Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 thời gian: 90 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
MÔN TOÁN LỚP 7
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý: 
 a) và b) (-32)27 và (-18)39
Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết: 
 a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) 
Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết : 
 a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức :
 A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)
	 a) Xác định bậc của A.
	 b) Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.
Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: có giá trị không phải là số tự nhiên.( x, y, z, t ).
Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
 a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi.
 c) Đường thẳng DN vuông góc với AC.	 d) IM là phân giác của góc HIC. 
Đáp án Toán 7
Bài 1: (1,5 điểm):
 a) Cách 1: = > 
 Cách 2: > = (0,75điểm) 
 b) 3227 = = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 (0, 5điểm)
 -3227 > -1839 (-32)27 > (-18)39 (0,25điểm) 
Bài 2: (1,5 điểm): 
 a) (2x-1)4 = 16 . Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,5điểm)
 b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)
 c) ; 
 x = 25; x = - 31 (0,25điểm) 
 : vô nghiệm (0,25điểm) 
Bài 3: (1,5 điểm):
(3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 
 (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 (0,25điểm) 
 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1 (0,5điểm) 
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
 Từ giả thiết (0,25điểm) 
 Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) (0,5điểm) 
Bài 4: (1,5 điểm): 
 a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 A có bậc 4 (0,5điểm) 
 b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z (0,725điểm) 
Bài 5: (1 điểm): 
 Ta có: (0,25điểm)
 (0,25điểm)
 (0,25điểm)
 hay: 1 < M < 2 . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên (0,25điểm)
Bài 6: (3 điểm): 
DAIC = DBHA Þ BH = AI (0,5điểm)
BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)
AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N Þ N là trực tâm Þ DN AC (0,75điểm)
DBHM = DAIM Þ HM = MI và ÐBMH = ÐIMA (0,25điểm)
 mà : Ð IMA + ÐBMI = 900 Þ ÐBMH + ÐBMI = 900 (0,25điểm)
 Þ DHMI vuông cân Þ ÐHIM = 450 (0,25điểm) 
 mà : ÐHIC = 900 ÞÐHIM =ÐMIC= 450 Þ IM là phân giác ÐHIC (0,25điểm) 
N
TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2005 – 2006 Môn : TOÁN - Khối lớp: 7
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (2điểm)	Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và 	
c( b + d) = 2bd . Chứng minh ( ) 8 = 
Bài 2 (2điểm)	a/ Tìm x biết:
5. - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 . 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: + = 0
Bài 3 (2điểm)	a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42
b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và a0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7. Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.
Bài 4 (2điểm)	a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41
	b/ Biết xQ và 0 < x < 1. Chứng minh xn < x với nN, n2
Bài 5 (2điểm)	 Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC. Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.
a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.	b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD.	 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1 (2đ)	Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d = 	(0,5đ)
	Viết = = 	(0,5đ)
	Suy ra = = 	(0,5đ)
	Biến đổi để có điều phải chứng minh	(0,5đ)
Bài 2 (2đ)	a/ Tính được = 	(0,5đ)
	Tìm được x = , x = 	(0,5đ)
	b/ Nêu 0 và 0	(0,25đ)
	Để có + 0	(0,25đ)
	Suy ra = 0 và = 0	(0,25đ)
	Tìm được x = và y = -3	(0,25đ)
Bài 3 (2đ)	a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2)	(0,5đ)
	Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời 	(0,5đ)
	b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7	(0,25đ)
	f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7	(0,25đ)
	Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7.	(0,25đ)
	Suy ra b chia hết cho 7	(0,25đ)
Bài 4 (2đ)	a/ Viết được (x+1)2 = 42 + 8y2	(0,25đ)
	Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4	(0,25đ)
	Nêu 42 + 8y2 không chia hết cho 4.	(0,25đ)
	Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài	(0,25đ)
	b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - 1 )	(0,25đ)
	+ 0 0	(0,25đ)
	 Suy ra: xn - x < 0	(0,25đ)
	+ Suy ra điều phải chứng minh	(0,25đ)
Bài 5 (2đ)	a/ Nêu được AK MC	(0,5đ)
	Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau	(0,5đ)
	b/ Chứng minh CE = MN	(0,25đ)
	Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN	(0,25đ)	
Hạ MI BD và chứng minh BM > BI	(0,25đ)
	Kết luận AB + CE > AC + BD	(0,25đ)
Sở GD & ĐT Đà Nẵng
Trường THCS Nguyễn Khuyến
-------------
KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII
Năm học 2007 – 2008
Môn: Toán 7
Thời gian: 90 phút
-------------------------
Bài 1: (1,5 điểm) Cho biết ; y là số nguyên âm lớn nhất
Bài 2: (2 điểm) Cho và .Tìm x+y+z
Bài 3: (1,5 điểm) Tìm biết 2xy+3x = 4 16 - 72 + 90.
Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 
a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F. 
a/ Chứng minh tam giác BFC b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều.
GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN 7
Bài1: (1,5 điểm)
	+ Tìm được: x = ; y = -1 	(0,5đ)
	+ Với x = -; y = -1 Þ A = - 	(0,5đ)
	+ Với x = ; y = -1 Þ A= - 	(0,5đ)
Bài 2: (2 điểm)
+ Từ + = 2 Û (2 – x)( + ) = 0 Û x = 2 	(0,75đ)
+ Thay x = 2 Þ = = = = = 2. (1đ)
+ Þ x + y + z = 100 	(0,25đ)
Bài 3: (2 điểm)
+ Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 	(0,5đ)
+ Chỉ ra được x, y Z Þ x Ư(4) và 2y + 3 lẻ	(0,5đ)
+ Lập bảng. 	
Bài 4: (2 điểm).
a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 Þ đpcm. 	(0,5đ)
 (hoặc tính được P(1) = 0 Þ đpcm).
b) 	+ Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ)
 + Biến đổi được P = (3 + 3) + ( + x) – 9x + 1
 = 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1	(1đ)
 + Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)
 (Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)
Bài 5: (2,5 điểm)
+ Hình vẽ (phục vụ được câu 1): 	(0,25đ)
a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của D BEC	(0,5đ)
Þ F trung trực BC Þ DBFC cân	(0,5đ)
(học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm). 
 K F
b) + Tính được EBC = 15. 	 	 (0,5đ) 
+ Hạ FK AB Þ DFKB = DFHC (ch + cgv) 	B	 	(0,75đ)
ÞDBFC vuông cân Þ FBC = 45. 	 (0,25đ)
+ Kết luận DBFE đều. 	 (0,25đ)
 A	F	H	C
GD & ĐT Đà Nẵng
Trường THCS Nguyễn Khuyến
-------------
KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII
Năm học 2006 – 2007
Môn: Toán 7
Thời gian: 90 phút
-------------------------
Bài 1: (1 điểm) Tìm số biết: , và x – y + z = 4
Bài 2: (1 điểm) Biết; ; và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng: .
Bài 3: (2,5 điểm
a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x: f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90.
Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.
	ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM	
Bài 1: (1điểm)
 và x, y, z N, x ≠ 0 Þ 
Þ 
 Þx = 2; y = 3; z = 5. Vậy = 235
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2: (1,5 điểm)
Ta có: (vì 9 + 16 = 25)
Suy ra: 2c2= a(b – c)
Þ (vì a ≠ 0; c ≠ 0)
Þ (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Bài 3: (2,5điểm)
a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3
biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0
 Þ m = 5 và m ≠ -5
Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9
g(x) = (4x2 – 9)2 + 9
Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0 Þ g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9.
Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9
Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0
Þ 4x2 - 9 = 0 Þ 4x2 = 9 Þx2 = Þ x = .
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Bài 4: (2 điểm)
 Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r)
 Ta có: * 112 = 5a + r
 Þ 5a < 112 Þ a 22 (1)
 *a > r Þ 5a + r < 5a + a
 112 < 6a
 a > 112 : 6
 a ≥ 19 (2)
Từ (1) và (2) Þ a = 19; 20; 21; 22
lập bảng số:
a
19
20
21
22
r = 112 – 5a
17
12
7
2
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5: (3 điểm)
a/ (1,5 điểm) - Chứng minh DCHO = D CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF. Kết luận D FCH cân tại C.
-Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh D FIG cân tại I.
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK.
- Chứng minh D AHK = D IGK (g-c-g).
- Suy ra AK = KI..
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b/ (1,5 điểm)
Vẽ OE ^ AB tại E. Tương tự câu a ta có: D AEH, D BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH.
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: D ABI cân tại B.
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của D ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng.
	 A
 E	 H
 K
	O	G
	B	F I	C
0,5đ
0,5đ
0,5đ