Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm học:2004 - 2005

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7
Năm học:2004 -2005
Thời gian làm bài :120 Phút.
 ***
Bài I : ( 1điểm) Tìm x để :
 a, 2| x - 1| = 24 . 64
 b, A = x2 - 2x có giá trị âm .
Bài II:(5điểm) :
Bài1:(1,5điểm) : Cho x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 4 , z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là . Xét mối quan hệ x và z? Tìm hệ số tỉ lệ ?
Bài2:(2điểm) : Chứng minh rằng nếu : thì : .
Bài 3:(1,5điểm): Cho a; b; c là các số khác 0 . Xác định dấu của c , biết 2a3bc trái dấu với - 3a5b3c2 ?
Bài III :(4điểm):
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ thuận với 1; 2 và 3.
Bài IV:(8điểm)
Bài1: (3điểm) 
Cho tam giác ABC có : Â - Ĉ = 20o. Vẽ tia phân giác BD ( D AC) . Tính số đo các góc ADB và góc CDB ?
Bài2: (5 điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A ; Ĉ = 75o . Từ C vẽ CH AB (H AB).
 Chứng minh : AB = 2 CH .
Bài V: (2điểm): 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = | x - 2006 | + | x - 1 | .
 Hướng dẫn chấm toán 7 (Học sinh giỏi)
Năm học :2004 - 2005:
Bài I:(1điểm)
a, 2| x - 1| = 24 . 64 	
 | x - 1 | = 10 
* x - 1 =10 x = 11	 
* x - 1 = - 10 x = - 9 . Vậy x { - 9; 11}
b, A = x2 - 2x có giá trị âm 
 A = x(x-2) < 	
 x và x-2 trái dấu nhau. 
Nhưng x > x-2 , nên : x > 0 và x- 2 0 và x < 2 .
 Vậy 0 < x < 2 Thì A có giá trị âm .
Bài II:
Bài 1:(1,5 điểm):
Vì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 4 x = y = (1)
Vì z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là z =y (2) 
Từ (1) và (2) có :z =. = 	
Vậy z tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là : - 17.	
Bài 2:(2 điểm):
Từ : .
TheoT/c dãy các tỉ số bằng nhau ta có:
=. (1)	
Từ : (2) 	
Từ (1) và (2) ta có : (ĐPCM)
Bài 3:( 1,5điểm):
Vì : 2a3bc trái dấu với -3a5b3c2 nên ( 2a3bc )(-3a5b3c2 ) < 0
 	Tức là : - 6a8b4c3	< 0
Mà a8b4 > 0 với mọi a,b khác 0 . Suy ra : - 6c3 0 c > 0
 Vậy : c > 0	
BàiIII: (4điểm):
Gọi 3 chữ số của số phải tìm là : a ; b ; c.(a,b,c có vai trò như nhau). 
Vì số đó chia hết cho 18 nên số đó phải chia hết cho 2 và cho 9	
 (do 2 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau)
*Do số đó chia hết cho 9 , nên (a+b+c) 9 (1)
Mà : 1 27 	 (2)
(do : 1; 0 b 0 c ; nếu coi a là chữ số hàng trăm , điều này không làm mất tính tổng quát)
Từ (1)và (2) ta có: a+b+c {9;18;27} (3)
Theo đầu bài lại có= (4)
Từ (3)và (4) có : a+b+c =18 = a=3; b = 6; c = 9
Nhưng vì số đó còn phải chia hết cho 2 nữa nên chữ số tận cùng phải là : 6
Vậy số cần tìm là :396 ; 936 .
Bài IV:	 B
Bài1: (3điểm) 	 1 2
 GT DABC; Â- Ĉ=200
 BD là phân giác của B
 KL	ADB =? ; CDB =?	 2 1
	 A D C
Chứng minh :
Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có : D1= Â+ B1Â= D1- B1
 	 D2 = Ĉ+B2Ĉ = D2- B2
 - Ĉ = (D1 - B1) - (D2- B2) =D1 - B1 - D2+ B2= D1 - D2= 200 (1)(vì B1=B2(gt))
Mà D1+D2=1800 (2) 
Từ (1)và (2) ta tính được : D1 = 1000 ; D2=800 A
Bài 2:(5điểm) 	
 DABCcân tại A
 GT	Ĉ = 75o	K	 E	
	CH 	AB 	
 ( H AB )
 KL AB =2 CH H 	 
	 1 
	 1 
	 B	Chứng minh :
Trên nửa mp có chứa điểm A bờ là BC lấy điểm E sao cho DEBC đều .
Lấy K là trung điểm của AB .
*	DAEB = DAEC (c.c.c) 	 Â1= 150 = B1 DEAB cân tại E.
 EK AB (T/c Tam giác cân)
* Xét DBCH và DEBK có : H = K = 1v
 BC = EB (cạnh của D đều EBC)
 	 Ĉ1 = B1 = 15o ( Do Ĉ1 = 90o - 75o ; B1=75o - 60o )
Vậy DBCH = DEBK (Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông)
 CH = BK mà BK =AB (K là trung điểm của AB)
ĐỀ 2
Bài 1: (4 điểm) Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau:
 A = B = 
(Những bài toỏn chọn lọc và nõng cao 7- Nguyễn Văn Nho – Trang 20)
Bài 2:(4 điểm)
 a) Tớnh tổng đại số sau:
 S = 1 - 2 + 22 – 23 + 24 – 25 +  21000 .
(Toỏn nõng cao – BDHSG 6 - PGS.TT Đậu Thế Cấp – Trang 80)
 b) Tỡm x, biết:
(Toỏn học tuổi trẻ)
Bài 3:(4 điểm) Cho đa thức P(x) = x4 – 3x2 + - x
 Tỡm cỏc đa thức Q(x), R(x) sao cho:
 a) P(x) + Q(x) = x5 – 2x2 +1.
 b) P(x) – R(x) = x3.
(SGK Toỏn 7 tập 2 – Trang 45)
Bài 4:(4 điểm) Cho . Tỡm giỏ trị của biểu thức C = (x0, y 0, z0)
(Những bài toỏn chọn lọc và nõng cao 7- Nguyễn Văn Nho – Trang 48)
Bài 5:(4 điểm) Cho A, B là hai điểm phõn biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
 a) Ta kớ hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d cú chứa điểm A (khụng kể đường thẳng d).Gọi N là điểm 
 của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d . Hóy so sỏnh NB với NM + MA; từ đú so 
 sỏnh NA với NB.
 b)Ta kớ hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d cú chứa điểm B (khụng kể d). Gọi N’ là điểm của PB . 
 Chứng minh rằng N’B < N’A.
 c) Gọi L là một điểm sao cho LA< LB. Hỏi điểm L nằm ở đõu, trong PA, PB hay trờn d?
-Hết-
Đề 3
Bài 1(3 điểm):
a) Tính : 
b) Cho f(x) = 
Tính f(2009) = ?
c) Cho a + d = b + c và a2 + d2 = b2 + c2 (b, d 0)
Chứng minh rằng : 4 số a, b, c, d lập được thành một tỉ lệ thức.
Bài 2 (1,5 điểm):
Cho biểu thức : 
a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 0
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A 
Bài 3(1,5 điểm):
Cho 3 phân số tối giản biết tổng của chúng là . tử của chúng tỉ lệ với 2; 3; 5 còn mẫu tỉ lệ với 5; 6; 4. Tìm 3 phân số tối giản đó.
Bài 4(3 điểm):
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của góc B và góc C cắt AC, AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng BE = CD và AD = AE
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các tam giác MAB và MAC là các tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh : KH = KC.
Bài 5(5 đểm):
Tính : , biết : 
 De 4
Bài 1: (1,5 điểm): So sỏnh hợp lý:
 a) và 
 b) (-32)27 và (-18)39
Bài 2: (1,5 điểm): Tỡm x biết:
 a) (2x-1)4 = 16 
 b) (2x+1)4 = (2x+1)6
 c) 
Bài 3: (1,5 điểm): Tỡm cỏc số x, y, z biết :
 a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4: (1,5 điểm): 
 Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)
	 a/ Xỏc định bậc của A.
	 b/ Tớnh giỏ trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.
Bài 5: (1 điểm): Cho x, y, z, t .
 Chứng minh rằng: cú giỏ trị khụng phải là 
 số tự nhiờn.
Bài 6: (3 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kỡ 
 thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hỡnh chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường 
 thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
 a) BH = AI. 
 b) BH2 + CI2 cú giỏ trị khụng đổi.
 c) Đường thẳng DN vuụng gúc với AC.
 d) IM là phõn giỏc của gúc HIC. 
đề 5
Bài 1: Tính
 a, 
 b, 
Bài 2: Cho 
 Chứng minh rằng 
Bài 3: Tìm x biết 
Bài 4: Một cửa hàng có 3 cuộn vải, tổng chiều dài 3 cuộn là 186 mét. Giá tiền mỗi mét vải của 3 cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày, cửa hàng còn lại cuộn vải thứ nhất; cuộn vải thứ hai; cuộn vải thứ ba. Số tiền bán được của 3 cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải của mỗi cuộn ?
Bài 5: Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A
 Chứng minh 
 a, DC = BE; DC BE
 b, BD + CE = BC + DE
 c, Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC 
ĐỀ 6
Câu 1:( 4 điểm) 
1. Chứng minh rằng 3636 - 910 chia hết cho 45
2. Tìm x, y ,z biết rằng:
a) 
 	b) 2x = 3y = 5z và x – y + z = -33
 	c) 
Câu 2 ( 1.5 điểm)
Một người đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi được quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ trưa. Tính quãng đường AB, người đó khởi hành lúc mấy giờ?
 .
Câu 3:( 4 điểm) : Cho tam giác ABC có .Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE
a) Gọi M là giao điểm của BE và CD. Tính éBMC.
b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD.
c) Chứng minh: éAMC = éBMC.
d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120°) sao cho: éNIP = éPIQ = éQIN.
Bài 4: :( 0.5 điểm) 
 Tính tổng S = 22 + 42 + 62 +  + 202, biết 1 + 22 + 32 + 42 +  + 102 = 385.
Đỏp ỏn de 2
Bài 
Nội dung
Điểm
1.a
A = = 
1
1.b
B = = = = 0 
1
2.a
Ta cú S = 1 - 2 + 22 – 23 + 24 – 25 +  + 21000 (1)
 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – 26 +- 21000 + 21001 (2)
 Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
 3S = 1 + 21001
 Vậy: S = 
0,5
1
0,5
2.b 
Ta cú: =
Suy ra: x = hay x = 1
1
1
3.a
 P(x) + Q(x) = x5 – 2x2 + 1
 Q(x) = x5 – 2x2 + 1 – P(x) = x5 – 2x2 + 1 – (x4 – 3x2 + - x)
 = x5 – x4 + x2 + x + .
 Vậy: Q(x) = x5 – x4 + x2 + x + .
1
1
3.b
 P(x) – R(x) = x3 
 R(x) = P(x) – x3 = (x4 – 3x2 + - x) – x3 = x4 – x3 – 3x2 – x + 
 Vậy : R(x) = x4 – x3 – 3x2 – x + 
1
1
4
Đặt = k (k0) 
 suy ra x = 2k , y = 5k , z = 7k 
 C = = . 
 Vậy C = 
1
1
1
1
5
a) * So sỏnh NB với NM + MA.
Ta cú: MA = MB 
 ( do d là đường trung trực của AB)
nờn: NM + MA = NM + MB = NB.
 * So sỏnh NA với NB.
Theo bất đẳng thức trong tam giỏc ta cú:
NA< NM + MA = NM + MB = NB
Vậy NA< NB.
b) Chứng minh: N’B < N’A.
(Với K là giao điểm của đường thẳng AN’ và d) 
Ta cú: N’B < N’K + KB = N’K + K A = N’A.
Vậy N’B < N’A.
c)Theo cõu a) và b) khi LA< LB.
 Điểm L nằm trong PA .
1
1
1
1
--------------------------------------------
Đáp án de 3
Bài 1(3 điểm )
1 điểm
b)
Vậy: f(2009) = 0
1 điểm
c) Có a + d = b + c => (a + d) (a + d) = (b + c)( b + c)
 a(a + d) + d(a + d) = b(b + c) + c (b + c)
 a2 + 2ad + d2 = b2 + 2bc + c2 mà a2 + d2 = b2 + c2 
 => 2ad = 2bc => ad = bc . Vì (b, d 0)
 Vậy 4 số a, b, c, d lập được thành một tỉ lệ thức.
1 điểm
Bài 2 (1,5 điểm)
 Để A nhận giá trị bằng 0 => 
=> 2x = -3 => x = -1,5 thoả mãn điều kiện 
=> Vậy x = - 1,5 thì biểu thức A nhận giá trị bằng 0
0,75 điểm
b) 
x - 4
-1
1
- 11
11
x
3
5
-7
15
Các giá trị nguyên của x = 3, 5, -7, 15 để A Z
0,75 điểm
Bài 3 (1,5 điểm)
Gọi 3 phân số tối giản cần tìm là a, b, c
Vì các tử số của chúng tỉ lệ với 2; 3; 5 còn mẫu tỉ lệ với 5; 6; 4
0,75 điểm
0,75 điểm
Bài 4(3 điểm)
Vẽ hình ghi gt, kl 
0,25 điểm
a) : C/M được (gcg)
 => BE = CD , AD = AE
0,75 điểm
0,25 điểm
b) c/m đựơc cân => IB = IC
 c/m được hoặc 
 vuông cân
0,75 điểm
0,25 điểm
c) c/m AD = HK
 AE = EK và 
 => vuông cân => EK = KC
 Kết luận HK = KC
0,5 điểm
0,25 điểm
Bài 5 (1 điểm)
biết : => abc =2010
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
Đỏp an de 4
Bài 1: (1,5 điểm):
 a) Cỏch 1: = > 
 Cỏch 2: > = (0,75điểm) 
 b) 3227 = = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 (0,5điểm)
 -3227 > -1839(-32)27 > (-18)39 (0,25điểm)
Bài 2: (1,5 điểm): 
 a) (2x-1)4 = 16 .Tỡm đỳng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm)
 b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tỡm đỳng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)
 c) 
 ; (0,25điểm)
 x = 25; x = - 31 (0,25điểm)
 : vụ nghiệm (0,25điểm)
Bài 3: (1,5 điểm):
 a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
 (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0
 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 (0,25điểm)
 x = z = ;y = -1;y = 1 (0,25điểm)
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
 Từ giả thiết (0,5điểm)
 Tỡm đỳng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) (0,5điểm)
Bài 4: (1,5 điểm): 
 a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 (0,5điểm)
 A cú bậc 4 (0,25điểm)
 b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) (0,25điểm)
 A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z (0,5điểm)
Bài 5: (1 điểm): 
 Ta cú: (0,25điểm)
 (0,25điểm)
 (0,25điểm)
 hay: 1 < M < 2 . Vậy M cú giỏ trị khụng phải là số tự nhiờn (0,25điểm)
Bài 6: (3 điểm): 
DAIC = DBHA ị BH = AI (0,5điểm)
BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)
AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ị N là trực tõm ị DN AC (0,75điểm)
DBHM = DAIM ị HM = MI và éBMH = éIMA (0,25điểm)
 mà : é IMA + éBMI = 900 ị éBMH + éBMI = 900 (0,25điểm)
 ị DHMI vuụng cõn ị éHIM = 450 (0,25điểm) 
 mà : éHIC = 900 ịéHIM =éMIC= 450 ị IM là phõn giỏc éHIC (0,25điểm) 
N
 đáp án de 5
Câu
ý
Nội dung
Điểm
1
(0,5đ +1đ)
a
=1.
0,25
= 3
0,25
b
= 
0,5
==..= 
0,25
= = 
0,25
2
(1,5 đ)
Từ ta có = 
0,5
 . 
0,5
0,25
0,25
 3
(1,5đ)
 =1-2x
0,25
Do với mọi x nên xét với 1 – 2x 0 
0,25
Trường hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x= (loại do không thoả mãn điều kiện x ) 
0,5
Trường hợp 2:
x – 7 = 2x -1 x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
0,25
Vậy x = - 6
0,25
4
(2đ)
.
Gọi chiều dài của 3 cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là a; b; c ( a; b; c > 0, đơn vị mét)
0,25
Sau một ngày cửa hàng bán được số vải của các cuộnlà Cuộn vải thứ nhất a - a = a (m)
 Cuộn vải thứ hai b - b = b (m) 
Cuộn vải thứ ba c - c = c (m) 
0,25
Do giá tiền của một mét vải của các cuộn bằng nhau nên số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ thuận với số tiền bán được. Mà số tiền bán được của các cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2. Vậy số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2
0,25
Ta có 
0,5
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
= =12
Suy ra a; b; c
0,5
Vậy số vải bán được của cửa hàng trong ngày đó là
Cuộn vải thứ nhất 72 mét
 Cuộn vải thứ hai 54 mét
 Cuộn vải thứ ba 60 mét
0,25
5
( 1,5đ +1đ+1đ)
 Vẽ hình đúng 
a
ABE = ADC (c.g.c) => DC = BE
0,75
Chứng minh được DC BE 
0,75
b
Viết được ;
0,5
=>
0,25
=> BD + CE = BC + DE
0,25
c
Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE 
0,25
 Chứng minh ADE = CPA => CP = AD
 ..=> CP =AB
Chứng minh được <P = < BAK; <ABK = <PCK
0,5
 => CPK = BAK( g.c.g) => BK = KC ( dpcm)
0,25
( Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa, bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm bài)
Đáp án de 6
Câu 1:(4 điểm)
1. Ta có 3636 có tận cùng bằng 6 ; 910 có tận cùng bằng 1	 (1/2 điểm)
Do đó 3636 - 910 chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9 .Vậy chia hết cho 45	 (1/2 điểm)
2. a) (1 điểm)
b) (1 điểm)
Tính được x = - 45; y = - 30; z = -18
c) (1 điểm)
Giải ra được x =7 ; x = 8 ; x = 6
Câu 2:(.1.5 điểm)
Ta có sơ đồ sau:
	 A	C	B	
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 4 km/h là t1 (phút)
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 3 km/h là t2 (phút)
=> t2 - t1 = 15 (phút) và v1 = 4 km/h; v2 = 3 km/h.	 (1/2 điểm)
Ta có mà vận tốc và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên:	 (1/2 điểm)
t2 = 15 . 4 = 60 (phút) = 1 (giờ)	
Tính được quãng đường AB bằng: 15 (km)
tính được người đó khởi hành lúc: 8 (giờ) (1/2 điểm)
Câu 3:(.3.5 điểm)
 Vẽ hình - ghi GT & KL đúng (1/2 điểm)
 a)Ta có: DADC = DABE (c-g-c) => éADC =éABE
 Gọi F là giao điểm của AB và CD. Xét DADF và DBMF 
 Có ; éAFD = éBFM ( đối đỉnh) 
 => éBMF =éFAD => éBMF = 60°=>éBMC =120° (1 điểm)
 b)Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM = MP 
 =>DBMP là tam giác đều => BP = BM; éMBP =60°
Kết hợp với éABD =60° => éMBA = éPBD => DPBD = DMBA (c-g-c) 
 => AM = DP
AM + MB = DP + PM = DM (1 điểm)
c) Từ: DPBD = DMBA => éAMB = éDPB, mà: éBPD = 120°
 =>éBMA =120° 
=> éAMC =120° =>éAMC = éBMC (1/2 điểm)
d) áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán như sau: Dựng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều NPA và NQB. Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I. 
Thì I là điểm thỏa mãn: éNIP = éPIQ = éQIN => Điểm I là điểm cần dựng (1/2 điểm)
Bài 4 (1 điểm): 
 S = (1.2)2 + (2.2)2 + (3.2)2 +  + (10.2)2
 S = 22.(1 + 22 + 32 + 42 +  + 102)
 S = 4. 385 = 1540.