của phương trình 
 	 Một phương trình với nghiệm nguyên có thể vô nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có vô số nghiệm. Trong trường hợp có vô số nghiệm c¸c nghiÖm của phương trình được biểu thị bởi công thức có chứa tham số là một số nguyên .
3. Kiến thức liên quan
+ Các tính chất của tập hợp Z
 	+ Tính chất chia hết, chia có dư
+ Bất đẳng thức và tính chất của bất đẳng thức
+Công thức tính và nghiệm của phương trình bËc hai.
+Các quy tắc biến đổi phương trình
Khi không sử dụng các quy tắc biến đổi phương trình thì dùng đến các biến đổi mà các giá trị của ẩn mới chỉ thoả mản điều kiện cần (chưa thoả mản điều kiện đủ) của nghiệm trong trường hợp này ta cần kiểm tra lại các giá trị đó bằng cách thử vào phương trình ®· cho theo thứ tự:
Bước1: Giả sử phương trình có nghiệm nguyênta suy ra các ẩn phải nhận các giá trị nào đó
Bước2: Thử lại các giá trị đó của ẩn để khảng định tập nghiệm của phương trình
. 
Phần 2: Một số phương ph¸p thường dïng để giải phương tr×nh với nghiệm nguyªn
1 /Phương ph¸p dïng tÝnh chia hết
1.1/Phương ph¸p ph¸t hiện tÝnh chất chia hết của một ẩn.
*VÝ d ụ 1: Giải phương tr×nh với nghiÖm nguyªn
2x+13y=156 (1)
GV: Em cã nhận xÐt g× về 13y v à 156 (nhận xÐt về tÝnh chia hết)
HS: 13y13 v à 15613
GV: Đ ể ( 2x+13y) th× 2x phải chia hết cho số nào?
HS : 2x
GV: Từ đã c¸c em h·y t×m ra c«ng thức nghiệm của phương tr×nh
Giải
Giả sử x,y là c¸c số nguyªn thoả m·n phương tr×nh (1) ta thấy 13y và 156 đều chia hết cho 13 nªn suy ra: 2x13x(v× 2 v à 13 nguyªn tố cïng nhau)
Đặt x=13t ( t Z ) thay vào phương tr×nh (1) ta được:
2.13t + 13y = 156 
V ậy: (t)
Đảo lại thay c¸c biểu thức của x và y vào (1) phương tr×nh được nghiệm đóng.
Vậy phương tr×nh (1) cã v« số nghiệm nguyªn (x;y) ®­îc biÓu thÞ bëi c«ng thøc (t Z )
1.2/ Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ­íc sè:
	VÝ dô2 : T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh
xy + x - y = 2
GV : H­íng dÉn häc sinh thªm hoÆc bít 1 sè nµo ®ã vµo 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh sao cho vÕ tr¸i ph©n tÝch ®­îc thµnh tÝch c¸c nh©n tö vÕ ph¶i lµ 1 sè. Sau ®ã dùa vµo ­íc cña vÕ ph¶i mµ t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. Ph­¬ng tr×nh d¹ng nh­ vËy gäi lµ ph­¬ng tr×nh ­íc sè 
Gi¶i
 xy - x - y = 2
 v× x;yVµ lµ ­íc cña 3.C¸c ­íc cña 3 lµ 
Do vai trß b×nh ®¼ng cña x vµ y trong ph­¬ng tr×nh nªn cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng khi ®ã 
x-1
3
-1
y-1
1
-3
Ta cã : 
Do ®ã : 
x
4
0
y
2
-2
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : (4;2);(2;4);(0;-2);(-2;0)
	 *	*
	*
1.3/ Ph­¬ng ph¸p t¸ch ra c¸c gi¸ trÞ nguyªn
*VÝ dô 3 : T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :
GV : H·y biÓu thÞ y theo x
HS : y = 
GV: Em h·y tÝnh biÓu thøc thµnh phÇn nguyªn céng víi mét biÓu thøc cã tö lµ 1 sè
HS : x = = x-1 + 
GV : v× y VËy suy ra ®iÒu g× ?
HS : lµ ­íc cña 3
GV : Tõ ®ã em h·y gi¶i tiÕp bµi to¸n
Gi¶i
* x = 5 ph­¬ng tr×nh cã d¹ng 0y =13 v« nghiÖm 
* x y = = 
Do y nªn lµ ­íc cña 3
Ta cã : 
x-5
1
-1
3
-3
x
6
4
8
2
y
8
0
8
0
VËy nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh lµ : (6;8);(4;0);(8;8);(2;0)
 GV:chó ý vÝ dô 2 còng cã thÓ gi¶i theo ph­¬ng ph¸p t¸ch ra c¸c gi¸ trÞ nguyªn
®ã lµ:
 VÝ dô2: C¸ch2: xy - x - y = 2 x(y-1) = y + 2 (y1)
(NÕu y = 1 th× 0x = 3 ( v« nghiÖm ))
 do x lµ sè nguyªn nªn y - 1 lµ ­íc cña 3. Tõ ®ã t×m ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: (4;2) ,(2;4) ,(0;-2),(-2;0).
 * * *
2/ Ph­¬ng ph¸p xÐt sè d­ cña tõng vÕ
* VÝ dô 1 : Chøng minh r»ng c¸c ph­¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn 
a.
b.
GV : Em cã nhËn xÐt g× vÒ sè d­ cña tõngchia cho 4
HS : chia cho 4 chØ cã sè d­ lµ 0 hoÆc1
GV:vËy sè d­ cña vµ chia cho 4 lµ bao nhiªu ?
GV:2003,2002 chia cho 4 cã sè d­ lµ bao nhiªu ?
Tõ ®ã ta cã c¸ch gi¶i:
Gi¶i 
a/ DÔ chøng minh ®­îc chia cho 4 chØ cã sè d­ lµ 0 hoÆc1 nªn 
chia cho 4 cã sè d­ 0;1;3 cßn vÕ ph¶i chia cho 4 d­ 2.
VËy ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
b/chia cho 4 cã d­ lµ 0;1 nªn chia cho 4 cã sè d­ 0;1;2 cßn vÕ ph¶i 2003
chia cho 4 d­ 3.VËy ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
*VÝ dô5:T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :
GV:cho HS nhËn xÐt tÝnh chia hÕt vµ chia cã d­ cña 2 vÕ ®Ó ®i ®Õn c¸ch gi¶i.
Gi¶i: 
Ta thÊy 9x + 2 chia cho 3 d­ 2 nªn suy ra y( y + 1) chia cho 3 d­ 2 y = 3k + 1
	y + 1 = 3k + 2 (k Z)
Khi ®ã: 9x + 2 = ( 3k + 1) ( 3k + 2)
9x = 9k (k + 1) 
 x = k( k + 1 )
Thö l¹i: y = 3k + 1, x = k ( k + 1) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ®· cho.
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm ( x; y) trong ®ã: (k Z)
3/ Ph­¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc
3.1/ Ph­¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c Èn.
VÝ dô 6: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh.
x + y + z = xyz ( 1)
GV: Do vai trß b×nh ®¼ng cña x,y,z trong ph­¬ng tr×nh, nªn gi¶ sö 1 chia 2 vÕ cho z ta ®­îc . Tõ ®ã suy ra kÕt qu¶.
Gi¶i:
V× x,y,z cã vai trß b×nh ®¼ng trong ph­¬ng tr×nh.
Gi¶ sö 
 Chia c¶ hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc: cho sè d­¬ng ta cã: 
+ Víi: xy = 1 ta cã x = 1, y = 1 thay vµo (1) ta ®­îc 2 + z = z ( lo¹i)
+ Víi: xy = 2 ta cã x = 1; y = 2 thay vµo ( 1) ta cã : 1+2+z = 2z z = 3
+ Víi xy = 3 ta cã x = 1; y = 3 thay vµo ( 1) ta cã : 1+3+z = 3z z = 2 ( lo¹i) v× ta gi¶ sö 
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ ( 1;2;3) ; ( 2;1;3) ; ( 1;3;2); (2;3;1); ( 3;1;2); (3;2;1)
3.2/ Ph­¬ng ph¸p xÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ cña Èn:
* VÝ dô 7: T×m c¸c nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh.
	GV: H­íng dÉn häc sinh lËp luËn ®Ó ®i ®Õn giíi h¹n kho¶ng nghiÖm cña x hoÆc y råi tõ ®ã t×m ra kÕt qu¶
Gi¶i
	Do vai trß b×nh ®¼ng cña x vµ y nªn gi¶ sö th× ta suy ra: v× 
	mÆt kh¸c: 0 ) x > 4 
	VËy kho¶ng gi¸ trÞ cña x lµ:	 4 < x 
Ta cã: 
x
5
6
7
8
y
20
12
lo¹i
8
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: ( 5;20) ; (20;5) ; ( 6;12) ; ( 12;6) ; (8;8)
GV: cã thÓ gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn b»ng c¸ch ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ­íc sè lµ: 
 tõ ®ã t×m ra x;y
3.3/ Ph­¬ng ph¸p chØ ra nghiÖm nguyªn.
	* VÝ dô 8: T×m c¸c sè tù nhiªn x sao cho 
	GV: Ph­¬ng ph¸p nµy cho häc sinh nhËn xÐt chØ ra c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh råi chøng minh cho ph­¬ng tr×nh ®ã kh«ng cßn nghÞªm nµo kh¸c.
	ë vÝ dô 8 GV cho HS nhËn xÐt x = 0 ; x = 1 ( c¸c gi¸ trÞ ®Æc biÖt) råi chøng minh kh«ng cßn gi¸ trÞ nµo kh¸c lµ nghiÖm. 
Gi¶i:
 (1)
+ Víi: x = 0 th× vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh (1) = 2; vÕ ph¶i b¨ng 1 nªn x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm
+ Víi: x = 1 th× vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh (1) b»ng 1, ®óng vËy x = 1 lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
	+ Víi: x th× < < 
vµ < < 1 ( lo¹i)
VËy ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm 
Tr¶ lêi: Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x=1
3.4/ Sö dông ®iªï kiÖn®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm
GV: Ph­¬ng ph¸p lµm lµ viÕt ph­¬ng tr×nh fd­íi d¹ng ph­¬ng tr×nh bËc hai
mét Èn (ch¼ng h¹n ®èi víi x) khi ®ã y lµ tham sè. §iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã
 nghiÖm lµ (®Ó cã nghiÖm nguyªn cßn cÇn lµ sè chÝnh ph­¬ng).
*VÝ dô 9: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh.
 (1)
Gi¶i:
 (2)
§iÒu kiÖn cÇn ®Ó ph­¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm lµ 
Ta cã: 
 Suy ra: *y-1=1y=2 thay vµo (2) ®­îc:gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc:
 x=1; x=2
 *y-1=-1 y=0 thay vµo (2) ®­îc 
 *y-1=0y=1 thay vµo (2) ®­îc 
 Thö l¹i c¸c gi¸ trÞ trªn nghiÖm ®óng ph­¬ng tr×nh (1)
VËy ph­¬ng tr×nh (1)cã nghiÖm lµ (0;0) ;(1;0) ;(0;1) ;(2;1);(1;2) ;(2;2) 
 * Chó ý: cã thÓ gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh theo c¸c xÐt dÊu cña tam thøc
 bËc hai ®ã lµ ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ.Do ®ã bÊt
 ph­¬ng tr×nh
Cã nghiÖm 
Tõ ®ã suy ra x	
	*	*	
	*
PhÇn 3: KÕt qu¶ thu ®­îc cña ®Ò tµi
Sau khi thùc hiÖn xong ®Ò tµi nµy t«i thÊy phÇn lín häc sinh lµm thµnh th¹o d¹ng to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ,c¸c em tù tin h¬n khi gÆp d¹ng to¸n nµy .
Qua kiÓm tra kh¶o s¸t,kÕt qu¶ thu ®­îc nh­ sau :
 + 80% Sè häc sinh gi¶i ®­îc bµi tËp trung b×nh.
 + 40% Sè häc sinh gi¶i ®­îc bµi tËp kh¸ khã
 + 10% Sè häc sinh gi¶i ®­îc khã.
 Nh­ vËy so víi kÕt qu¶ tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi râ rµng kÕt qu¶ thu ®­îc cao h¬n nhiÒu. Kh«ng nh÷ng thÕ ®Ò tµi cßn gióp c¸c em m¹nh d¹n h¬n ,tù tin h¬n, g©y sù h­ng phÊn cho c¸c em khi gÆp d¹ng to¸n.
C.KÕt luËn vµ ®Ò nghÞ
I/KÕt luËn vµ bµi häc kinh nghiÖm
§Ò tµi "Mét sè ph­¬ng ph¸p th­êng dïng ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn"mµ t«i tr×nh bµy trªn ®©y,qua viÖc sö dông ®Ò tµi t«i thÊy nã mang l¹i hiÖu qu¶ rÊt lín trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ®ã lµ:
 	+ §Ò tµi gióp cho häc sinh thÊy ®­îc tÇm quan träng cña viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh ®ã lµ tæng hîp rÊt nhiÒu kiÕn thøc liªn quan.V× thÕ ®ßi hái häc sinh cÇn n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vµ sau ®ã vËn dông linh ho¹t ®­îc kiÕn thøc ®ã vµo gi¶i bµi tËp .
 + §Ò tµi giíi thiÖu mét sè ph­¬ng ph¸p th­êng dïng ®Ò gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm
nguyªn.Trong mçi ph­¬ng ph¸p t«i ®­a ra mét sè vÝ dô ®iÓn h×nh cã tÝnh chÊt giíi thiÖu ®Ó gi¶ng mÉu ,®Ó c¸c em nhËn d¹ng nhanh ph­¬ng tr×nh vµ t×m ra ph­¬ng ph¸p hîp lÝ nhÊt. Tuy nhiªn cã mét sè bµi vÒ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn khi gi¶i kh«ng thÓ ¸p dông c¸c ph­¬ng ph¸p trªn ®­îc mµ ®ßi hái häc sinh ph¶i suy luËn ®Ó gi¶i quyÕt.
+ §Ò tµi gióp cho häc sinh rÌn luyÖn thªm vÒ kÜ n¨ng gi¶i to¸n khoa häc, ng¾n gän vµ l« gÝc 
 * * 
 *
II /§Ò nghÞ víi c¸c cÊp
Víi nh÷ng hiÖu qu¶ thu ®­îc cña b¶n th©n vµ häc sinh t«i thÊy ®Ò tµi mang tÝnh kh¶ thi lín. Do kinh nghiÖm cßn h¹n chÕ t«i mong muèn vµ ®Ò nghÞ c¸c ®ång chÝ ®ång nghiÖp ®Æc biÖt lµ c¸c cÊp ngµnh bæ sung ,gãp ý ch©n thµnh ®Ó ®Ò tµi cã kÕt qu¶ kh¶ quan h¬n n÷a khi ¸p dông.
T«i ch©n thµnh xin c¶m ¬n
Ngµy:30/3/2008
 Ng­êi viÕt:
Mai ThÞ Thi