Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Khối 7

Buổi 1-2: Số hữu tỉ, các phép toán trên tập hợp số hữu tỉ
 A/. Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng với a,b Z, b0.
Bất kỳ số hữu tỉ nào cũng có thế biểu diễn trên trục số. Trên trục số điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có: hoặc x>y, hoặc x=y, hoặc x<y.
Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó. 
Nếu x<y thì trên trục số, điểm x nằm bên trái điểm y.
Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương; số hữu tỉ bé hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm, số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hưu tỉ âm.
Cộng trừ hai số hữu tỉ:
Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: Giao hoán, kết hợp, cộng với số 0, cộng với số đối.
Quy tắc: x = ; y= (a,b,m Z; m0)
Ta có: x+y= += và x-y= -=
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một sô hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó.
TQ: Với mọi x,y,z Q: x+y=z => x=z-y.
Trong Q cũng có nhưỡng tổng đại số được áp dụng các phép biến đổi như các tổng đại số trong Z.
Nhân chia số hữu tỉ: 
Quy tắc: x = ; y= (a,b,m Z; m0)
Ta có: x.y= .= và x:y=: =
Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y được gọi là tỉ số của x và y, ký hiệu: hay x: y
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ: 
|x| x;	|x| = |-x|;	|x|0 
B/. Một số ví dụ giải toán: 
VD1: 	a) Cho hai số hữu tỉ: và với (b > 0, d > 0).
Chứng tỏ rằng: < khi và chỉ khi ad<bc.
	b) áp dụng, hãy so sánh các số hữu tỉ sau: và ; và 
HD: 	a) Ta có vì b>0, d>0 nên bd>0, do đó
- Nếu < thì 
- Nếu 
Vậy < ad<bc.
	b) Ta có 11.27=297; 13.22=286 => 11.27 < 13.22
 vậy theo câu a > ; tương tự ta có < 
VD2: Thực hiện phép tính sau một các hợp lý.
 HD:Ta có: 
Và Vậy A==0 
 VD3: Tìm x biết
 a) 	b) (5x-1)(2x-)=0	c) 
HD: a) x= x=
b) (5x-1)(2x-)=0 5x-1=0 hoặc 2x-=0 hoặc x=
c) x=
VD4: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị âm:
a) x2+5x;	 b) 3(2x+3)(3x-5)
HD: Ta có x2+5x = x(x+5) 
x
 -	-5	- 0	 +
x+5
 -	 0	+
	+
x(x+5)
 +
 -
	+
Vậy x2+5x < 0 khi -5 < x < 0.
 VD 5: Cho x, y thuộc Q chứng tỏ rằng: 
|x+y| |x| + |y| 
 |x-y| |x| - |y| 
HD: a) với mọi x, y ta luôn có: x |x| và - x |x|; y |y| và - y |y| 
Suy ra và -(x+y) |x| + |y| hay (x+y) -(|x| + |y|) do đó: 
-(|x| + |y|) x+y |x| + |y| hay |x+y| |x| + |y| 
|x+y| = |x| + |y| khi x.y0
 (b. học sinh tự chứng minh)
VD6: Tìm x biết a) |x-3|=3	b) 1.25 -|0.5-x|=0	c) 
d) 
HD: Ta có (điều kiện a0)
|x-3|=3 hoặc x-3=-3 x=0 hoặc x=6
1,25 -|0.5-x|=0 |0.5-x|=1,25 (giải như a)
A(x).B(x)=0 A(x)=0 hoặc B(x)=0
 hoặc hoặc 
d) (Giải như a)
VD 7: Tìm giá trị lớn nhất của A biết rằng: A=|x-3|-|5-x|
HD: Ta có: |x-y| |x| - |y| vậy |x-3|-|5-x| |x-3-x+5| = 2 Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi (x-3)(x-5)0 x3 hoặc x5
C/. Bài tập tự giải
Bài 1: Cho a,b Z và b0 chứng tỏ rằng: 
Bài 2: Cho chứng tỏ rằng 
a) khi và chỉ khi a<b
b) Khi và chỉ khi a>b
Bài 3: So sánh hai số hữu tỉ và với a,b,n Z và b>0; n>0 
áp dụng so sánh và ; và 
Bài 4: a) Cho A = So sánh A với 
	b) Cho B = So sánh B với 
Bài 5: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau nhận giá trị dương
a) x2-4x;	b) (4-x)(x-3)	c) 
Bài 6: Viết tổng thành tích
a) ax+bx-ay-by+az-bz	b) am+bn+bm+an-m-n	c) 3a(2b+c)+8b+4c
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của B biết B=|1993-x|+|1994-x|
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C=x2+|y-2| -5
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = 
Bài 10: Tìm các giá trị của x để cho a) A=0;	b) A<0
Bài 11: Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị là một số nguyên và tính giá trị đó:
a) A=;	b) B=
Bài 12: Tìm x biết
a) |3x-5|=4	b) 	c) 
Bài 13: Chứng minh rằng 
Bài 14: a) Người ta viết 7 số hữu tỉ trên một vòng tròn . Tìm các số đó, biết rằng tích của hai số bất kỳ cạnh nhau bằng 16.
Cũng câu hỏi như trên với n số.
Bài 15: Chứng minh rằng: A=
Bài 16: Cho A= chứng minh rằng: 
Buổi 3-4: Luỹ thừa của một số hữu tỉ
A/. Tóm tắt lý thuyết:
Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x ký hiệu là xn, là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1).
Quy ước: x0=1; x1=x.
+ Ta có các quy tắc:
+Bổ sung: 
Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: 
 (n nguyên dương, x 0)
(x-n lả nghịch đảo của xn )
Hai luỹ thừa có cùng cơ số.
Cho m>n >0 thì: Nếu a >1 am>an
	a=1 am=an
	a<1 am<an
Luỹ thừa bậc chẳn của hai số đối nhau thì bằng nhau
(-x)2n = x2n
Luỹ thừa bậc lẽ của hai số đối nhau thì đối nhau 
(-x)2n+1 = -x2n+1
B/. Một số ví dụ giải toán:
Dạng 1: áp dụng các công thức luỹ thừa để tính giá trị của biểu thức
Ví dụ 1: Tính
a) (-2)3+22+(-1)10	b) 	c)
Giải: a) (-2)3+22+(-1)10 = -8+4+1=-3
	b) =34- 26-54=81-64-375=-358
c)= 8+3.1 =
Ví dụ 2: Tính 
a) 	b)
	c) 	d) 
Ví dụ 3: Cho Tính S35+S60
HD: Với n chẳn thì Sn= nên S60=-30;
	Với n lẽ thì Sn= nên S35=18 vậy S35+S60=-30+18= -12
Dạng 2: Tìm x
Ví dụ 4: Tìm x biết: a) (2x+1)2 =1	b) (3x-2)2 =0	c) (x+3)3 =-27
Giải: 
Ta có 1=12 = (-1)2 2x+1 = 1 hoặc 2x+1 = -1 x=0 hoặc x=-1
(3x-2)2 =03x-2=0 
(x+3)3 =-27 =(-3)3 x+3=-3 x=-6
Ví dụ 5: tìm x biết: 	a) 2x+2-2x=96	b) 7x+2+2.7x-1=345
Giải: 
2x+2-2x=96 22.2x-2x=96 2x(4-1)=96 2x=32=25x=5
7x+2+2.7x-1=345 73 .7x-1+2.7x-1=345 7x-1 (73+2)=345 7x-1 345=345
 7x-1 =1 x-1=0 x=1
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: a) 128.912 =1816; 	b) 4510.530=7520;	c) 
Giải: Chứng minh
128.912 =1816 
VT=128.912=
b) 4510.530=(9.5)10.510.520=320.510.510.520=320.520.520=(3.5.5)20=7520;	
c) (học sinh tự giải)
Ví dụ 7: Các đẳng thức sau có đúng với mọi số hữu tỉ a,b không. Nếu không cho ví dụ minh hoạ. Từ đó cho nhận xét.
a) –a3=(-a)3; 	b) –a2=(-a)2; 	c) –a5=(-a)5;	d)–a4=(-a)4;
e) (a-b)2=(b-a)2;	f) (a-b)3=- (b-a)3;
Dạng 4: Bất đẳng thức:
Ví dụ 8: So sánh hai số sau
a) và 	b) 0,110 và 0,320; 	c) 2300 và 3200	d) 230+320+430 và 3.2410
HD: 	a) =>
0,320 > 0,120 0,0910 
Dạng 5: Bài toán về phép chia hết:
Ví dụ 9: Chứng minh rằng 
a) chia hết cho 7.
b) chia hết cho 11
c) chia hết cho 7263
HD giải:
a) (vì 21 chia hết cho 7).
b) (vì 55 chia hết cho 11)
c) 
C/. Một số bài tập
Bài 17: Rút gọn biểu thức A
Bài 18: Cho B= chứng minh rằng B<1
Bài19: Sắp xếp các số hữu tỉ a; b; c theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bài 20: Tìm các số tự nhiên x biết:
	a) 
Chủ đề 3: Tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
A/. Tóm tắt lý thuyết:
ĐN: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số. Trong tỉ lệ thức các số hạng a,d gọi là ngoại tỉ; b, c gọi là các số hạng trung tỉ.
Tính chất 1: Nếu thì ad=bc.
Tính chất 2: Nếu a.d = b.c và a,b,c,d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
Như vậy, từ 1 trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra được các đẳng thức còn lại.
ad=bc
(a,b,c,d khác 0)
B/. Các ví dụ giải toán
Ví dụ 1: Tìm các số x,y,z biết (1) và (2)
Giải: Đặt suy ra: x=2k+1; 	y=3k+2;	z=4k+3
Thay vào (2) ta có: 2k+1-6k-4+12k+9=14 k=1
Vậy x= 3;	y = 5;	z = 7. (Học sinh có thế giải cách khác)
Ví dụ 2: CHứng minh rằng: từ tỉ lệ thức: có thể suy ra tỉ lệ thức: 
Giải: Từ , suy ra .
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: Từ ta lại suy ra(đpcm)
Ví dụ 3: Tìm các số x, y, z biết rằng và 
Giải: Từ giả thiết ta có theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 suy ra x=45; y=60; z=84
Ví dụ 4: Tìm các số x,y,z biết rằng: 
Giải: Theo tính chất dạy tỉ số bằng nhau ta có: 
=
(vì x+y+z0). Do đó x+y+z = 0,5. Thay kết quả này vào đề bài ta có:
 tức là
Vậy 
C/. Bài tập. 
Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) và 5x+y-2z=28	b) 3x=2y; 7y=5z, x-y+z=32
c) 	d) 
e) 	g) 
Tìm x biết rằng 
Tìm phân số biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu thì giá trị phân số đó không đổi
Cho chứng minh rằng 
Cho chứng minh rằng a = b = c.
Tìm các số biết rằng và 
Ba đội công nhân cùng tham gia trồng cây. Biết rằng số cây đội 1 trồng bằng số cây của đội 2 và bằng số cây của đội 3. Số cây đội 2 trồng ít hơn tổng số cây hai đội 1 và 3 là 55 cây. Tính số cây mỗi đội đã trồng.
Tổng các luỹ thừa bậc 3 của một số hữu tỉ là -1009. Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là , giữa số thứ nhất và số thứ 3 là . Tìm các số đó.
Tìm hai số biết tỉ số của chúng bằng và tổng các bình phương của chúng bằng 4736
Tìm các số x,y,z biết: và =-100 
Chủ đề 4: Bài toán về tỉ lệ thức
A/. Một số ví dụ:
Bài1: Tìm các cạnh của hình chử nhật 
Chủ đề 5: 	Đại lượng tỉ lệ thuận
 một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận
A/. Kiến thức cần nhớ: 
ĐN: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x bởi công thức y=ax (a0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ a.
Chú ý: Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a khác 0 thì x cũng tỷ lệ thuận với y theo hệ số tỷ lệ 1/a.
Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì: 
Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng ti lệ thuận luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)
Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia
B/. Một số ví dụ giải toán: 
Ví dụ 1: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, biết rằng với hai giá trị bất kỳ của x1; x2 có tổng bằng 1 thì hai giá trị tương ứng của hai giá trị tương ứng y1, y2 có tổng bằng 5.
Hãy biểu diễn y theo x;
Tính giá trị của y khi x=-1; x=10; x=0,5;
Tính giá trị của x khi y=-4; ; y=0,7.
Giải: a) Theo đề bài x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có: . áp dụng tích chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 vậy đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a=5.
Vậy y=5x.
b) Từ công thức y=5x, suy ra: 
	- Với x= - 4 thì y=5.(- 4)= - 20
	- Với x= 10 thì y=5.(10)= 50
	- Với x= 0,5 thì y=5.(0,5)= 2,5
c) Từ công thức y=5x, suy ra x=, do đó:
	- Với y = - 4 thì x= 
	- Với y = thì x= 
	- Với y= 0,7 thì 
Nhận xét:
+ Với hai đại lượng tỉ lệ thuận x và y, muốn biểu diễn y theo x ta cần xác định được hệ số tỉ lệ a.
+ Biết y=ax (a0), nếu biết các giá trị của x ta tính được các giá trị tương ứng của y. Ngược lại khi biết các giá trị của y ta tính được các giá trị tương ứng của x.
Ví dụ2: Bốn lớp 7A,7B,7C,7D trồng được 172 cây xung quanh trường. Tính số cấy trồng của mỗi lớp? Biết rằng số cây của lớp 7A và 7B tỉ lệ với 3 và 4, của lớp 7B và 7C tỉ lệ với 5 và 6, còn của lớp 7C và 7D tỉ lệ với 8 và 9.
Giải: Gọi x,y,z,t lần lượt là số cây trồng của mỗi lớp 7A; 7B; 7C; 7D (x,y,z,t Z+ ), ta có: và x + y + z + t = 172.
Hay: 
áp dụng tích chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy x=15.2=30 ; y = 20.2=40; z = 24.2=48 ; t = 27.2=54
Trả lời: Số cây trồng được của các lớp 7A, 7B, 7C, 7D lần lượt là 30; 40; 48; 54 cây.
C/.Bài tập luyện tập:
41. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 4 thì y = -3,
Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x	 c) Hãy biểu diễn y theo x;
Tính giá trị của y khi x=-8; x=15; x=-0,3; d) Tính giá trị của x khi y=9; ; y=0,2.
42. Chia số 195 thành 3 phần tỉ lệ thuận với 
43. Biết độ dài của một tam giác tỉ lệ với 3; 5; 7. Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết: 	a) Chu vi của tam giác là 45m.
	b) Tổng đọ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh cò lại là 20m.
44. Trên quảng đường AB dài 31,5km. Nam đi từ A đến B, Bắc đi từ B đến A. Vận tốc của Nam so với vận tốc của Bắc là 2:3; đến lúc gặp nhau thời gian Nam đã đi so với thời gian Bắc đã đi là 3:4. Tính quảng đưỡng mỗi người đã đi đến lúc gặp nhau.
45. Một con Ngựa ăn hết một xe cỏ trong 4 ngày. Một con Dê ăn hết một xe cỏ trong 6 ngày. Một con Cừu ăn hết một xe cỏ trong 12 ngày. Hỏi cả 3 con ăn hết một xe cỏ trong bao lâu
46. Có 3 chiếc đồng hồ kim. Chiếc thứ nhất là một cái đồng hồ chết, chiếc thứ hai là một đồng hồ treo tường, mỗi ngày chậm một phút. Chiếc thứ 3 là một cái đồng hồ đeo tay, mỗi giờ chậm 1 phút. Hỏi chiếc đồng hồ nào chỉ giờ đúng nhiều lần nhất.
47. Biết rằng a công nhân làm trong b ngày được c dụng cụ. Tính xem b công nhân làm trong bao nhiêu ngày để được a dụng cụ.
48. Viết công thức biểu thị sự phụ thuộc giữa : 
	a) Chu vi C của hình vuông và cạnh x của nó
	b) Chu vi C của đường tròn và bán kính R của nó.
49. Một hình chữ nhật có một cạnh 5 cm. viết công thức biểu thị sự phụ thuộc giữa diện tích S của hình chử nhật và cạnh kia x cm của nó.
Chủ đề 6: 	Đại lượng tỉ lệ nghịch
 một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
A/. Kiến thức cần nhớ: 
ĐN: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x bởi công thức hay y.x=a (a0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỷ lệ a.
Chú ý: Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a khác 0 thì x cũng tỷ lệ nghịch với y theo hệ số tỷ lệ a.
2) Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì: 
Tích giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng ti lệ nghịch luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)
Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia