Đề thi học sinh giỏi môn thi : Toán lớp 7

Đề thi học sinh giỏi 
môn thi : toán lớp 7
Câu 1 : (2 điểm)
Tính : a) A=	b) B= 512-...-
Câu 2 : (2 điểm)
a) Tìm x,y nguyên biết : xy+3x-y=6
b) Tìm x,y,z biết : (x,y,z0)
Câu 3 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng : Với n nguyên dương ta có
 S=3n+2-2n+2+3n-2n chia hết cho 10
b) Tìm số tự nhiên x,y biết : 7(x-2004)2 = 23-y2
Câu 4 : (3 điểm)
 Cho tam giác ABC , AK là trung tuyến . Trên nửa mặt phẳng không chứa B , bờ là AC , kẻ tia Ax vuông góc với AC ; trên Ax lấy điểm M sao cho AM=AC . Trên nửa mặt phẳng không chứa C , bờ là AB , kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN=AB . Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK=KP . Chứng minh :
a) AC//BP.
b) AK vuông góc với MN.
Câu 5 : (1 điểm) a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền . Chứng minh rằng : a2n + b2n c2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0.
đáp án đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán lớp 7
Câu 1 : (2 đ)
a) (1đ) A=
b)(1đ) B=512(1-)	 0,25
 B=512	 0,5
	 B=512	
 B=512 .=512.	 0,25
Câu 2 : (2 đ)
a) (1đ)
xy+3x-y=6
(xy+3x)-(y+3)=3 	 0,25
x(y+3)-(y+3) =3
(x-1)(y+3)=3=3.1=-3.(-1)	 0,25
Có 4 trường hợp xảy ra :
 ; ; ; 
Từ đó ta tìm được 4 cặp số x;y thoả mãn là :
(x=4;y=-2) ; (x=2;y=0) ; (x=-2;y=-4) ; (x=0; y=-6)	 0,5
b : (1đ) 
Từ , suy ra =
 = , suy ra x+y+z=	 0,5
 Từ đó ta có x+y= ; x+z=-y ; y+z=-x 	 0,25
 Thay vào ta tìm được x= ; y= ; z=-	 0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ)
 S=(3n+2 + 3n )-(2n+2 + 2n) =3n (32 + 1) - 2n-1(23 + 2)	 0,5
 S=3n.10 - 2n-1.10=10(3n - 2n-1) chia hết cho 10	 0,5
b) (1đ) 7(x-2004)2 = 23-y2
 7(x-2004)2 + y2 =23 (*)
Vì y2 0 nên (x-2004)2 , suy ra (x-2004)2 =0 
hoặc (x-2004)2=1	 0,5
Với (x-2004)2 =0 thay vào (*) ta có y2=23 (loại) 	 
 Với (x-2004)2 =1 thay vào (*) ta có y2=16 	 0,25
 Từ đó ta tìm được (x=2005;y=4) ; (x=2003; y=4) 	 0,25
Câu 4 : (3 đ)	
a) (1đ)	
 Chứng minh (c.g.c)	
 	(0,5đ)	 
 Suy ra , từ đó suy ra 
AC//BP 	(0,5đ) 
b) (2đ)
 Chứng minh góc ABP=góc NAM (cùng bù góc BAC) 	(0,5đ)	
 Chứng minh (c.g.c) 	(0,5đ)	
 Suy ra 
 Gọi H là giao điểm của AK và MN 
 Chứng minh 	(0,5đ) 
 Suy ra =900 . Do đó AKNM tại H 	(0,5đ)
Câu 5 : (1đ)
 Với n=1 , theo định lí Pythagore ta có : a2 + b2 = c2 (Đúng) 0,25
 Giả sử đúng với n=k , ta có a2k + b2k c2k 
Với n= k+1 , ta có a2(k+1) + b2(k+1) = =(a2k + b2k)(a2 + b2) - a2b2k - b2a2k c2kc2=c2(k+1) 0,5
 Vậy bất đẳng thức đúng với n=k + 1
 Do đó ta có a2n + b2n c2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0. 0,25