Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 - Đề số 10

Sở GD&ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Hoằng Hoá 2
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút 
( không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm) 
Rút gọn biểu thức :
P = 
Bài 2 (2 điểm) 
Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
S = 
Bài 3 ( 2 điểm) 
Giải phương trình : 
Bài 4 (2 điểm)
Giải hệ phương trình : 
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
 = – x2 + 6x -5
Bài 6 (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y = và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng có hoành độ x ẻ[-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)
Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho là số nguyên dương.
Bài 8 (2 điểm): 
Cho 2 đường tròn (0, R) và (0, R) có R> R tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (0, R) tại M và đường tròn (0, R) tại N ( các điểm M, N khác A). Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A.
Bài 9 (2 điểm): 
Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trước 33 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng , có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính là 3 điểm.
Bài 10 (2 điểm): 
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau, trong mặt phẳng (BCD) dựng các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của PR; QR; QP.
Chứng minh rằng AP; AQ; AR đôi một vuông góc./