Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Đinh Văn Quân

 CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
 PHẦN ĐẠI SỐ
 Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
Các kiến thức vận dụng:
Tính chất của phép cộng , phép nhân
 Các phép toán về lũy thừa: 
an = ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, mn)
(am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; 
 2 . Một số bài toán :
 Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +. + n , 1+ 3 + 5 +. + (2n -1)
 b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..+ n.(n+1)
 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 Với n là số tự nhiên khác không.
 HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2
 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) 
 = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + ..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 ++ n( n+1)(n+2)] : 3
 = n(n+ 1)(n+2) :3
 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát: 
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +..+ an 
 b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 =  = an – an-1 = k
 HD: a) S = 1+ a + a2 +..+ an aS = a + a2 +..+ an + an+1 
 Ta có : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1
 Nếu a = 1 S = n
 Nếu a khác 1 , suy ra S = 
Áp dụng với b – a = k
Ta có : A = 
 = 
 = 
Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2
 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + ..+ n3
 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
 b) 13 + 23 + 33 + ..+ n3 = ( n(n+1):2)2
Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
 a) A = 
 b) 
HD : A = ; B = 
Bài 4: 1, Tính: P = 
 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
Bài 5: a) TÝnh 
b) Cho 
Chøng minh r»ng .
Bài 6: a) Tính : 
 b) TÝnh 
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = .
 = 
c) 
Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
 b) Chøng tá r»ng:
Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
b) Chøng minh r»ng tæng:
 Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Kiến thức vận dụng :
 - 
 -Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa
- Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk
2. Bài tập vận dụng
 Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
 HD: Từ suy ra 	
 khi đó 
 	= 
Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
 = a( a + 2.2012.b + 20122.c)
 (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
 = c( a + 2.2012.b + 20122.c)
Suy ra : = 
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th× 
HD : Đặt a = kb, c = kd . 
Suy ra : và 
 Vậy 
Bài 4: BiÕt với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :
 hoặc 
 HD : Ta có = (1)
 = (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 
Xét 2 TH đi đến đpcm
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
 vµ 
HD : Xuất phát từ biến đổi theo các 
hướng làm xuất hiện 
Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
TÝnh 
HD : Từ 
 Suy ra : 
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) 
 = -4
Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d = 4
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng: 
NÕu 
Th× 
 b) Cho: .
Chøng minh: 
HD : a) Từ 
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : 
Bài 8: Cho 
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
HD Từ 
 Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
 Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : 
 Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 
Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
 T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
 Biết x,y,z,t thỏa mãn:
 b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
 M = a + b = c +d = e + f
 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ;;
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : .
 Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 
 Một số bài tương tự 
 Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
TÝnh 
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : 
 ( n là số tự nhiên)
 và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
 Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z,
Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 
 HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
=> với y = 0 thay vào không thỏa mãn
 Nếu y khác 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®­îc:
 =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 
VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi
Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
Tính b, c.
 HD : từ a = b = c = 2012
Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :
HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
 (vì x+y+z 0)
Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z
Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 
 HD : Từ 
 Suy ra : 
Bài 6: T×m x, y, z biÕt: (x, y, z )
 HD : Từ 
 Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x.
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt vµ 
Bài 8 : Tìm x , y biết : 
 Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y 
Kiến thức vận dụng :
Tính chất phép toán cộng, nhân số thực
Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
Tính chất về giá trị tuyệt đối : với mọi A ; 
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : 
 dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
 ; với m > 0
Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A
Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn)
 0< A < B An < Bn ; 
Bài tập vận dụng
 Dạng 1: Các bài toán cơ bản
Bài 1: Tìm x biết
 a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 b) 
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 x( 1 + 2 + 3 + .+ 2011) = 2012.2013
 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
 Từ 
Bài 2 Tìm x nguyên biết
 a) 
 b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = 
Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối 
Dạng : và 
 Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
 a) b) 
HD : a) (1) do VT = 
 nên VP = x – 2012 (*)
Từ (1) 
 Kết hợp (*) x = 4023:2
 b) (1)
 Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)
 Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) 
 Nếu x từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy)
 Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
 Một số bài tương tự:
 Bài 2 : a) T×m x biÕt 
T×m x biÕt: 
T×m x biÕt: 
 Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: 
Tìm x biết: 
Bài 4 : tìm x biết :
 a) b) 
 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
 Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết :
 b) Tìm x biết : 
HD : a) ta có (1) 
 Mà suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=” 
Hay do x nguyên nên x {3;4;5}
 b) ta có (*)
 Mà nên (*) xẩy ra dấu “=” 
Suy ra: 
 Các bài tương tự
 Bài 2 : Tìm x nguyên biết : 
 Bài 3 : Tìm x biết 
 Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: = 3
 Bài 5 : Tìm x, y biết :
 HD : ta có với mọi x,y và với mọi x
 Suy ra : với mọi x,y mà 
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.
 Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
 a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2
3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – 1 = 27 x = 4
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
 a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y
 HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x 
 Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1
 b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : 
 a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
 (2m -1)(2n – 1) = 1 
 b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 
Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp :
 + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9
 + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
Bài 4 : Tìm x , biết : 
 HD :
Bài 5 : Tìm x, y biết : 
 HD : ta có với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y 
 Suy ra : với mọi x,y . Mà 
 Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết : 
 a) b) 
 Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức :
 1 . Các kiến thức vận dụng:
 - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
 - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
 - Tính chất chia hết của một tổng , một tích 
 - ƯCLN, BCNN của các số 
 2. Bài tập vận dụng :
 * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức 
Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 
 c) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
 d) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y , 1000 – 13y > 0 và y NT y = 
 b) Từ (1)
 do 7(x–2004)2 0 
Mặt khác 7 là số NT vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)
 suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4
Ta có xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3 hoặc 
hoặc hoặc 
x2-2y2=1 
 do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khác y nguyên tố 
Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 
 b) Tìm biết: 
HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13
 b) Từ y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x 
Bài 3 a) T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña x vµ y, sao cho: 
 b) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d­¬ng tho¶ m·n :
 vµ 
HD : a) Từ 5 ( x + y) = xy (*) 
 + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:
 5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có Ư(5) , từ đó tìm được y, x
 b) a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)
 Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5b – 1 - 1 không chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2
Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:
HD : 
Do p nguyên tố nên và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q
Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho: chia hÕt cho 7
 HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7
 Với n khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( )
 Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 
 Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7
 Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với 
* Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:
Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1.
b) 
HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1 
 Nếu m < -2 thì , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
 Vậy m { -2; -1; 0; 1}
 Cách 2 : Để 
 b) - 3 < 3m – 1 < 3 vì m nguyên
Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6 chia hÕt cho 2
 b) T×m ®Ó AÎ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
 A = . HD: A = = 
Bài 3: Tìm x nguyên để 
 HD :  ...  (gt) 
 Cần CM : ND = AE ( = AC) và 
 + Để CM ND = AE
 CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c)
 + Để CM 
 vì 
 CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA)
 Lời giải
Gọi H là giao điểm của tia MA và BC , Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN
kẻ DQ AM tại Q 
 Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì : 
AM = MN ; MD = ME (gt) và ( hai góc đối đỉnh)
 DN = AE ( = AC) và AE // DN vì ( cặp góc so le trong )
( cặp góc trong cùng phía) mà 
 Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN và ( chứng minh trên ) ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) 
 Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , và 
 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuông tại H hay MA BC
* Khai thác bài toán 1.3
+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MABC , ngược lại 
nếu AH BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.4
 Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE 
 HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau: 
Kẻ DQ AM tại Q, ERAM tại R . 
 Ta có : + ( Cùng phụ )
 AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) 
 DQ = AH (1)
 + ( cùng phụ )
AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)
 ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ 
Lại có ( hai góc đối đỉnh ) 
 ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung 
điểm của DE
 + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MADE , ngược lại 
nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4
 Bài 1.4: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H trung điểm của BC . 
 Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE
HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4 
 Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ 
 Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)
 A’B = AC ( = AE) và 
 AC // A’B ( cặp góc trong cùng phía)
Mà 
 Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt)
 ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) 
 mà 
 Suy ra HA vuông góc với DE
 Bài 2 : Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng:
a) DM = EN
b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN.
 c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC
 * Phân tích tìm lời giải
 a) Để cm DM = EN 
 Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)
 Có BD = CE (gt) , ( MD, NEBC)
 ( ∆ABC cân tại A)
Để Cm §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung 
 ®iÓm I cña MN Cần cm IM = IN
 Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần cm O là điểm cố định
 Để cm O là điểm cố định
 Cần cm OC AC
 Cần cm 
 Cần cm : và 
 Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
 *Khai thác bài 2
 Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau:
 Bài 2.1 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M, trªn tia AC lÊy ®iÓm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I .
 Chøng minh r»ng:
a) I là trung điểm của MN
 b) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay đổi
 lời giải:
Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MDBC ( D BC)
 NE BC ( EBC) 
 Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE .
Chứng minh rằng : AI BC
 Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? vì sao? 
*Phân tích tìm lời giải 
a) Gọi H là giao điểm của BC và AI 
 Để cm AI BC Cần cm 
 Để cm 
 Có 
 cần cm và 
 Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K
b) Để so sánh DE với BC 
 cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC)
 So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK)
 Có AI AK 
 Lời giải :
a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K cần cm và mà AI BC
b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) 
 Mà AI AK , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A
 Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: 
 a) 
 b) .
 c) BE = CF 
 lơì giải 
Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: 
 HF2 + AH2 = AF2
Mà AHE = AHF (g-c-g) nên HF = EF; AF = AE 
Suy ra: 
Tõ Suy ra 
XÐt cã lµ gãc ngoµi suy ra 
 cã lµ gãc ngoµi suy ra 
vËy 
 hay (®pcm). 
Từ Suy ra AE = AF và 
Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => 
 Lại có: (cặp góc đồng vị) Do đó cânCF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF
 Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia
 AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. 
 a) Chứng minh rằng : BE = CD.
 b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.
 c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC.
 d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.
 *Phân tích tìm lời giải 
 Để cm BE = CD 
 Cần cm ABE = ADC (c.g.c)
 Để cm M, A, N thẳng hàng. 
 Cần cm 
Có Cần cm 
 Để cm 
 Cần cm ABM = ADN (c.g.c)
 Gọi là giao điểm của BC và Ax 
 Để cm BH + CK BC
 Cần cm 
 Vì BI + IC = BC
BH + CK có giá trị lớn nhất = BC 
 khi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC 
Bài 6 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH).
 a) Chøng minh: EM + HC = NH.
 b) Chøng minh: EN // FM.
*Phân tích tìm lời giải
 a) Để cm EM + HC = NH
 Cần cm EM = AH và HC = AN
 + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) 
 + Để cm HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) 
b) Để cm EN // FM
 ( cặp góc so le trong)
 Gọi I là giao điểm của AN và EF
 để cm 
 Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) 
 Bài 7 : Cho tam ABC vuông tại A , ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. 
 Chøng minh: AE = BC
*Phân tích tìm lời giải
 Gọi F là giao điểm của BA và IE 
 để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB
Để cm : ∆AFE = ∆ CAB
Cần cm AF = AC (2); (1); (3)
 + Để cm (1) : 
 Cm CI // AE vì có FI // AC và 
 Để Cm CI // AE 
 Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c)
 + Để cm (2) : AF = AC 
 Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn)
 + Cm (3) : ( vì cùng phụ ) 
 *Khai thác bài toán : 
 Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC)
 Vậy HE lớn nhất = 3AM = BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân
 Bài 8 Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng:
 a) AE = AF
b) BE = CF
c) 
* Phân tích tìm lời giải
a) Để cm AE = AF 
 ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c)
Hoặc ∆AEF cân tại A 
( Có AH vừa là tia phân giác , vừa là đương cao)
b) Để cm BE = CF 
 cần tạo tam giác chứa BE( hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF 
 + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c)
 Để cm BE = CF ∆ BEI cân tại B Có ( cặp góc đồng vị ) mà vì ∆AEF cân tại A 
AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF 
 2 AE = AB + AC hay 
Bài 9 Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC.
Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A
TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ?
 *Phân tich tìm hướng giải 
 - Xét TH góc A < 900 
 a) Để cm ∆ ADE cân tại A 
 cần cm : AD = AH = AE
( Áp dụng t/c đường trung trực)
b) Dự đoán CI IB , BK KC
 Do IB, KC tia phân giác góc ngoài của ∆ HIK
nên HA là tia phân giác trong. Do nên HC
là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB IC , Chứng minh tượng tự 
 ta có BK KC
 - Xét TH góc A>900
*Khai thác bài toán : 
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có 
Từ đó ta có bài toán sau:
 Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất.
 HD . Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được 
 vị trí điểm M trên cạnh BC.
Bài 10. Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135o. Gọi M là trung điểm của BC. Về phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng minh rằng Q là trung điểm của BP.
 HD. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm H sao cho MH = MQ
 - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) 
 BQ = CH (1) và 
 BQ//CH hay PQ // CH ( vì là
cặp góc so le trong)
 - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g)
 PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dù góc B nhỏ hơn 1350
 Từ (1) và (2) Suy ra đpcm. 
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
HD a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	
suy ra 	
Do đó 	
b) ABC cân tại A, mà (gt) 
nên 
ABC đều nên 	
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 
suy ra .
 Tia BM là phân giác của góc ABD 
nên 	
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) 
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng :
 a) BA = BH 
 b) 
 c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK
HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn)
 b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK , cắt EK tại I 
 Ta có : , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) 
 mà 	
Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = .. = 2.4 = 8 cm
* Từ bài ta thấy khi thì chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta cũng cm được . Ta có bài toán sau :
 Bài 12.1 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. 
Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.
HD :