Đề thi học sinh giỏi bậc THCS năm học 2008 - 2009 huyện A Lưới môn: Toán - lớp 9

UBND huyện A Lưới 	KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC 2008 - 2009
Phòng GD & ĐT A Lưới 	Môn: TOÁN - Lớp 9
	Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC:
Câu 1: ( 1 điểm ). Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây có nghĩa:
Câu 2: ( 2 điểm ). Cho biểu thức:
	A = [(). ] : 
Tìm điều kiện để A xác định.
Rút gọn A
Cho xy = 6. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: ( 2 điểm ). Giải phương trình:
	 + = 5
 Câu 4: ( 2 điểm ). Giải bài toán cổ:
	Trăm trâu trăm cỏ
	Trâu đứng ăn năm
	Trâu nằm ăn ba
	 Lụ khụ trâu già
	 Ba con một bó
	Tính số trâu mỗi loại.
Câu 5: ( 2 điểm ). Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC); 
MBC = CAB và AB = BD. Hãy tính các góc của hình thang.
	Câu 6: ( 1 điểm ). Chứng minh rằng nếu x = sin (0 < < 900) thì:
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: - 7x2 + 6x + 1 0 (1) và x 0 (2)
Để giải quyết (1) ta có: - 7x2 + 6x + 1 = -(x - 1)(7x + 1)
Ta có bảng xét dấu:
 x	 - 1
 x - 1 - - 0 +
 7x + 1 - 0 + +
 (x - 1)(7x + 1) + 0 - 0 +
 - 7x2 +6x + 1 - 0 + 0 -
Như vậy - 7x2 +6x + 1 0 -, kết hợp với (2) ta có:
-< 0 và 0 < x 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
a. x > 0; y > 0
b. * () = 
 * () + 
 * 
 = 
Vậy A = : = . 
c. Vì xy = 16 
 Hai số dương , có tích = 4 không đổi nên tổng 
 Có giá trị nhỏ nhất khi 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
Ta viết x + 3 + 4 x - 1 + 4
Với nhận xét ()2 = x - 1
Ta có: x - 1 + 4 = ()2 + 2.2 + 22
 x + 3 + 4 = ( + 2)2
Tương tự ta có: x + 8 - 6 = ( - 3)2
Phương trình trở thành:
- Với 
Phương trình trở thành: 
 (1)
- Với < 0 < 9 x < 10
Phương trình trở thàmh: 
 Đẳng thức này nghiệm với mọi x 1 (2)
Từ (1) và (2) và điều kiện x 1 ta có nghiệm cuủa phương trình đã cho là 1 x 10
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
5.x + 3y + 
Gọi x, y, z theo thứ tự là số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già với điều kiện 0 và x, y,z Z, ta có hệ:
x + y +z = 100
x + y + z = 100 (2)
15x + 9y + z = 300 (1)
{ { 
Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế với vế, ta được phương trình 14x + 8y = 200 7x + 4y = 100 (3)
Đặt x = 4t ta tính ra y = 25 - 7t; t Z 
Đem thế các giá trị của x, y theo t vào phương trình (2) ta tính được 
z = 3t + 75.
Rõ ràng cho t một giá trị nguyên thì x, y và cả z đều nhận giá trị nguyên 
và thỏa mãn hệ đã cho.
Vậy nghiệm nguyên của hệ đã cho là:
z = 3t +75
y = 25 - 7t; 
x = 4t
{ t Z 
Ta xét điều kiện: { {
Kết hợp các điều kiện này ta có: 0≤ t ≤ t = 0; 1; 2; 3.
Từ đó ta có kết quả:
 t 0 1 2 3
 x 0 4 8 12
 y 25 18 11 4
 z 75 78 81 84
Vậy ta có 4 đáp số:
Đáp số
Loại
 (I)
 (II)
 (III)
 (IV)
Trâu đứng
0
4
8
12
Trâu nằm
25
18
11
4
Trâu già
75
78
81
84
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
C
M
D
K
A
B
I
H
Gọi K là trung điểm AD , vì AB = BD nên BK AD tại K.
Ta lại có: = ( ABCD là hình thang cân) 
mà = = ;
mà KM // AC nên = (đồng vị)
 = 
 ABMK nội tiếp.
 = = 900 = 450 (1)
ABCD là hình thang cân có MC = MD MA = MB vậy DABM vuông cân tại M. Kẻ MI AB MI = AB = AC, lại kẻ CH AB
 CH = MI = AC
DACH vuông tại H có CH = AC nên là nửa tam giác đều cạnh AC
 = = 300 (2)
Từ (1) và (2) = = 750
Vậy = = 1050
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6
Ta có 
= ( vì 0 0)
= (đpcm)
0,5
0,25
0,25