Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 - Đề số 20

Sở gd & ĐT thanh hoá
======***=====
Kì thi học sinh giỏi lớp 9
Môn Thi : Toán
(Thời gian 150 phút,không kể giao đề )
 Người ra đề: Trinh Thị Thanh Huyền
 Đơn vị: Trường THPT Triệu Sơn 3
Bài 1 (2đ): (Các đề thi học sinh giỏi Toán ở Mĩ)
 1. Tổng của trung bình cộng và trung bình nhân của hai số dương là 200. Tính tổng các căn bậc hai của 2 số đó.
 2. Tính giá trị biểu thức:
Bài 2 (2đ): (Phương pháp giải 36 đề thi Toán của Võ Đại Mau)
 Phân tích thành nhân tử:
 A =(xy +yz + zx)(x + y + z) – xyz .
Bài 3 (2đ): (Phương pháp giải Toán Đại số của Trần Phương_Lê Hồng Đức)
 Cho phương trình:
 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
Bài 4 (2đ): (Phương pháp giải 36 đề thi Toán của Võ Đại Mau)
 Cho hệ phương trình:
Giải hệ phương trình với m = 1
Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Bài 5 (2đ): (Luyện thi vào THPT môn Toán của Vũ Đình Hoàng – Hà Huy Bằng)
 Giải hệ phương trình:
Bài 6 (2đ): (Báo Toán học và tuổi trẻ)
 Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình:
 2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số)
Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng ? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox.
Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất?
Bài 7 (2đ): (Báo Toán học và tuổi trẻ)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 8 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH)
Tìm điều kiện giữa các cạnh a, b, c của để đồng dạng với tam giác mà các cạnh của nó bằng các đường cao của .
Cho hình vuông ABCD, điểm P trên cạnh AB, điểm Q trên cạnh BC sao cho BP = BQ. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống PC. 
 Chứng minh: 
Bài 9 (2đ): ( Đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong TP HCM năm 2005-2006)
 Cho có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H thuộc đường thẳng AB; K thuộc đường thẳng AC).
Chứng minh: Hai tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhhau.
Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn HK lớn nhất. 
Bài 10 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH)
 Dựng tam giác ABC biết trung điểm M, N tương ứng của BC, AC và đường phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng (d) đã cho.
Hết