Đề thi chọn giáo viên giỏi cấp trường năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán 7

 Phòng GD-Đt phuc tho
Trường THCS hiep thuan
 ******* &********
Đề thi chọn giáo viên giỏi cấp trường
năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề )
Đề bài: Đồng chí hãy xây dựng một hướng dẫn chấm chi tiết của nội dung đề thi dưới đây:
Bài 1: Tìm các chữ số a, b để số 3a7b:
Chia hết cho 45
Chia hết cho 70
Bài2: Giải các bất phương trình sau:
a) 
3.
Bài 3: Chứng minh: 
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh BC thì:
1/ Chu vi tứ giác MEAF không đổi
2/ Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm K cố định.
3/ Tìm vị trí của M trên BC để tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất.
Bài 5: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 + b4 > 
Đáp án 
Môn toán thi chọn GV giỏi cấp trường
Bài1:(2đ) Tìm các chữ số a, b để số 3a7b:
Chia hết cho 45
Chia hết cho 70
Giải
Vì ( 5,9) = 1 mà 3a7b chia hết cho 45 suy ra chia hết cho 5 và 9 (0,25đ)
3a7b chia hết cho 5 nên suy ra b = 0 hoặc b = 5 (0,25đ)
* Với b = 0 Số đã cho có dạng 3a70 , số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9 a = 8 (0,25đ)
* Với b = 5 tương tự như trên a = 3 (0,25đ)
Vậy các cặp số a = 8, b = 0 và a = 3, b = 5 thoả mãn 
Vì ( 7, 10 ) = 1 mà 3a7b chia hết cho 70 nên chia hết cho 10 và 7 (0,25đ)
3a7b chia hết cho 10 nên suy ra b = 0 (0,25đ)
Xét số 3a70 = 3070 + 100a = (3066 + 98a ) + ( 2a + 4 )
Ta có: 3066 + 98a chia hết cho 7 nên suy ra 2a + 4 chia hết cho 7 
suy ra a = 5 (0,25đ)
Vậy với a = 5, b = 0 thoả mãn BT (0,25đ)
Bài2:(2đ) Giải các bất phương trình sau:
a) 
 b)3. (1)
Giải
ĐKXĐ: (0,25đ)
 (0,5đ)
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra 2 < x < 3 (0,25đ)
Cách1:
* Với x < (1) có dạng 3 (1-2x) < 2x + 1 (0,2đ)
Nghiệm của BPT thuộc khoảng này là (0,2đ)
* Với x , (1) có dạng 3(2x - 1) < 2x + 1 x < 1 (0,2đ)
Nghiệm của BPT thuộc khoảng này là (0,2đ)
Kết luận: Nghiệm của BPT là (0,2đ)
Cách2: 
3.
Bài3:(1,5đ) Chứng minh: 
Ta có:
(0, 75đ)
	- (0, 5đ)
	 (đpcm) (0,25đ)
Bài4:(3đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh BC thì:
1/ (1đ) Chu vi tứ giác MEAF không đổi
E
M
A
F
B
C
K
I
H
1
1
2/ (1đ) Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.
3/ (1đ) Tìm vị trí của M trên BC để tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất.
Giải
Ta có tứ giác MFAE là hcn
 ( có 3 góc vuông) (0,25đ)
 	 Chu vi = 2(EM + MF) (0,25đ)
	Tam giác BEM có góc E = 1V, góc B = 450
	 BEM vuông cân
 MF = EA (0,25đ)
	PMFEA = 2(EM + MF) = 2(BE + EA)
	= 2AB Không đổi 
	Vậy chu vi của tứ giác MFEA không đổi khi 
	M chuyển động trên BC (0,25đ)
Giả sử MH ^ EF tại H và cắt đường thẳng vuông góc với AC tại K
	Kéo dài EM cắt CK tại I (0,25đ)
Dễ c/m được  MICF là hình vuông MF = MI
	Ta có Góc M1 = Góc F1 ( Góc có cạnh TƯ ^ ) 
	 MEF = MIK 
KI = EM KI + IC = EM + MI = AB (0, 5đ)
  ABKC là hình vuông K cách B và C một khoảng không đổi K cố định. 
Vậy đt đi qua M và ^ EF luôn đi qua điểm K cố định. (0,25đ)
Ta có SKME = SBEM ( Có chung đáy EM và đường cao)
	SMKF = SMCF ( Có chung đáy MF và đường cao ) (0,25đ)
	SKEF = S KME + SMEH + SMHF + SMFK
	Vậy: SKEF = SBEM + SMEH + SMCF + SMHF = SBEFC (0,25đ)
	SKEF nhỏ nhất khi SBEFC nhỏ nhất SAEF lớn nhất
Ta có AE + AF = AB không đổi nên SAEF lớn nhất AE = AF M là trung điểm của BC (0, 5đ)
Bài5:(1,5đ) Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 + b4 > 
Giải
Ta có: a + b > 1 ( a + b)2 > 1 (1)
 Mặt khác: ( a - b )2 0 (2) (0, 5đ)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
( a + b)2 + ( a - b)2 > 1
	2(a2 + b2 ) > 1
 a2 + b2 >
 ( a2 + b2 )2 > (3) (0,5đ)
Mặt khác: ( a2 - b2 )2 0 (4)
Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được:
Suy ra ( a2 + b2 )2 + ( a2 - b2 )2 > 
	2( a4 + b4 ) > 
	a4 + b4 > đpcm (0,5đ)